ТЕМА 8 ТЕОРІЯ КОРИСНОСТІ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ У ПРОЦЕСАХ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
8.1 Концепція корисності
В умовах невизначеності обґрунтування вибору рішень базується на результатах об'єктивних і суб'єктивних оцінок, або на певній їх комбінації.
Для задач прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику принцип оптимальності часто набуває виду функції корисності.
Корисність представляє собою ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.
Концепція корисності дозволяє забезпечити співвимірність споживчих елементів різних товарів, які не завжди співвимірні з фізичної точки зору. Встановлення певної міри ризику необхідно, щоб охарактеризувати випадкову величину одним показником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової величини у виді сподіваного значення такої функції.
Основним положенням теорії корисності є те, що суб'єкт управління, який приймає рішення в умовах невизначеності та породжуваного нею ризику, повинен максимізувати сподіване значення корисності результатів. Тобто з всіх можливих рішень він обере те, яке забезпечить найбільшу сподівану корисність.
У відповідності до концепції Неймана-Моргенштерна корисність - це деяке число, приписуване особою, що приймає рішення, (ОПР) кожному можливому результату. Функція корисності Неймана-Моргенштерна для ОПР характеризує корисність, яку він приписує кожному можливому результату рішення, що приймається.
У кожної ОПР існує своя функція корисності, яка показує його пріоритет тим або іншим результатам у залежності від її відношення до ризику. З погляду ставлення (схильності) до ризику усі ОПР поділяються на три категорії: схильні до ризику, байдужі до ризику (нейтральні), несхильні до ризику. Кожна з них має власні особливості при обґрунтуванні й прийнятті рішень в умовах невизначеності.
8.2 Пріоритети та їх числове вираження
У теорії корисності широко застосовується таке поняття, як пріоритет.
Позначимо співвідношення «пріоритетніше, ніж», «байдуже» і «не гірше, ніж» відповідно символами  ~,  .
Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше, ніж» (х у), де х та у - набори товарів або послуг (точки простору Х). Це означає, що певний суб'єкт вважає для себе набір х більш пріоритетним, ніж набір у, або не робить між ними різниці.
Ситуація байдужості характеризується тим, що набори товарів еквівалентні для споживача (х~у) тільки тоді, коли х у та у х.
Ситуація строгої пріоритетності характеризується тим, що якщо споживач бажає вибрати х, а не у, то х пріоритетніше, ніж у (тобто х  у). Це відбувається тоді, коли х не гірше у, а у гірше х. Тобто х у, якщо х у, а твердження у х є несправедливим.
На основі введених аксіом доведене існування неперервної функції U(х), визначеної на елементах множини Х, яку називають функцією корисності та для якої U(х) > U(у), якщо х у.
Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, одержуване суб'єктом від споживання додаткової кількості товару. Для окремо взятого товару гранична корисність знижується при збільшенні його кількості (закон спадаючої граничної корисності).
8.3 Корисність за Нейманом
8.3.1 Поняття лотереї
Для визначення корисності розглядається вибір суб'єкта в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.
Для цього експерту пропонують порівняти дві альтернативи:
значення показника X;
лотерею: отримати  з імовірністю  або  з ймовірністю  —  .
Величину ймовірності  змінюють поступово до такої величини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника  і лотерея  стануть еквівалентними. Тобто всі можливі результати розміщують за зростанням. Корисність найгіршого результату оцінюється як 0, а найкращого — 1 (або як 100):  .
Для того щоб оцінити проміжний результат, особі пропонують взяти участь у лотереї. Значення  за якого особа відмовиться від гарантованого результату на користь участі у лотереї, беруть для розрахунку корисності:  . Тобто із множини значень відомого показника  експерт повинен розрахувати два: і — найбільш пріоритетне і найменш пріоритетне, для яких не гірше за , а не гірше за .
Корисність варіанту визначається ймовірністю — за якої експерту байдуже, що обирати: гарантовано або лотерею  , де і — вектори, найбільш і найменш приоритетні порівняно з .
8.3.2 Сподівана корисність
Нехай лотерея  приводить до виграшів (подій)  із відповідними ймовірностями  і відповідними корисностями  .
Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою:
 . (4.1)
Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою:
 .
Тобто корисність сукупності результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.
