Посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З ібрав і підготував учитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О

Скачати 1.09 Mb.

Назва	Посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З ібрав і підготував учитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О
Сторінка	7/12
Дата	07.11.2013
Розмір	1.09 Mb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

2. На дошці 10 х 10 кліток для гри в «морський бій» коштує «крейсер» (корабель із трьох кліток, розташованих у ряд). По скількох клітках треба нанести удари, щоб напевно зачепити «крейсер»?

а) Придумайте план з можливо меншого числа пострілів, що гарантує падання в «крейсер».

б) Доведіть, що меншого числа ударів, чим у вас, може і не вистачити.

3. Ті ж питання для «есмінця» (корабля з двох кліток, розташованих у ряд).

4. Ті ж питання для «підвідного човна» (одноклітинний корабель).

При рішенні задач типу 1 деякі міркують приблизно так: «Даний план дозволяє напевно потрапити в «лінкор». Якщо ж наносити удари по всіх клітках плану, крім однієї, то можна і не потрапити. Отже, меншим числом пострілів, чим на цьому плані, не обійтися». Міркування неправильне. Планів багато, і вони не виходять друг із друга перестановкою одного-двох ударів. Кожний з чотирьох планів — стріляти по червоних клітках, по синім, по жовтим, по зеленим — такий, що при пропуску одного удару вже не можна гарантувати влучення в «лінкор». Однак один з цих планів складається з 24 ударів, два — з 25 і один навіть з 26... У чому причина появи подібних помилкових міркувань? Справа в тім, що з плану з найменшим можливим числом пострілів не можна викинути жодного удару без утрати гарантії влучення напевно. Отже, для того щоб даний план був планом з найменшим можливим числом пострілів (будемо говорити: оптимальним планом), необхідно, щоб з нього не можна було викинути жодного удару без утрати гарантії влучення напевно. Однак ця необхідна умова аж ніяк не є достатнім! З того, що не можна викинути жодного пострілу без утрати гарантії влучення напевно, аж ніяк не випливає, як показують приведені вище приклади, що план є оптимальним!

5. На дошці 10 X 10 кліток для гри в «морський бій» коштує ескадра з двох кораблів — лінкора і крейсера. По скількох клітках треба нанести удари, щоб напевно зачепити хоча б один з кораблів ескадри?

а) Придумайте план з можливо меншого числа пострілів, що гарантує влучення в один з кораблів ескадри.

б) Доведіть, що меншого числа пострілів, чим у вас, може і не вистачити.

Обговорення. Ті хто розв'язав задачу 2 знають, що в полюванні за крейсером гарантований успіх тільки тоді, коли число ударів не менш 33. А для піймання лінкора досить 24 пострілів. Тому відразу приходить у голову план — полювати за флагманом. За 24 пострілу флагман буде обов'язково зачеплений.

Але невже для гарантованого влучення в один з кораблів ескадри з лінкора і крейсера потрібно стільки ж пострілів, скільки для одного лінкора? Якщо ми випадково виберемо одну клітку і вистрілимо по ній, то за поразку лінкора є 4 шанси з 100, а за поразку одного з кораблів ескадри — 7 шансів з 100! Але проте має місце разюча обставина:для влучення в один з кораблів ескадри необхідно не менш 24 пострілів, як і для одного флагмана!

