ТЕМА 10 КРИТЕРІЇ ПРИЙНЯТТЯ ГОСПОДАРСЬКИХ РІШЕНЬ
ЗА УМОВ РИЗИКУ
Як зазначалося в попередніх розділах (див. розділ 7.1), відмінною рисою прийняття рішень в умовах ризику є наявність даних щодо оцінки ймовірності результатів різних варіантів рішення. При цьому виходять з припущення, що сума ймовірностей станів економічного середовища дорівнює одиниці. Це означає, що враховуються всі можливі стани економічного середовища.
Для обгрунтування господарських рішень в умовах ризику застосовуються наступні критерії:
критерій математичного сподівання (критерій Байєса);
критерій стандартного відхилення;
критерій Бернулі;
критерій Лапласа;
критерій Гурвіца.
10.1 Критерій математичного сподівання (критерій Байєса)
Критерій математичного сподівання (критерій Байєса) передбачає вибір оптимального варіанта господарського рішення на основі результатів розрахунку усереднених значень узагальнюючих економічних показників, що характеризують наявні варіанти рішення. Як узагальнюючі економічні показники варіантів рішення найчастіше розглядаються дохід, прибуток, витрати, вартість капіталу, втрати, недоотриманий прибуток і т. д.
Відповідно до критерію Байєса за кожним варіантом рішення обчислюють середньозважене значення обраного узагальнюючого економічного показника з урахуванням ймовірностей станів економічного середовища. Вихідні дані для розрахунку отримують з матриці виграшів або матриці ризиків.
Якщо аналізуються дані матриці виграшів, то усереднюваними показниками є дохід або прибуток. Оптимальним варіантом рішення вважається той, за яким величина математичного сподівання є максимальною. Реалізація цього варіанту рішення забезпечить отримання максимального доходу (прибутку).
Стратегія, що передбачає реалізацію обраного оптимального варіанту рішення, називається байєсівською стратегією. Величина узагальнюючого економічного показника, яка відповідає обраному оптимальному варіанту рішення, називається байєсівською оцінкою [витл].
За даними матриці ризиків обчислюють середньозважені значення можливих втрат (збитків, недоотриманого прибутку) за варіантами рішення. Оптимальний варіант рішення визначають за мінімальним середньозваженим значенням збитків або недоотриманого прибутку. Такий варіант передбачає мінімізацію втрат при реалізації рішення.
Мінімальну середньозважену величину можливих збитків (недоотриманих прибутків) називають байєсівським ризиком рішення [витл].
Критерій Байєса враховує всі можливі стани економічного середовища, отже, він є досить інформативним. Тому у випадках, коли використання інших критеріїв призводить до суперечливих висновків, при формуванні остаточного висновку рекомендується надавати перевагу саме критерію Байєса.
1) Критерий Байеса (максимум среднего выигрыша):
2) Критерий Байеса-Севиджа (минимального среднего риска):
10.2 Критерій Лапласа
Критерій Лапласа використовується у випадку, коли можна припустити, що кожний з можливих станів економічного середовища є не більш ймовірним, ніж інші. Тоді можна припустити, що всі можливі варіанти стану економічного середовища мають однакову ймовірність, що становить сутність принципу «недостатнього обгрунтування», запропонованого Байєсом у 1763 р., та узагальненого Лапласом у 1812 р. [дубров].
Критерий Байеса-Лапласа (принцип недостаточной подстановки):
Критерий Байеса (Лапласа) исходит из того, что если совершенно неизвестно, какое из состояний имеет место, то нужно поступать так, как будто они равновероятны.
Відповідно до критерію Лапласа вибір рішення здійснюється за мінімумом середньозваженого показника ризику ( ), який обчислюється за формулою:
 (10.3)
де n – кількість варіантів стану економічного середовища;
 – ймовірність j -го стану економічного середовища.
 - втрати (недоотриманий прибуток) при i-му варіанті рішення та j-му варіанті стану економічного середовища.
Вихідні дані для розрахунку отримують з матриці ризику. За кожним варіантом рішення розраховуються середньозважені оцінки можливих збитків (недоотриманого прибутку). Отже, критерій Лапласа дозволяє мінімізувати можливі втрати підчас реалізації рішення.
