ТЕМА 7 – КРИТЕРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ.
7.1 Основні поняття теорії ігор, що застосовуються при обґрунтуванні рішень в умовах невизначеності. Матриця виграшів та матриця ризиків: сутність та порядок побудови.
7.2 Характеристика критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності.
7.2.1 Максимінний критерій Вальда.
7.2.2 Критерій максимакс.
7.2.3 Мінімаксний критерій Севіджа.
7.2.4 Критерій узагальненого оптимізму-песимізму Гурвіца.
7.1 Основні поняття теорії ігор, що застосовуються при обгрунтуванні рішень в умовах невизначеності
Невизначеність супроводжує процес прийняття та реалізації всіх господарських рішень. Дуже часто невизначеність обумовлена відсутністю достатньої інформації щодо умов прийняття рішень, які залежать від об᾽єктивної дійсності (природи). Тому виникає потреба у використанні спеціальних критеріїв, які дозволяють суб᾽єкту управління обрати оптимальне рішення з урахуванням невизначеності. Для цього можна скористатися основними положеннями теорії статистичних ігор.
Теорія ігор - теорія математичних моделей і методів, пов'язаних із прийняттям раціональних рішень в умовах конфлікту й невизначеності. Завданням теорії ігор є виявлення оптимальної стратегії (рішення) [сорока,132]. Якщо вивчаються ситуації протидії свідомого суб᾽єкта управління та економічного середовища (природи), яке не є свідомим, такі ситуації називаються іграми з природою (статистичними іграми), а розділ теорії ігор, який вивчає ігри з природою, називається теорією статистичних рішень [].
Відповідно до концепції теорії ігор суб᾽єкт управління зацікавлений у виборі оптимального варіанту рішення (стратегії), що забезпечує йому максимальний виграш або мінімальний програш.
В теории игр и теории решений применяются Матрицы игр. Это таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (например, исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии).
Классический пример теории игр, называемый дилеммой заключенных, иллюстрирует проблему, с которой сталкиваются олигопольные фирмы. Он заключается в следующем: двух заключенных обвинили в совместном совершении преступления. Они находятся в отдельных тюремных камерах и не могут поддерживать связь друг с другом. Каждого просили признаться в совершении преступления. Если оба заключенных сознаются, каждый получит срок заключения в 5 лет. Если никто не признается, судебное преследование будет трудно довести до конца, и поэтому заключенные могут получить двухгодичный срок наказания. С другой стороны, если один заключенный сознается, а другой нет, тот, кто признается, получит один год заключения, а другой сядет в тюрьму на десять лет. Если бы вы были одним из заключенных, сознались бы вы или нет?
|
Заключенный В Признался
|
Заключенный В Не признался
|
Заключенный А Признался
|
__ 5 __ 5
|
— 1, — 10
|
Заключенный А Не признался
|
— 10, — 1
|
-2, -2
|
В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, неважно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.
Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали. В этом и заключается дилемма.
Олигополисты! Конкуренты при установлении цены!
Економічне середовище – сукупність невизначених чинників, у т.ч. й економічних, які впливають на ефективність рішення, що приймається. Наприклад, як складові економічного середовища можуть розглядатися попит на продукцію підприємства, рівень інфляції та ін. Отже, результати рішень, що приймаються, залежать від невідомої заздалегідь об᾽єктивної реальності.
У дискретному випадку економічне середовище являє собою повну групу взаємовиключних та взаємодоповнюючих подій. Тому сума ймовірностей станів економічного середовища дорівнює одиниці.
Ситуація прийняття рішень в умовах невизначеності характеризується множиною рішень (стратегій) суб'єкта управління ( ), множиною станів (стратегій) економічного середовища ( ) та функціоналом оцінювання (  Ѳ ), визначеним на множині *, а також функцією  - функцією виграшу суб'єкта управління [витл,184].
Якщо дискретною є множина стратегій (варіантів рішення) суб'єкта управління  і множина станів економічного середовища   Ѳ1, Ѳ2, …. Ѳn , функціонал оцінювання задається матрицею:
елементи fkj якої – це кількісна оцінка рішення  за умови, що середовище знаходиться в стані Ѳ  .