Д

оведемо, що не існує способу нанесення 23 «ударів», при якому напевно буде уражений хоча б один корабель. Доказ проведемо «від противного». Допустимо, що такий спосіб існує. Як показано при рішенні задачі 1, лінкор може виявитися розташованим так, що він не буде виявлений. Доведемо, що при цьому може случитися, що і «крейсер» не буде зачеплений. Кораблі не повинні стикатися, тому «крейсер» може знаходитися на кожній з 7 ліній дошки (лінія — це чи горизонталь вертикаль), рівнобіжних «лінкору» і не дотичних з ним. На цих лініях можна розташувати принаймні 3x7 = 21 «крейсер», ніякі два з який не мають загальних кліток. На трьох інших лініях можна розташувати в напрямку, перпендикулярному «лінкору», ще принаймні 4 «крейсери». Виходить, при розглянутому способі нанесення ударів може виявитися, що і «крейсер» не буде виявлений: оскільки крейсерів 25, а ударів 23, то за принципом Діріхле принаймні на два з них не прийдеться ударів — на місці одного з цих двох міг стояти крейсер спочатку. Отже, за розглянутим планом стрілянини знайшли стоянки кораблів ескадри, «вільні від улучень». Відзначимо, що це міркування не доводить, що для влучення в ескадру з лінкора і д в у х крейсерів треба не менш 24 пострілів: хоча на двох стоянок крейсерів не приходиться пострілів (див. вище), але не можна затверджувати, що на ці стоянки можна дійсно поставити кораблі, оскільки кораблі не повинні мати загальних крапок, а від стоянок було потрібно лише, щоб вони не мали загальних кліток.

6. На дошці — ескадра з «лінкора» і 10 «крейсерів». Знайдіть план стрілянини, що гарантує влучення не більш ніж за 23 пострілу.

7. Для гарантованого влучення в ескадру з «лінкора», «крейсера», «есмінця» і 4 «підвідних човнів» необхідно 24 пострілу. Доведіть.

8. Для гарантованого влучення в один з кораблів ескадри з «крейсера» і двох «есмінців» необхідно не менш 33 пострілів.

9. Кораблі ескадри в сумі займають 10 кліток. Які кораблі вибрати, щоб якнайбільше була та кількість пострілів, за яке можна напевно знайти ескадру (потрапити в один з кораблів)?

Результати задач 5, 7, 8 парадоксальна — кількість пострілів, що гарантує влучення в один з кораблів ескадри, збігається з кількістю пострілів, що гарантують влучення в її флагман! Досвідчені гравці знають, що середнє число пострілів до першого влучення в ескадру істотно менше, ніж середнє число пострілів до влучення у флагман. Але в нас є слівце «напевно»!

На основі математичної теорії можна сформулювати рекомендацію: починати бій з полювання на флагмана. У деяких простих випадках ця рекомендація ґрунтується на точних теоремах (задачі 5, 7, 8), інші ж випадки виявляються занадто складними, але ми сподіваємося, що закономірності, помічені в простих випадках, справедливі й у більш складних (вважаємо для початку, що світ улаштований просто, природа не є зловмисної).

З якого пострілу в оптимальному плані треба починати? Для відповіді на це питання треба знати що-небудь про психологію гравців у морський бій і, що більш важливо, уміти розрахувати оптимальне поводження після першого влучення, чого ми на дійсному етапі розвитку «теорії морського бою» робити не вміємо. Тому обмежимося декількома зауваженнями.

Нехай перше влучення в лінкор відбулося при пострілі по клітці б2. По якій клітці завдавати наступного удару? Розберемося, як може стояти лінкор, одна з кліток якого — 62. Він може бути розташований горизонтально і займати клітки (а2, б2, у2, м2 або б2, у2, м2, 32. Він може бути розташований вертикально і займати клітки б1, б2, б3, 64 або 62, 63, 64, 65. По який клітка стріляти: по 61 чи по 63? Клітка 61 входить у 1 розташування з 4, а клітка б3 — у 2 з 4. Краще бити по 63. Точно так само краще в2, чим а2. И в2, і б3 зустрічаються 2 рази з 4, і ми не можемо вибрати між ними, використовуючи лише можливі положення лінкора.

П

ідрахуємо число різних положень лінкора, при яких він попадає під удар по фіксованій клітці. Це число дорівнює сумі кількості кліток корабля, що можуть знаходитися між ударом і найближчим вертикальним краєм, і кількості кліток корабля, що можуть знаходитися між ударом і найближчим горизонтальним краєм, плюс 2 (чи: вважаючи в обох випадках саму клітку удару). Отримані числа приведені на малюнку. Якщо думати всі положення корабля рівноможливими, то починати полювання треба з центра. Якби грали в морський бій з ЕОМ, для якої всі положення корабля мають однакові шанси з'явитися, то такий спосіб був би гарний. Але, бути може, є психологічна пристрасть до берега. Тоді, звичайно, такий спосіб на найкращий.