Критерій Лапласа передбачає врахування ймовірностей всіх можливих станів економічного середовища, що свідчить на користь цього критерію.
Слід зазначити, що критерій Лапласа може використовуватись як в умовах ризику, коли ймовірності станів економічного середовища відомі, так і в умовах невизначеності, коли інформація про ймовірності станів середовища відсутня. В першому випадку значення критерію Лапласа збігатиметься зі значенням критерію Байєса (байєсівським ризиком). Але висновок щодо варіанту рішення, якому доцільно надати перевагу, а також величина середньозваженої оцінки ризику в умовах ризику та в умовах невизначеності можуть відрізнятися.
10.3 Критерій Гурвіца
Цей критерій є спрощеним варіантом критеріїв Байєса та Лапласа. Для обчислення критерію Гурвіца можна скористатися формулою (7.4), якщо розрахунок проводиться за даними матриці виграшів.
Критерий Гурвица:
Коэффициент χ отображает меру пессимизма ЛПР.
10.4 Критерій стандартного відхилення
Використання критерію стандартного відхилення передбачає оцінку ступеня розсіяння (коливання) окремих значень того чи іншого узагальнюючого економічного показника рішення, що приймається, навколо його середнього значення. Чим більше розкид окремих значень економічного показника навколо його середнього значення, тим більша величина стандартного відхилення. Відповідно, більшою є невизначеність відносно того, що даний економічний показник набуватиме очікуваного значення, отже, і більший ризик.
Стандартне відхилення обчислюється за формулою:
 (10.1)
де  – дисперсія випадкової величини;
 – окремі значення, яких набуває випадкова величина;
 – математичне сподівання випадкової величини;
 – ймовірності станів економічного середовища.
Для обчислення стандартного відхилення як вихідні дані використовуються окремі значення узагальнюючого економічного показника та його середнє значення (математичне сподівання) за кожним варіантом рішення. Найменш ризикованим вважається той варіант рішення, за яким значення стандартного відхилення є мінімальним.
Критерий компромисса Гурвица:
Критерий компромисса Гурвица согласно с риском:
Критерий «труса»:
Критерий осторожности согласно с риском:
Критерий Гермейера:
ТЕМА 11 ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ У КОНФЛІКТНИХ СИТУАЦІЯХ
11.1 Сутність конфліктних ситуацій та передумови їх виникнення
У ринкових умовах часто виникають ситуації, які характеризуються неспівпадінням інтересів окремих суб᾽єктів господарювання, їх взаємною протидією, а також необхідністю врахування можливих дій суперників при розробці господарських рішень. Такі ситуації називають конфліктними.
Конфліктна ситуація – це ситуація, у якій стикаються інтереси двох чи більше сторін, що мають суперечливі цілі, причому виграш кожної зі сторін залежить від того, як поводитимуться інші [Клименко, СРС].
Наприклад, конфліктні ситуації виникають в процесі конкурентної боротьби, коли через дії окремих господарюючих суб᾽єктів інші суб᾽єкти зазнають збитків, але ці суб᾽єкти можуть здійснювати відповідні дії, спрямовані на покращення своїх конкурентних позицій, завдаючи втрат іншим суб᾽єктам.
Конфліктні ситуації можуть виникати й у одного суб᾽єкта господарювання, наприклад, через суперечності між окремими цілями діяльності та способами їх досягнення. Так, можуть виявитися суперечливими цілі максимізації прибутку підприємства у найближчій та довгостроковій перспективах. Мета збільшення обсягу виробництва продукції підприємства може суперечити меті зменшення шкідливого впливу на довкілля. Можливе застосування диференційованого ціноутворення, що сприятиме збільшенню прибутку підприємства. Дія чинників зовнішнього оточення, яку неможливо спрогнозувати, також може призвести до виникнення конфліктних ситуацій.
Отже, конфліктні ситуації можуть виникати з різних причин, що зумовлює необхідність розв᾽язання цих ситуацій за допомогою спеціальних методів. Якщо потрібно знайти найкраще рішення в умовах економічного конфлікту, доцільно скористатися положеннями теорії ігор.