Рішенню  відповідає вектор оцінювання  , де k=1,……m.
Функціонал оцінювання може мати форму матриці виграшів (матриці ефективності рішень, що приймаються) або матриці ризиків (матриці втрат).
Матриця придатна для ситуації, коли:
існує кінцева кількість розглянутих альтернатив дій і станів навколишнього середовища;
має місце функція результатів, яка зараховує кожній альтернативі однозначний ефект у формі, наприклад, вартості капіталу, доходів, прибутків тощо;
вартість капіталу чи отриманий прибуток (зазнаний збиток) буде єдино важливою цільовою величиною.
Матриця виграшів відображає можливі значення прибутку (доходу) або збитків як виграшів зі знаком «мінус» при різних сполученнях варіантів прийняття рішень та економічного середовища.
Для прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику за допомогою статичної ігрової моделі вхідна інформація подається у вигляді матриці, рядки якої — це можливі альтернативні рішення, а стовпчики — стани системи (середовища).
У загальному вигляді матриця виграшів може бути представлена наступним чином (таблиця 7.1).
Таблиця 7.1 – Матриця виграшів
Варіанти рішення
|
Умови економічного середовища
|
Ѳ1
|
Ѳ2
|
…....
|
Ѳn
|
х1
|
а11
|
а12
|
……
|
а1n
|
х2
|
а21
|
а22
|
……
|
а2n
|
….
|
……
|
……
|
……
|
……
|
xm
|
аm1
|
аm2
|
……
|
аmn
|
де хm – варіанти рішення, що приймається;
Ѳn – варіанти економічного середовища;
аmn – значення виграшів при різних варіантах рішення та станах економічного середовища.
Матриця ризику відображає суми прямих збитків або недоотриманого прибутку при різних варіантах прийняття рішень. Значення елементів матриці ризику визначаються як різниця між максимальним виграшем та виграшем по конкретному варіанту рішення при даному варіанті економічного середовища.
Матриця виграшів і матриця ризику містять вихідні дані, на основі яких за допомогою низки спеціальних критеріїв можливо розробити рекомендації щодо вибору та реалізації конкретних варіантів рішень. Завдання полягає в тому, що необхідно знайти такий варіант рішення, який в порівнянні з іншими є найбільш вигідним (доцільним).
Пример:
Варіант А.
Пекарня випікає хліб на продаж до магазинів. Собівартість однієї булки становить 0,90 грн. Її продають за 1,10 грн. У таблиці 3 приведений попит за останні 50 діб.
Таблиця 3
Попит на хліб на добу
Попит на добу, шт.
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
Ймовірність
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,3
|
0,1
|
Якщо булка виготовлена, але не продана, то додаткові збитки становлять 0,20 грн. за штуку.
Потрібно побудувати платіжну матрицю доходів та матрицю ризиків і за допомогою різних критеріїв визначити, яку кількість продукції необхідно випускати пекарні.
1. Строим платежную матрицу:
Платежная матрица
|
|
|
продали
|
|
|
|
|
|
|
|
в1
|
в2
|
в3
|
в4
|
в5
|
|
|
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
произвели
|
10
|
а1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
|
12
|
а2
|
-0,2
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
|
14
|
а3
|
-2,4
|
0,2
|
2,8
|
2,8
|
2,8
|
|
16
|
а4
|
-4,6
|
-2
|
0,6
|
3,2
|
3,2
|
|
18
|
а5
|
-6,8
|
-4,2
|
-1,6
|
1
|
3,6
|
|
|
Max
|
2
|
2,4
|
2,8
|
3,2
|
3,6
|
Каждая ячейка = Цена * продали – С/с * произвели – Разница между произвели и продали (если она есть) * дополнительные расходы
2. Строим матрицу рисков
Матрица рисков
|
|
|
продали
|
|
|
|
|
|
|
|
в1
|
в2
|
в3
|
в4
|
в5
|
произвели
|
10
|
а1
|
0
|
0,4
|
0,8
|
1,2
|
1,6
|
|
12
|
а2
|
2,2
|
0
|
0,4
|
0,8
|
1,2
|
|
14
|
а3
|
4,4
|
2,2
|
0
|
0,4
|
0,8
|
|
16
|
а4
|
6,6
|
4,4
|
2,2
|
0
|
0,4
|
|
18
|
а5
|
8,8
|
6,6
|
4,4
|
2,2
|
0
|
Каждая ячейка = максимальное значение по столбцу из платежной матрицы – значение ячейки платежной матрицы
При прийнятті рішень в умовах невизначеності для вибору рішень використовуються наступні критерії: критерій Вальда, критерій максимакс, критерій Севіджа, критерій Гурвіца.
7.2 Характеристика критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності
7.2.1 Критерій Вальда
Критерій Вальда (Максимінний) дозволяє обрати варіант рішення, який гарантує отримання максимально можливого виграшу за найгірших умов економічного середовища. Формалізований вираз цього критерію має вигляд:
 (7.1)
Наш пример:
Платежная матрица
|
|
продали
|
|
|
|
|
|
|
|
в1
|
в2
|
в3
|
в4
|
в5
|
мин
|
произвели
|
а1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
|
а2
|
-0,2
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
-0,2
|
|
а3
|
-2,4
|
0,2
|
2,8
|
2,8
|
2,8
|
-2,4
|
|
а4
|
-4,6
|
-2
|
0,6
|
3,2
|
3,2
|
-4,6
|
|
а5
|
-6,8
|
-4,2
|
-1,6
|
1
|
3,6
|
-6,8
|
|
Max
|
2
|
2,4
|
2,8
|
3,2
|
3,6
|
|
Выбираем минимальные значения результата (минимальная прибыль или максимальный убыток) из всех вариантов производств – и из них выбираем максимальное значение – это и есть вариант производства.
Ответ: мы производим минимум – 10 булок - потому что в этом случае мы понесем минимальные убытки при самом плохом варианте продаж.
Вихідними даними при виборі варіантів рішень за критерієм Вальда є виграші аij, що відповідають кожному зі сполучень рішень і стану економічного середовища, наведені в матриці виграшів. За кожним варіантом рішення визначають мінімальне значення виграшу. Потім з обраних мінімальних значень виграшу знаходять максимальну величину, яка дозволяє визначити варіант рішення, що дозволить отримати максимально можливий виграш за найгірших умов економічного середовища. Цей варіант рішення вважається оптимальним за даним критерієм.
Критерій Вальда орієнтує особу, що приймає рішення, на дуже обережну (песимістичну) лінію поведінки та уникнення ризику. Тому критерієм Вальда користуються у випадках, коли існує загроза дуже значних втрат в разі помилково прийнятого рішення; або якщо суб᾽єкт управління не схильний до ризику та прагне з більшою упевненістю отримати менший виграш замість значного, але непевного виграшу.
критерий крайнего пессимизма
7.2.2 Критерій максимакс (Критерий крайнего оптимизма)
Максимаксний критерій передбачає оптимістичну позицію щодо прийняття рішення та відповідає наступальній економічній стратегії. Цей критерій орієнтує суб᾽єкта управління на отримання максимально можливого результату рішення. Формалізований вираз цього критерію має вигляд:
 (7.2)
Відповідно до цього критерію на основі даних матриці виграшів за кожним варіантом рішення визначають максимальне значення. Далі з-поміж обраних максимальних значень виграшу знаходять максимальну величину. Цій величині відповідатиме варіант рішення, що дозволить отримати найкращий економічний результат.