Якщо в боротьбі бере участь не один корабель, а флот,то мається тенденція ставити частину кораблів у берегів щоб забезпечити іншим «вільне море»: адже при загибелі корабля супротивник довідається, що довкола нього в зоні шириною в одну клітку немає інших судів, і кількість кліток, що де залишилися судна можуть стояти, зменшується. Число «виведених із гри» кліток найменше,, якщо одна з кліток підбитого корабля є кутовий.

10. Підрахуйте число положень крейсера, що попадає під даний удар.

11. Зробіть того ж саме для есмінця і підвідного човна.

Щ

о ж таке «теорія морського бою»? Власне кажучи ми «плануємо експеримент» по виявленню ескадри. Це можна порівняти з пошуками корисних копалин, з пошуками вигідного режиму роботи устаткування. Такі режими звичайно утворять область (корабель з декількох кліток), але не зводяться до крапки (одноклітинний корабель). Наука «планування експерименту» зараз широко розробляється.

М

ожна «теорію морського бою» зв'язати з пошуком інформації в автоматичному словнику ЕОМ. У реферативному журналі «Математика» за рік публікується близько 30 000 рефератів статей і книг, що містять нові результати. Тому зрозуміла необхідність автоматизованих систем пошуку інформації: потрібно знайти «ескадру» — потрібну інформацію — у море тієї, що поки не потрібно.

Доведемо один більш складний результат.

12. На дошці 10 X 10 кліток для гри в «морський бій» коштує лінкор. Знайдіть усі плани стрілянини, що гарантують влучення в лінкор за 24 постріл».

Обговорення:

а) Помітимо спочатку, що лінкор, що коштує на будь-якім місці, можна включити в систему 24 лінкорів, що не мають ні однієї загальної клітки. Дійсно, завжди можна розташувати три лінкори паралельно даному так, щоб вони усі разом утворювали квадрат 4x4 клітки, що або примикає до однієї зі сторін дошки, або відстоїть від її рівно на 4 лінії. Наприклад, якщо лінкор розташований по 3-й горизонталі, то приставимо до нього лінкори на 1, 2 і 4-й горизонталях; якщо лінкор розташований по вертикалі д, те приставимо лінкори по вертикалях е, ж, з — одержимо квадрат у 4 лініях від лівого краю дошки. Подальше ясно: якщо квадрат примикає до сторони, те перпендикулярно цій стороні ставимо 6 лінкорів, разом з раніше поставленими вони заповнюють прямокутник 4 х 10 кліток, у сусідньому прямокутнику 4 х 10 кліток ставимо ще 10 лінкорів і в прямокутнику 2x10 — 4 лінкори; одержуємо розміщення, аналогічну зображений на малюнку. Якщо ж квадрат розташований у 4 лініях від краю, то на цих 4 лініях ставимо 10 лінкорів, перпендикулярно 4 лініям ставимо 6, разом із квадратом вони утворять другий прямокутник 4 х 10 кліток, ще 4 лінкори ставляться, як у попередньому випадку.

б) Доведемо, що при будь-якім положенні лінкора в нього повинний попадати рівно один постріл з оптимального плану. Дійсно, припустимо противне. Нехай потрапило два постріли. Уключимо лінкор у систему 24 лінкорів, що не мають загальних кліток. За принципом Діріхле принаймні на один з цих лінкорів не дістанеться пострілу. Це суперечить тому, що план гарантує влучення в лінкор.

в) Нехай по деякій клітці відповідно до оптимального плану з 24 пострілів треба зробити удар. Тоді по клітках, що коштує через три на четверту від биткою по горизонталі і вертикалі, також необхідно стріляти. Дійсно, розглянемо лінкори, один з кінців яких знаходиться в розглянутій битій клітці. Усередині них немає інших кліток під боєм, але другі їхні кінці примикають до битих кліток. Якби клітки, до яких примикають другі кінці лінкорів, не були біти, то лінкори можна було б зрушити так, щоб у них не потрапив жоден постріл.