11.2 Основні поняття теорії ігор, що використовуються при розв᾽язанні конфліктних ситуацій
Історичне виникнення теорії ігор зазвичай пов᾽язують з необхідністю вироблення оптимальних стратегій поведінки в ході азартних ігор [машина, сороки]. Починаючи з 1944 р., коли було опубліковано монографію Неймана та Моргенштерна «Теорія ігор і економічної поведінки», теорію ігор розглядали як математичну дисципліну, а надалі, – як самостійний математичний напрямок, що має практичне застосування [Ивченко]. В останні десятиріччя теорія ігор все ширше використовується в економіці, зокрема, при розв᾽язанні конфліктних ситуацій шляхом вироблення оптимальних рішень щодо дій кожної зі сторін конфлікту. Отже, теорія ігор містить математичний апарат для вибору стратегії в конфліктних ситуаціях [Клименко, СРС], а метою теорії ігор є формування рекомендацій щодо оптимальної поведінки учасників конфлікту, тобто визначення оптимальної стратегії кожному з них [Клименко, посібник].
Предметом теорії ігор є такі ситуації, у яких важливу роль відіграють конфлікти та спільні дії [машина, сороки].
Сформулюємо основні поняття теорії ігор, що використовуються в умовах конфлікту.
Гра – це спрощена формалізована модель реальної конфліктної ситуації. Математично формалізація означає, що розроблено певні правила дії сторін в процесі гри: варіанти дії сторін; результат гри при даному варіанті дії; обсяг інформації кожної сторони щодо поведінки інших сторін [Дубров, с.17].
Гравець – одна зі сторін у конфліктній ситуації [Дубров, с.17].
Результат гри називається виграшем, програшем або нічиєю. Зазвичай результати гри мають кількісне вираження.
Правила гри – перелік прав та обов᾽язків гравців.
Ходом називається вибір гравцем однієї з передбачених правилами гри дій і її здійснення. Ходи поділяють на особисті та випадкові. Особистий хід – це свідомий вибір гравця, випадковий хід – вибір дії, що не залежить від його волі.
Залежно від кількості можливих ходів у грі розрізняють скінченні та нескінченні ігри. Скінченні ігри передбачають скінченне число ходів (наприклад, гра «орел-решка»), нескінченні – навпаки (наприклад, встановлення цін на товар продавцем і покупцем). Деякі ігри в принципі мають вважатися скінченними, але мають так багато ходів, що належать до нескінченних (наприклад, шахи).
Стратегія гравця – це сукупність правил, що визначають вибір варіанту дій у кожному особистому ході.
Оптимальною стратегією гравця вважається стратегія, що забезпечує йому максимальний виграш. Завданням теорії ігор є виявлення оптимальної стратегії гравців.
Ігри, що складаються тільки з випадкових ходів, називаються азартними та не розглядаються в теорії ігор. Її метою є оптимізація поведінки гравця у стратегічних іграх, в яких поряд з випадковими є особисті ходи.
Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів всіх гравців дорівнює нулю, тобто один гравець отримує виграш за рахунок програшу інших гравців. Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Якщо в грі беруть участь більше двох гравців, гра називається множинною. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною. Такі ігри найчастіше розглядаються у теорії ігор.
Теорія ігор виходить з того, що гравець та його супротивник є однаково розумними та зловмисними [сорока,148]. Це означає, що кожний з гравців прагне забезпечити собі максимальний виграш, завдаючи збитків супротивнику.
Припускається, що у грі грають два гравці, наприклад гравець А та гравець В. Себе зазвичай ототожнюють з гравцем А. Нехай, в А є m можливих стратегій: А1, А2 ….Аm, а в його супротивника В – п можливих стратегій: В1, В2 ….Вп. Така гра називається грою m x n.
Виграш гравця А за умови вибору ним стратегії Аi та стратегії супротивника Вj позначають як aij. Кількість таких ситуацій дорівнюватиме m x n. Всі значення виграшів у грі можна звести у таблицю, яку називають платіжною матрицею або матрицею виграшів, матрицею гри (таблиця 11.1).