Платежная матрица
|
|
продали
|
|
|
|
|
|
|
|
в1
|
в2
|
в3
|
в4
|
в5
|
Макс
|
произвели
|
а1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
|
а2
|
-0,2
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
|
а3
|
-2,4
|
0,2
|
2,8
|
2,8
|
2,8
|
2,8
|
|
а4
|
-4,6
|
-2
|
0,6
|
3,2
|
3,2
|
3,2
|
|
а5
|
-6,8
|
-4,2
|
-1,6
|
1
|
3,6
|
3,6
|
|
Max
|
2
|
2,4
|
2,8
|
3,2
|
3,6
|
|
Выбираем максимальные значения результата (максимальная прибыль или минимальный убыток) из всех вариантов производств – и из них выбираем максимальное значение – это и есть вариант производства.
Ответ: мы производим минимум – 18 булок - потому что в этом случае мы получим максимальную прибыль при самом хорошем варианте продаж.
Цей критерій передбачає ігнорування можливих несприятливих подій під час реалізації рішення, тому він придатний для ситуацій, коли суб᾽єкт управління є схильним до ризику, а можливі позитивні результати прийнятого рішення значно перевищують його можливі негативні наслідки.
7.2.3 Критерій Севіджа (минимального риска):
Мінімаксний критерій Севіджа використовується у випадках, коли потрібно за будь-яких умов уникнути великого ризику. Відповідно до цього критерію перевагу слід надати варіанту рішення, для якого максимальні втрати за різних варіантів стану економічного середовища виявляться мінімальними. Його формалізований вираз має вигляд:
 (7.3)
де rij – втрати, що відповідають i-му рішенню при j-му варіанті стану економічного середовища.
Мы используем матрицу риска:
Матрица рисков
|
|
в1
|
в2
|
в3
|
в4
|
в5
|
Макс
|
|
а1
|
0
|
0,4
|
0,8
|
1,2
|
1,6
|
1,6
|
|
а2
|
2,2
|
0
|
0,4
|
0,8
|
1,2
|
2,2
|
|
а3
|
4,4
|
2,2
|
0
|
0,4
|
0,8
|
4,4
|
|
а4
|
6,6
|
4,4
|
2,2
|
0
|
0,4
|
6,6
|
|
а5
|
8,8
|
6,6
|
4,4
|
2,2
|
0
|
8,8
|
При застосуванні критерію Севіджа вихідними даними є можливі втрати, що відповідають кожному зі сполучень варіантів рішень і стану економічного середовища, які отримують за даними матриці ризику. За кожним варіантом рішення знаходять величину максимально можливих втрат (збитків, недоотриманого прибутку). Серед отриманих максимальних значень знаходять мінімальне значення, яке відповідатиме оптимальному варіанту рішення за критерієм мінімаксу. Отже, у випадку реалізації цього варіанту рішення можливі втрати будуть мінімальними з усіх максимальних.
Даний критерій орієнтує суб᾽єкта управління на обережну лінію поведінки, орієнтовану на використання захисної стратегії та уникнення ризику. Використання цього критерію доцільне, якщо небезпека втрат дуже значна та необхідно забезпечити їх мінімізацію.
Спільною рисою критеріїв Вальда та Севіджа є орієнтація на обережну поведінку, пов᾽язану з уникненням ризику та песимістичною позицією щодо прийняття рішення. Але критерій Вальда орієнтований на отримання мінімального виграшу, а критерій Севіджа дозволяє мінімізувати можливі втрати [ивч, лагоша, гранат].
Недоліком критеріїв Вальда, максимакса та Севіджа є врахування тільки одного варіанту економічного середовища для кожного варіанта рішення [клим, с.87].
7.2.4 Критерій пессимизма–оптимизма Гурвіца
Критерій узагальненого максиміна (песимізму-оптимізму) Гурвіца використовується, якщо потрібно знайти певну комбінацію оптимістичної та песимістичної позицій щодо прийняття рішення. Відповідно до цього критерію перевагу надають варіанту рішення, для якого виконується умова:
 , (7.4)
Коэффициент отображает меру пессимизма ЛПР
де χ – коефіцієнт, що відображає ступінь песимізму ЛПР  ,
аij – виграш, що відповідає i-му рішенню при j-му варіанті стану економічного середовища.
Значення коефіцієнту песимізму встановлюються суб᾽єктивно, залежно від конкретних обставин та схильності до ризику особи, що приймає рішення. При χ = 0 має місце оптимістична позиція та орієнтація на граничний ризик, а величина критерію Гурвіца співпадає з величиною критерію максимакса. При χ = 1 суб᾽єкт управління налаштований песимістично та прагне уникати ризику, а величина критерію Гурвіца співпадає з величиною максимінного критерію Вальда. Значення χ між 0 і 1 є проміжними між ризиком і обережністю. Чим більша можлива небезпека, тим більш наближуватиметься до одиниці значення коефіцієнта песимізму. При зміні значення коефіцієнта песимізму змінюватиметься й варіант рішення, якому надається перевага. Отже, схильність до ризику суб᾽єкта управління значною мірою впливає на вибір рішення.
Визначити яку кількість продукції випускати компанією за допомогою критерію Гурвіца із коефіцієнтом оптимізму 0,7.
Соответственно коэффициент пессимизма = 0,3
Платежная матрица
|
|
продали
|
|
|
|
|
|
|
Х=
|
|
|
в1
|
в2
|
в3
|
в4
|
в5
|
Макс
|
мин
|
0,3
|
произвели
|
а1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
|
а2
|
-0,2
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
2,4
|
-0,2
|
1,62
|
|
а3
|
-2,4
|
0,2
|
2,8
|
2,8
|
2,8
|
2,8
|
-2,4
|
1,24
|
|
а4
|
-4,6
|
-2
|
0,6
|
3,2
|
3,2
|
3,2
|
-4,6
|
0,86
|
|
а5
|
-6,8
|
-4,2
|
-1,6
|
1
|
3,6
|
3,6
|
-6,8
|
0,48
|
|
Max
|
2
|
2,4
|
2,8
|
3,2
|
3,6
|
|
|
2
|
Выбираем максимум и минимум по строкам.
По формуле – умножаем минимальное значение на критерий пессимизма, умножаем максимальное значение на критерий оптимизма (1 – критерий пессимизма = 0,7), потом складываем. Из полученных значений выбираем максимальное.
Розглянуті критерії пов᾽язані між собою, тому рекомендується використовувати їх комплексно. Остаточний вибір варіанта рішення слід здійснювати з урахуванням всіх розглянутих критеріїв.
Рассмотрим конкретный (сильно упрощенный) пример.
Пусть у некоего физического лица имеется 1000 долларов. Он предлагает рассмотреть 4 возможных стратегии:
положить деньги дома в шкаф;
положить деньги в банк на депозит (10% годовых);
вложить деньги в бизнес друга (рентабельность 100% в случае успеха);
купить лотерейные билеты (рентабельность 1000% в случае выигрыша).
Все возможные исходы предлагается получить исходя из следующего набора факторов:
уровень инфляции (%): 5, 10, 15;
судьба бизнеса: прогорел, не прогорел;
результаты лотереи: выиграл, не выиграл.
Период планирования — один год.
Предположим, что наш герой решил обратиться к консультанту за помощью в выборе наилучшей стратегии. Что же сделал консультант?
Прежде всего, он исключил из рассмотрения стратегию «лотерея». Потому что вероятность исхода «выиграл» существенно ниже всех остальных вероятностей (даже при том, что все они неизвестны)! Действительно, если бы вероятности были заданы, то эффективность стратегии («лотерея») была бы точно сильно ниже остальных. Это дает консультанту право исключить эту стратегию из рассмотрения. Вероятности всех остальных исходов для оставшихся стратегий, хоть и не известны, но сопоставимы. Поэтому все остальное консультант оставил.
Далее консультант сформировал матрицу выигрышей и рассчитал на ее основе матрицу рисков (см. рисунок ниже).
После этого консультант применил рекомендации Сэвиджа и 2 раза Гурвица (с разными константами — уровнями оптимизма).
Сэвидж рекомендует депозит.
Гурвиц-1 (оптимист) — бизнес
Гурвиц-2 (пессимист) — депозит
Вывод — рекомендуется выбор стратегии «Депозит в банке».
|