г) З попереднього випливає, що оптимальний план улаштований так: у квадраті 4x4 клітки в лівому верхньому куті на кожну горизонталь і вертикаль приходиться по одному пострілі, кожна бита клітка в цьому квадраті «породжує» систему ударів на всій дошці, у систему входять клітки, що відстоять від биткою на три клітки по вертикалі і по горизонталі, і узагалі всі клітки, отримані з уже відзначених зрушенням через три на четверту по вертикалі і горизонталі. Наприклад, клітка їй «породжує» а6, а10, д2; д6, д10, и2, и6, и10. Іншими словами, оптимальний план виходить за допомогою зрушень квадрата 4 х 4 у лівому верхньому куті на 4, 8 кліток чи вправо вниз (всього 8 зрушень, перелічите їх), при цьому частини квадрата, що виходять за межі дошки, не враховуються.

д) Розіб'ємо квадрат 4 х 4 на 4 квадрати 2x2. Кожна бита клітка в «кутовому» квадраті 2X2 породжує ще 8 битих кліток, усього з нею 9; у сусідніх з нею квадратах — ще 5, всього 6; у квадраті, що залишився — всього 4. У квадраті 4 х 4 у кожній горизонталі й у кожній вертикалі по одній битій клітці. Якщо поміняти місцями дві горизонталі (вирізувати і переставити), то зазначена властивість збережеться.

е) Доведемо, що в кутовому квадраті 2 X 2 немає жодного постріли. Припустимо противне. Тоді за принципом Діріхле з двох ударів, що приходяться на горизонталі 3, 4, хоча б один приходиться на квадрат у3, у4, м3, м4. Переставимо горизонталі, у яких лежать розглянуті удари в кутовому квадраті й у квадраті в3 — м4. Що відбудеться з числом битих кліток на всій дошці? Воно зміниться 9 + 4 = 13 на 6 + 6 = 12, оскільки після перестановки удари прийдуться на клітки квадратів, сусідніх з кутовим. Число битих кліток зменшився, виходить, вихідний план не був оптимальним.

ж

) У квадраті 2x2 клітки розмістити два удари (по одному на кожну вертикаль і на кожну горизонталь) можна тільки Двома способами — або по одній діагоналі, або по іншій. Оскільки з наявності удару в квадраті в3 — м4 випливає, що один з пострілів, що приходяться на вертикалі а, б, знаходиться в кутовому квадраті, що відповідно до пункту е) неможливо, те всі 4 удари — у квадратах, сусідніх з кутовим, по двох на квадрат, усередині кожного розмістити постріли можна двома способами, всього 2x2 = 4 способи. Плани стрілянини, що відповідають цим способам, зображені на малюнку, а — м. Кожний з них гарантує влучення в лінкор і містить 24 пострілу. Два з них пропонують стрілянину по діагоналях і могли бути придумані без математики. Два інших, видимо, дарунок математики гравцям у «морський бій».
4. Математичні фокуси
а

) На стіл покладено три фігури: куб, конус, піраміду. До стола підходить член математичного гуртка і пропонує кому-небудь з учнів узяти по одній фігурі, не дивлячись на них. Потім гуртківець пропонує кожному з учнів підрахувати число букв у назві взятих ними фігур і помножити його на 2 (учневі А.), на 10 (учневі Б.), на 11 (учневі В.). Потім треба визначити суму знайдених чисел і назвати її гуртківцеві. Дізнавшись про цю суму, гуртківець відразу відгадує, яку фігуру взяв кожний з учнів.

Пояснення. Нехай у назвах фігур, узятих учнями А., Б., В., відповідно х, у, z букв. Тоді х + у + z = 16, бо 3 + 5 + 8 = 16. Припустимо, що учні повідомили суму d. Тоді

2х + 10у + 11z = d

2х + 10у + 11 (16 — х — у) = d.

Звідси

9х + у = 176 — d

Внаслідок того, що у<9, приходимо до висновку, що х в часткою від ділення 176 — d на 9, а у — остачею.
б) На сцену виходить учень і розподіляє частину присутніх (або всіх) у залі на групи по 8 чол. кожна, кожній групі вручає дротяне кільце. Потім, виконуючи усно потрібні обчислення, безпомилково відгадує, в якого учня на який палець руки і на який суглоб надіте кільце.