Таблиця 11.1 – Платіжна матриця (матриця виграшів)
Стратегії гравця А
|
Стратегії гравця В
|
В1
|
В2
|
…....
|
Вn
|
А1
|
а11
|
а12
|
……
|
а1n
|
А2
|
а21
|
а22
|
……
|
а2n
|
….
|
……
|
……
|
……
|
……
|
Аm
|
аm1
|
аm2
|
……
|
аmn
|
Кількість рядків у матриці відповідає кількості стратегій гравця А, а кількість стовпців – кількості стратегій гравця В. На перетині рядків і стовпців знаходяться виграші гравця А та, відповідно, програші гравця В.
Зведення гри до матричної форми є досить складним, а іноді і нездійсненним завданням через незнання стратегій, їх значну кількість та складність оцінки виграшу, що свідчить про обмеженість можливостей теорії ігор при розв᾽язанні задач.
Оскільки скінченну парну гру з нульовою сумою можна представити у вигляді матриці, таку гру називають матричною [машина, сороки, клименко, ивченко].
За загальним виглядом платіжні матриці (матриці виграшів) в умовах конфлікту та в умовах невизначеності й ризику є подібними. Відмінність полягає в тому, що в умовах конфлікту як розумні суперники (гравці) виступають свідомі суб᾽єкти управління, які будують свою стратегію відповідно до дій один одного; а в умовах невизначеності та ризику «суперником» суб᾽єкта управління є економічне середовище, протидія якого не є свідомою та яке не може реагувати на дії суб᾽єкта управління. Тому ігри, які відповідають конфліктним ситуаціям, називаються стратегічними, а ігри, що відповідають умовам невизначеності та ризику – статистичними.
Аналіз платіжної матриці дозволяє розробити рекомендації щодо вибору оптимальних рішень гравців.
11.3 Способи вибору оптимальних рішень в умовах конфлікту
11.3.1 Мажорування стратегій
Попередній аналіз даних платіжної матриці дозволяє визначити найбільш невигідні стратегії гравця, для яких кожен з елементів відповідного рядка матриці менший або дорівнює відповідним елементам будь-якого іншого рядка. Якщо виграші гравця А для деякої стратегії, наведені в елементах відповідного рядка платіжної матриці, менші від виграшів іншої стратегії, то перша стратегія є менш вигідною, ніж друга. Отже, явно невигідні стратегії мають бути відхилені вже на етапі попереднього аналізу, а їх детальний аналіз є недоцільним. Операція відбраковування явно невигідних стратегій називається мажоруванням. Зі стратегій, що залишилися, слід обрати найвигіднішу, яка вважається оптимальною [клименко*2].
11.3.2 Вибір оптимальних рішень на основі чистих стратегій
Оптимальні рішення гравців можуть бути визначені на основі чистих стратегій, якщо гра має сідлову точку. Отже, треба встановити наявність чи відсутність сідлової точки у грі та, виходячи з результатів, знайти рішення гри.
Гравець А може обрати будь-яку з чистих стратегій А1, А2, …Аm, гравець В – одну зі стратегій В1, В2, …Вn. Оптимальні чисті стратегії – це чисті стратегії, що утворюють сідлову точку [дубров,23].
Для визначення сідлової точки обчислюють нижню та верхню ціну гри.
Нижньою ціною гри називається елемент матриці, для якого виконується умова:
Нижня ціна гри показує, що яку б стратегію не обрав гравець В, виграш гравця А буде не менший, ніж  . Тобто гравець А обирає максимінну стратегію.
Верхньою ціною гри називається елемент матриці, що задовольняє умові:
Верхня ціна гарантує гравцю В, що гравець А не отримає виграшу, більшого за  . Тобто гравець В обирає мінімаксну стратегію.
Якщо = , кажуть, що гра має сідлову точку, а елемент матриці, для якого виконується ця умова, називається сідловою точкою (елементом). У цій точці найбільший з мінімальних виграшів гравця А дорівнює найменшому з максимальних програшів гравця В, тобто мінімум у будь-якому рядку матриці збігається з максимумом у будь-якому стовпці. Величина сідлового елемента називається чистою ціною гри.
Отже, стратегії, що відповідають сідловій точці, дозволяють врахувати інтереси обох гравців. Оптимальним рішенням для обох гравців є вибір максимінної для А і мінімаксної для В стратегії. Обрані стратегії дозволяють гравцям діяти так, щоб за найгіршої поведінки супротивника отримати максимальний виграш. Будь-яке відхилення гравцями від цих стратегій буде невигідним для них [машина, сороки, дубров, клименко, ивченко].
1. Неформальное описание игры
Всякая игра предполагает следующее:
Наличие некоторого числа n участвующих в ней лиц (игроков). Могут быть игры с одним игроком (пасьянс), двумя игроками (шахматы, муж с женой, две конкурирующие фирмы), тремя игроками (преферанс, три фирмы на рынке) и т.д. По числу игроков и идёт классификация игр игры двух лиц, трёх лиц и т.д.;
Конечный выигрыш (или проигрыш) каждого игрока. Когда игра кончается, каждый игрок получает доход  (если  значит, игрок проиграл), зависящий от его поведения и поведения других игроков.
Наиболее изученным классом игр являются так называемые игры с нулевой суммой, когда в любой партии имеет место условие
 ,
то есть если кто-то выигрывает, то кто-то обязательно проигрывает. Это особенно проявляется в играх двух лиц с нулевой суммой, когда  , то есть  . В этом случае интересы игроков строго противоположны, так как выигрыш одного игрока является одновременно проигрышем другого. Такие игры называютантагонистическими.
Всякая игра состоит из партий, которые начинаются и заканчиваются, после чего игрокам выплачиваются их выигрыши. В свою очередь, каждая партия состоит из ходов, которые одновременно или последовательно делают игроки. Описание игры как последовательности ходов носит название позиционной формы игры. Теория игр в позиционной форме разработана очень слабо и ещё ждёт своих Эйлеров и Гауссов.
Основное содержание современной теории игр это так называемая матричная форма игры. В этом случае считается, что каждый игрок делает всего лишь один ход, причем все ходы делаются одновременно. После этого каждому игроку выплачивается выигрыш (или берётся проигрыш) в зависимости от того, какие ходы были сделаны им и другими игроками.
Вообще говоря, игра в позиционной форме может быть сведена к игре в матричной форме, однако для реальных игр это сведение настолько сложно, что практически невыполнимо даже для современных ЭВМ. Однако вполне возможно, что в будущем такое сведение будет иметь и практический смысл.
2. Игры двух лиц с нулевой суммой
Игра двух лиц с нулевой суммой в матричной форме занимает центральное место в современной теории игр, так как теория таких игр разработана практически до конца.
Итак, пусть имеется два игрока. В распоряжении первого игрока имеется всего n возможных ходов i=1,2,3,...,n; в распоряжении второго игрока имеется m возможных ходов j=1,2,3,...,n. Эти возможные ходы называются чистыми стратегиями игроков.
Оба игрока делают одновременно по одному ходу, после чего партия считается законченной. Если первый игрок делает ход i, а второй ход j,
то первый игрок получает выигрыш, равный  .Очевидно, что выигрыш второго игрока равен  .
Эти данные можно записать в виде матрицы
 ,
в которой строки соответствуют ходу первого игрока, а столбцы ходу второго игрока. Эта матрица носит название платёжной матрицы игры.
Как же должны действовать игроки в такой ситуации? Какие ходы они должны делать?
3. Игры с седловой точкой
Рассмотрим с этих позиций игру со следующей платёжной матрицей
  .
Попробуем порассуждать с точки зрения первого игрока. Если он сделает ход i=1, то наихудшей для него будет ситуация, когда второй игрок сделает ход j=3, так как в этом случае он получит 0. Если первый игрок сделает ход i=2, то в наихудшем случае (при ходе второго игрока j=1) он также получит 0. Аналогично, при i=3 он в наихудшем случае получит 4 (при j=2), при i=4 2 (при j=3 ) и, наконец, при i=5 он в наихудшем случае получит 0 (при j=3).
Стремясь сделать свой гарантированный выигрыш как можно больше, первый игрок должен выбрать ход i=3, так как в этом случае он гарантирует себе выигрыш, равный 4 (правда, и его максимальный выигрыш невелик всего 5).
А теперь попробуем посмотреть на эту же матрицу с точки зрения второго игрока. Для него это матрица его проигрыша.
Если он выберет ход j=1, то его максимальный проигрыш будет равен 18 (если первый игрок сделает ход i=1). Аналогично, при j=2 его максимальный проигрыш будет равен 4, при j=3 8, и, наконец, при j=4 его максимальный проигрыш будет равен 25. Стремясь сделать свой максимальный проигрыш как можно меньше, второй игрок должен выбрать ход j=2, так как в этом случае его максимальный проигрыш, равный 4, самый маленький.
Итак, мы пришли к выводу, что первый игрок должен ходить i=3, а второй j=2. Допустим теперь, что второй игрок, как говорят, “открывает карты” и заявляет первому игроку: “Я буду делать ход j=2”. Есть ли первому игроку необходимость менять свой ход? Нет, так как в этом случае его наилучший ход всё равно i=3.
Аналогично, если первый игрок заявит второму, что он будет ходить i=3, то второму игроку также нет смысла менять свой ход, так как наилучшим ответом будет всё равно j=2. Пара i=3, j=2 является, как говорят, уравновешенной парой, так как “открытие карт” игроками не даёт поводов противнику менять свою стратегию. Как говорят, пара i=3, j=2 есть решение игры, а величина выигрыша при этом первого игрока (и одновременно величина проигрыша второго) 4 это цена игры.
Оформим всё это математически. Итак, пусть первый игрок выбирает ход i. В наихудшей для него ситуации он выиграет
 .
Стремясь сделать свой минимальный выигрыш максимальным, он выбирает свой ход из условия
 .
Такая стратегия называется максиминной.
Аналогично, второй игрок, выбирая ход j, в наихудшей для себя ситуации проигрывает
 .
Стремясь сделать свой максимальный проигрыш минимальным, он должен выбирать свой ход из условия
 .
Такая стратегия называется минимаксной.
у матрицы может быть несколько седловых точек
4. Смешанные стратегии
Седловая точка в матричных играх всё-таки скорее исключение, чем правило. А что же может гарантировать себе игрок, если седловой точки нет?
Давайте снова рассмотрим игру с платёжной матрицей
 .
Здесь  ,  и между  и  образуется “дыра”  Как можно её заполнить и чем?
Представим себя в позиции первого игрока. Он имеет гарантированный выигрыш (скорее, проигрыш), равный (-1). Как он может его повысить?
Конечно, если игра повторяется много раз, то он может изучить своего партнёра, придумывать всякие схемы игры и т.д. и т.п., но вряд ли это даст какие-то гарантии, если число партий невелико. Тут никакие схемы не помогут.
В такой ситуации единственный выход выбирать свой ход случайным образом. Например, взять и подбросить монету. Упадёт она кверху орлом делать ход i=1, выпадет решка делать ход i=2. Что же это даст?
Выигрыш станет случайной величиной и оценивать его надо по математическому ожиданию. Пусть второй игрок делает ход j=1. Тогда математическое ожидание выигрыша первого игрока будет
 .
Если второй игрок делает ход j=2, то математическое ожидание выигрыша первого игрока равно
 .
Таким образом, выбирая свой ход случайно, первый игрок гарантирует себе (правда, в среднем, а не в каждой партии), выигрыш, равный нулю. А это всё-таки лучше, чем гарантированный выигрыш, равный (-1) .
Аналогично, второй игрок, бросая монету и выбирая ход в соответствии с её “указанием”, гарантирует себе в среднем проигрыш, равный 0. Это тоже лучше, чем проигрыш, равный 1.
Таким образом, оказывается, что случайный выбор хода повышает наши шансы на успех, хотя бы в среднем. И это является одной из основных идей теории игр выбиратьсвой ход случайно. Подобный случайный выбор хода получил название смешанной стратегии.
Конечно, с обычных житейских позиций, случайный выбор хода не всегда приемлем. Вообразите себе военачальника, который выиграл сражение. Он даёт интервью по TV и на вопрос о том, как же он принял правильное решение, говорит: “Ну, я бросил монету, она упала орлом кверху, и поэтому я … ”. Как посмотрит на него телезритель? А если он проиграл битву, то как отнесётся к такому ответу его начальство?
И тем не менее, случайный выбор хода смешанная стратегия имеет право на существование, даже в реальной жизни. Когда не знаешь, как действовать выбирай свой ход случайным образом! Иногда помогает. По крайней мере, никто не разгадает стратегии твоего поведения и не предугадает твоего хода.
7. Игры двух лиц с ненулевой суммой
Рассмотрим теперь основные идеи, касающиеся игр двух лиц с ненулевой суммой. В этом случае игра задаётся двумя матрицами, которые обычно объединяют в одну и пишут в виде
Здесь выигрыш первого игрока и  выигрыш второго, если первый игрок делает ход i, а второй j. Однако в данном случае  
В такой ситуации появляется принципиально новый момент, которого не было раньше возможность сговора, совместных действий игроков. Когда  , то интересы обоих игроков прямо противоположны и возможность сговора исключена в силу противоположности интересов. Если  , то интересы игроков могут хотя бы частично совпадать, что и определяет возможность хотя бы частичного сотрудничества между ними.
И эта возможность сговора не упрощает, а сильно усложняет ситуацию! Потому, что до чего и как договорятся игроки в очень сильной степени зависит от двух вещей: от самой возможности вести переговоры и от психологических особенностей игроков. А психология очень сложная вещь и математика до неё еще не добралась.
Игры двух лиц с ненулевой суммой принято разбивать на два класса некооперативные и кооперативные. В некооперативных играх игроки не имеют возможности общаться друг с другом. Как же они могут договориться между собой? Это возможно, если игра повторяется тогда возможность такого сговора появляется в ходе повторения игры, ведь можно наказывать партнёра, выбирая заведомо плохой для него ход. Но вот что из этого получится теория игр пока не даёт ни ответа, ни совета.
В кооперативных играх игроки имеют возможность договариваться в любое удобное для них время и никаких косвенных приёмов для договорённостей им применять не надо.
Игры против природы – наши критерии
Особое место в теории игр занимают игры против природы, которые ещё носят название выбора решений при неопределённости. Природа хотя и делает случайные ходы, но не является злонамеренным игроком, так как она не стремится сделать как можно хуже своему противнику и не обладает разумом. Поэтому и выбор решения в такой ситуации имеет свои особенности.
11.3.3 Обгрунтування рішень на основі змішаних стратегій
В економічній практиці у більшості ігор сідлова точка у чистих стратегіях відсутня, що не дозволяє однозначно визначити оптимальні стратегії гравців. В таких випадках використовуються змішані стратегії, у яких випадковим чином чергуються особисті стратегії. Цей метод широко використовується в господарській практиці, що виражається у стратегії диверсифікації. Наприклад, виробники, не знаючи заздалегідь точних даних щодо попиту, прагнуть розширити асортимент продукції; інвестори вкладають кошти у різні цінні папери і т. д. Отже, гравці намагаються отримати максимальний виграш (мінімальний програш), застосовуючи не одну, а кілька стратегій.
Точний метод знаходження оптимальної змішаної стратегії зводиться до задачі лінійного програмування, який досить трудомісткий. Існують спеціальні комп᾽ютерні програми, що реалізують цей метод [машина, сороки, дубров, клименко, ивченко]. Однак можна спробувати знайти оптимальне рішення в умовах конфлікту на основі змішаних стратегій.
Змішана стратегія гравця – це повний набір застосування його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в тих самих умовах із заданими ймовірностями.
Умови застосування змішаних стратегій:
гра не має сідлової точки;
гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із заданими ймовірностями;
гра багаторазово повторюється в подібних умовах;
при кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;
допускається осереднення результатів ігор [машина, сороки, клименко].
При використанні змішаних стратегій використовують наступні основні положення, наведені у [машина, сороки, дубров, клименко, ивченко].
Для гравця А змішана стратегія полягає в застосуванні чистих стратегій А1, А2, …Аm з відповідними ймовірностями р1, р2, …рm позначається матрицею
 ,
за умови, що 
Для гравця В
 ,
за умови, що  , де  – ймовірність застосування чистої стратегії Вj.
В окремому випадку, коли  , для гравця А маємо чисту стратегію:
Чисті стратегії гравця є єдино можливими неспільними подіями [сороки, клименкоУчебник]. У матричній грі при заданих векторах  і  можна визначити середній виграш гравця А:
де і – вектори відповідних ймовірностей;
 і  – компоненти цих векторів.
Шляхом застосування своїх мішаних стратегій гравець А прагне максимально збільшити свій середній виграш, а гравець В – мінімізувати виграш гравця А. Гравець А прагне досягти виконання умови:
Гравець В домагається виконання протилежної умови:
Вектори, що відповідають оптимальним мішаним стратегіям гравців А і В, позначимо як  і  . Для цих векторів виконується рівність:
Ціна гри  – середній виграш гравця А при використанні обома гравцями змішаних стратегій.
Розв᾽язком матричної гри є оптимальна змішана стратегія гравця А (); оптимальна змішана стратегія гравця В () та ціна гри ().
Змішані стратегії будуть оптимальними (і ), якщо вони утворюють сідлову точку для функції  , тобто
 .
Основна теорема теорії ігор. Для матричної гри з будь-якою матрицею А величини і існують, вони рівні між собою і дорівнюють ціні гри:  .
При виборі оптимальних стратегій гравцю А завжди буде гарантований середній виграш, не менший, ніж ціна гри, за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В - навпаки).
Активними стратегіями гравців А і В називають стратегії, що входять до складу оптимальних змішаних стратегій відповідних гравців з ймовірностями, відмінними від нуля. Отже, до складу оптимальних змішаних стратегій можуть входити не всі апріорі задані їх стратегії.
Розглянемо окремий випадок розв᾽язання задач на основі змішаних стратегій. Найпростіша гра може бути описана матрицею 2 2. За відсутності сідлової точки можна отримати дві оптимальні змішані стратегії, які записуються так:
 ;  .
Отже, є платіжна матриця:
 .
При цьому
звідки одержуємо оптимальні значення  та  .
 
Знаючи та , знаходимо :
Обчисливши , знаходимо  та  :
Задачу розв᾽язано, оскільки знайдено вектори  і ціна гри .
Це завдання можна розв᾽язати графічним методом, використовуючи наступний алгоритм:
по осі абсцис відкладається відрізок одиничної довжини;
по осі ординат відклажаються виграші при стратегії А1;
на лінії, паралельній осі ординат, у точці 1 відкладаються виграші при стратегії А2;
кінці відрізків позначаються для  ,  ;  ;  та проводяться прямі лінії  та  ;
визначається ордината точки перетину проведених прямих ліній, яка позначається с. Висота перпендикуляру, опущеного з цієї точки на ось абсцис, дорівнює . Абсциса точки с дорівнює  ( ).
Графічне зображення цього алгоритму наведено на рисунку 11.1.
Рисунок 11.1 – Графічний метод знаходження оптимальної змішаної стратегії
Даний метод має досить широку сферу використання, що огрунтується на загальній властивості ігор  , яка полягає в тому, що у будь-якій грі кожен гравець має оптимальну змішану стратегію, у якій кількість чистих стратегій не перевищує  . З цієї властивості випливає, що у будь-якій грі  та  кожна оптимальна стратегія  та  містить не більш двох активних стратегій. Отже, будь-яка гра або може бути зведена до гри 22 та розв᾽язана графічним методом. Якщо матриця скінченної гри має розмірність , де  і  , то для визначення оптимальних змішаних стратегій використовується лінійне програмування. Опис цього розв᾽язання докладно описаний у [івченко, с153].
Контрольні питання
1 Поняття конфліктної ситуації. Причини виникнення конфліктних ситуацій.
2 Особливості розв᾽язання завдань в умовах невизначеності та конфлікту.
3 Система понять теорії ігор.
4 Сутність мажорування стратегій гравців.
5 Порядок обгрунтування рішень на основі чистих стратегій
6 Способи вибору рішень на основі змішаних стратегій.
|