8.4.1 Несхильність та схильність до ризику
Вигляд функції корисності характеризує відношення до ризику ОПР. Відповідно до концепції корисності Неймана-Моргенштерна в загальному вигляді графік функції корисності може бути трьох видів:
a) б) в)
а) несхильність до ризику;
б) нейтральність (байдужість) до ризику;
в) схильність до ризику.
Рисунок 8.1 – Класифікація ОПР за схильністю до ризику
8.3.3 Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума
Детермінований еквівалент лотереї — це гарантована сума  отримання якої еквівалентно участі в лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто
 . (4.3)
Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, коли для неї найбільш пріоритетною є можливість одержати гарантовано очікуваний виграш у лотереї, ніж узяти в ній участь.
Із теорії корисності можна зробити висновок, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Відповідно до цього умова несхильності до ризику набуває такого вигляду:
 , (4.4)
тобто корисність сподіваного доходу більше сподіваної корисності. ОПР не схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності увігнута.
Для функції корисності можна розрахувати премію за ризик у лотереї ((х)) як різницю між очікуваним виграшем і детермінованим еквівалентом:
 . (4.5)
За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) — це сума в одиницях виміру показника X, якою суб’єкт управління згоден поступитися із середнього виграшу, щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю, і отримати гарантований дохід без ризику.
Коли особа, що приймає рішення, натрапляє на лотерею, менш пріоритетну, ніж стан, у якому вона в даний момент перебуває, то постає питання, скільки б вона заплатила (в одиницях вимірювання критерію X) за свою неучасть у цій лотереї (уникнення її).
Страхова сума (CC) — це величина детермінованого еквівалента з протилежним знаком:
 .
Умова схильності до ризику набуває такого вигляду:
 , (4.7)
тобто корисність сподіваного доходу менше сподіваної корисності. ОПР схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності опукла, а графік розгорнутий дзвоном униз. Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, скільки коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи.
Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:
 . (4.8)
ОПР байдужа до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності лінійна, а графік — пряма. Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.
Задача 3 Количественная оценка риска с определением меры и степени риска
Наличествует возможность выбора производства и реализации двух наборов товаров широкого спроса с одинаковым ожидаемым доходом 150 млн. грн.
По данным отдела маркетинга, доход от производства и реализации первого набора товаров зависит от вероятности конкретной экономической ситуации. Имеет место два одинаково вероятных дохода: 200 млн. грн. в случае удачной реализации первого набора товаров и 100 млн. грн., в случае не очень удачной реализации.
Доход от реализации второго набора товаров с вероятностью 0,99 ожидается равным 151 млн. грн. и с вероятностью 0,01 – 51 млн. грн.
Обобщённо результаты маркетинговых исследований представлены в виде табл. 13.1
Таблица 13.1
Варианты производства и реализации товаров
|
Результат 1
|
Результат 2
|
Вероятность
|
Доход
|
Вероятность
|
Доход
|
Первый
|
0,5
|
200
|
0,5
|
100
|
Второй
|
0,99
|
151
|
0,01
|
51
|
Необходимо оценить риск и принять решение по выпуску двух наборов товаров широкого спроса:
Решение
Оценим меру и степень риска выпуска каждого из наборов товаров.
За меру риска примем математическое ожидание дохода от реализации.
За степень риска – среднеквадратическое отклонение этого параметра.
Математическое ожидание дохода от реализации по первому варианту:
 200 × 0,5 + 100 × 0,5 =150 млн. грн.
Математическое ожидание дохода от реализации по второму варианту:
 151 × 0,99 + 51 × 0,01 =150 млн. грн.
Мера риска выпуска каждого из наборов товаров одинакова.
Степень риска от реализации по первому варианту составит:
 млн. грн.
Степень риска от реализации по второму варианту составит:
 млн. грн.
Степень риска выпуска второго набора товаров намного меньше. Если нет других критериев, то можно сделать вывод, что выпуск второго набора товаров менее рискован.
Приклад 4.3
Визначення корисності господарських рішень графічним методом.
Умови завдання
Підприємство має тимчасово вільні кошти — 10 000 грн і вирішує питання про їх використання за двома варіантами.
По-перше, можна вкласти гроші в деякий інвестиційний проект. У випадку невдачі підприємство втрачає свої гроші, а у випадку успіху — через рік отримує 40 000 грн.
По-друге, альтернативний варіант — вкласти гроші в банк під 9 % річних без ризику. У випадку вкладання коштів у інвестиційний проект спеціаліст з маркетингу вважає, що ймовірність успіху — 0,3.
Щоби прийняти рішення стосовно використання підприєм-
ством грошей, потрібно врахувати думки директора та бухгалтера. Відомості про погляди директора й бухгалтера щодо корисності різних сум доходів подано в табл. 1.
Таблиця 1
Корисність різних сум доходів на думку директора й бухгалтера підприємства
Корисність із погляду
|
Дохід, тис. грн
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
Директора
|
0
|
10
|
25
|
50
|
100
|
Бухгалтера
|
0
|
45
|
75
|
90
|
100
|
Потрібно: визначити варіант вкладання коштів за допомогою критерію сподіваного доходу; побудувати два графіки корисності та визначити за ними відношення до ризику обох спеціалістів; визначити корисність доходів за умовами директора і бухгалтера та вказати, що порадить кожен із них за правилом сподіваної корисності.
Розв’язання
Спочатку розрахуємо сподівані доходи для обох варіантів вкладання коштів (табл. 2).
Таблиця 2
Розрахунок сподіваного доходу, грн
Можливі результати
|
Можливі рішення
|
Імовірність
успіху
|
Інвестиції
|
Банк
|
Успіх
|
40 000
|
10 900
|
0,3
|
Невдача
|
0
|
10 900
|
0,7
|
Сподіваний дохід
|
40 000 · 0,3 = 12 000
|
10 900
|
|
Дисперсія (2)
|
151 400 000
|
0
|
|
Ризик ()
|
12 304,5
|
0
|
|
Коефіцієнт варіації
|
1,03
|
0
|
|
Дисперсія за умов впровадження інвестиційного проекту становитиме:
2 = (40 000 – 12 000)2 · 0,3 + (0 – 12000)2 · 0,7 = 151 400 000,
ризик — 
У разі вкладання грошей у банк ризику немає.
За сподіваним доходом потрібно обрати варіант вкладання грошей в інвестиційний проект, але, якщо врахувати ризик і розрахувати коефіцієнт варіації, то більш привабливим буде варіант вкладання коштів у банк.
Побудуємо два графіки корисності доходів, відповідно, за поглядами бухгалтера (рис. 1) та директора (рис. 2), користуючись шкалою корисності (див. табл. 1).
Рис. 1. Графік корисності доходів за бухгалтером
Рис. 2. Графік корисності доходів за директором
Згідно з графіками можна дійти висновку, що директор підприємства схильний до ризику, так як його графік корисності доходів опуклий. Це також підтверджується умовою схильності до ризику: ТАБЛИЦА 3
U(M(x)) < M(U(x)),
де U(M(x)) — корисність сподіваного результату; M(U(x)) — сподівана корисність результатів.
M(x) = 12 000; U(M(x)) = 12; M(U(x)) = 30. Звідси 12 < 30.
Бухгалтер, за графіком, не схильний до ризику, оскільки його графік — увігнутий. Це підтверджується умовою несхильності до ризику: ТАБЛИЦА 4
U(M(x)) > M(U(x)).
M(x) = 12 000; U(M(x)) = 52; M(U(x)) = 30. Звідси 52 > 30.
Тепер розрахуємо сподівану корисність доходів відповідно до поглядів директора та бухгалтера. Для цього потрібно перетворити шкалу доходів на шкалу корисностей за бухгалтером та директором, користуючись відповідними графіками.
Розрахунки сподіваної корисності згідно з поглядами бухгалтера й директора подано, відповідно, в табл. 3 і табл. 4.
Таблиця 3
Розрахунок сподіваної корисності ЗА бухгалтером
Можливі результати
|
Можливі рішення
|
Імовірність
|
Інвестиції
|
Банк
|
Успіх
|
100
|
52
|
0,3
|
Невдача
|
0
|
52
|
0,7
|
Сподівана корисність
|
100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30
|
52
|
|
Таблиця 4
Розрахунок сподіваної корисності ЗА директором
Можливі результати
|
Можливі рішення
|
Імовірність
|
Інвестиції
|
Банк
|
Успіх
|
100
|
12
|
0,3
|
Невдача
|
0
|
12
|
0,7
|
Сподівана корисність
|
100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30
|
12
|
|
Висновок: За сподіваною корисністю бухгалтер запропонує вкласти гроші в банк без ризику (12 < 30), а директор — в інвестиційний проект (52 > 30).
|