Нехай кільце буде в четвертого учня на другому суглобі п'ятого пальця (треба умовитись, щоб суглоби рахувати, наприклад, від основ пальців).

Угадуючий просить когось із. групи виконати такі дії, не називаючи чисел, які він дістане:

1) номер особи, яка має кільце, помножити на 2; запитуваний у думці або на папері виконує:

4 • 2 = 8;

2) до добутку додати 5:

8 + 5= 13;

3) знайдену суму помножити на 5:

13 • 5 = 65;

4) до добутку додати номер пальця, на якому буде кільце:

65 + 5 = 70;

5) суму помножити на 10:

70 • 10 = 700;

6) до добутку додати номер суглоба, на якому буде кільце:

700 + 2 = 702.

Результат оголошують відгадуючому. Від знайденого числа відгадуючий віднімає 250 і дістає відповідне число:

702 - 250 = 452.

Перша цифра знайденого числа (рахуючи зліва направо) дає номер учня, друга цифра — номер пальця, третя цифра — номер суглоба. Кільце буде в четвертого учня на п'ятому пальці на другому суглобі.

Неважко знайти пояснення для цього способу. Нехай кільце буде в учня № а, на пальці № b, на суглобі № с. Виконаємо відповідні дії над числами а, b, с:
1) а • 2 = 2а;

2) 2а + 5;

3) (2а + 5)•5=10а + 25;

4) 10a + 25+6=10a + b + 25;

5) (10a + b + 25) • 10= 100а+10b+ 250;

6) 100a + 10b + 250 + с = 100а + 10b + 250 + с;

7) 100а + 10b + с + 250 — 250 = 100а + 10b + с.

Внаслідок дістанемо число, в якому номер учня подається цифрою сотень, номер пальця — цифрою десятків, номер суглоба — цифрою одиниць.
в) Хто-небудь з членів гуртка відгадує, у кого з викликаних на сцену дев'яти осіб і в якій кишені лежить олівець.

Угадувати треба з зав'язаними очима. Присутнім пропонують виконати ряд обчислень, а саме: помножити на 2 порядковий номер того з учнів, хто взяв олівець; до добутку додати 3; знайдену суму помножити на 5. Якщо олівець у правій кишені, то до добутку додати 8, а якщо в лівій, то 9. Потім відгадуючий запитує, яке число вийшло після обчислень, і називає, у кого і в якій кишені олівець.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

Схожі:

Урок математики в 5 Пачкова Анастасія Олександрівна, учитель математики Первомайської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №1	Упорядник: Бабенко О. А. – учитель математики Черкаської загальноосвітньої...
Інтегрована інтелектуальна гра-змагання «Мови рідної розмай!» «Інтер», учитель української мови та літератури Верхньоторецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Ясинуватського району Донецької...	Назва проекту : «Світ мистецтва такий різноманітний та цікавий» Автор проекту: Мазурик Алла Іванівна, учитель української мови та літератури Красненьківської загальноосвітньої школи І- ІІІ ступенів...
Вчитель математики Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів... Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4 Канівської міської ради Черкаської області	Використання педагогічної спадщини М. В. Остроградського на уроці геометрії (9 клас) Ященко Тамара Львівна, вчитель математики Лубенської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4, спеціаліст вищої категорії, старший...
Урок-подорож з української мови та математики Підготували вчителі української мови та літератури Т. А. Панченко та математики І. В. Каламбет Сєвєродонецької загальноосвітньої...	Касперович Тетяна Володимирівна Касперович Тетяна Володимирівна,спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, старший учитель,учитель початкових класів Дебальцівської...
ПРОГРАМИ з читання, української мови, математики для 1-10 класів... Латна Т. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Пономарьова Л. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Коваленко Т. Г....	СТАТУТ Учнівського самоврядування Черкаської загальноосвітньої школи... Ити демократію в суспільстві, усвідомлюючи відповідальність перед Богом, власною совістю, попереднім, нинішнім та майбутнім поколінням...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання