Посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З ібрав і підготував учитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О

Скачати 1.09 Mb.

Назва	Посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З ібрав і підготував учитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О
Сторінка	2/12
Дата	07.11.2013
Розмір	1.09 Mb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

УЧЕНІ СТАРОДАВНЬОЇ ГРЕЦІЇ
ПІФАГОР І ЙОГО ШКОЛА

(приб. 570 – приб. 500 р. до н.е.)

Письмових документів про Піфагора Самоского не залишилося, а по більш пізніх свідоцтвах важко відновити справжню картину його життя й досягнень. Відомо, що Піфагор покинув свій рідний острів Самоз в Егейському морі в берегів Малої Азії в знак протесту проти тиранії правителя й уже в зрілих літах (по переказі в 40 років) з'явився в грецькому місті Кротоні на півдні Італії. Піфагор і його послідовники - піфагорійці - утворили таємний союз, що грав чималу роль у житті грецьких колоній в Італії. Піфагорійці дізнавалися один одного по зірчастому п'ятикутнику - пінтограмі.
Н

а навчання Піфагора великий вплив зробила філософія й релігія Сходу. Він багато подорожував по країнах Сходу: був у Єгипті й у Вавилоні. Там Піфагор познайомився зі східною математикою. Математика стала частиною його навчання, і найважливішою частиною.

П

іфагорійці вірили, що в числових закономірностях захована таємниця світу. Піфагор уперше розділив числа на парні й непарні, прості й складені, увів поняття фігурного числа. У його школі були докладно розглянуті піфагорові трійки натуральних чисел, у яких квадрат одного рівнявся сумі квадратів двох інших. Піфагору приписується висловлення: «Усе є число». До чисел (а він мав на увазі лише натуральні числа) він хотів звести увесь світ. Але в самій школі Піфагора було зроблене відкриття, що порушувало цю гармонію.

Видатні результати отримані піфагорійцями в теорії чисел. Вони ввели наступну класифікацію натуральних чисел: трикутні, квадратні, п'ятикутні, пірамідальні — суми трикутних і інших чисел, відкрили безліч найцікавіших залежностей.

Природно, що геометрія в Піфагора була підлегла арифметиці, це яскраво виявилося в теоремі, що носить його ім'я й стало надалі основою застосування чисельних методів у геометрії. Очевидно, піфагорійці знали правильні тіла: тетраєдр, куб і додекаєдр.

Важливим відкриттям Піфагора була теорема про те, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

Ф

ундаментальним результатом Піфагора і його школи з'явилося відкриття непорівнянних відрізків. Воно послужило величезним стимулом теоретичних досліджень у різних галузях математики, насамперед у навчанні про число.

У школі Піфагора вперше було доведено, що вся площина навколо крапки може бути повністю покрита лише трьома видами правильних багатокутників: рівносторонніми трикутниками, квадратами й правильними шестикутниками.

А Р Х І М Е Д

(приб. 287-212 р. до н.е.)
П

ро Архімеда великого математика відомо більше, ніж про інших вчених стародавності. Насамперед достовірний рік його смерті – рік падіння Сіракуз, коли вчений загинув від руки римського солдата. Втім, історики стародавності Полібій, Лівії, Плутарх мало розповідали про його математичні заслуги, від них до наших часів дійшли відомості про чудесні винаходи вченого, зроблені під час служби в царя Гієрона II. Відома історія про золотий вінець царя. Чистоту його складу Архімед перевірив за допомогою знайденого ним закону, що виштовхує, і його вигуку «Эврика!», тобто «Знайшов!». Інша легенда розповідає, що Архімед спорудив систему блоків, за допомогою якої одна людина змогла спустити на воду величезний корабель «Сіракосія». Крилатими стали вимовлені тоді слова Архімеда: «Дайте мені точку опори, і я поверну Землю».

Інженерний геній Архімеда з особливо виявився при облозі Сіракуз, багатого торговельного міста на острові Сицилія.

Воїни римського консула Марцела були надовго затримані біля стін міста небаченими машинами: потужні катапульти прицільно стріляли кам'яними брилами, у бійницях були встановлені метальні машини, що викидають гради ядер, берегові крани поверталися за межі стін і закидали кораблі супротивника кам'яними й свинцевими брилами, гаки підхоплювали кораблі й кидали їх униз із великої висоти, системи ввігнутих дзеркал (у деяких розповідей-щитів) підпалювали кораблі. В «Історії Марцела» Плутарх описує жах, що панував у рядах римських воїнів: «Як тільки вони бачили, що через кріпосну стіну показується мотузка або колода, вони кидалися навтіки з лементом, що от Архімед ще видумав нову машину на їхню погибель».

В

еличезний внесок Архімеда і у розвиток математики. Спіраль Архімеда, описувана крапкою, що рухається по обертовому колу, стояла особняком серед численних кривих, відомих його сучасникам. Наступна крива — циклоїда-з'явилася тільки в XVII в. Архімед навчився знаходити дотичну до своєї спіралі (а його попередники вміли проводити дотичні тільки до конічних перетинів), знайшов площу її витка, а також площу еліпса, поверхні конуса й кулі, об'єм кулі й сферичного сегмента. Особливо він пишався відкритим їм співвідношенням об'єму кулі й описаного довкола нього циліндра.

Створений ним метод обчислення довжини кола й площі фігури був істотним кроком до створення диференціального й інтегрального числення, що з'явилися лише через 2000 років.

Архімед знайшов також суму нескінченної геометричної прогресії.

У зв'язку із завданням про випрямлення окружності (побудові відрізка, довжина якого дорівнює довжині цієї окружності) Архімед побудував особливу спіраль, визначивши її мовою механіки як траєкторію крапки, що робить рівномірний і поступальний рух по промені, що у цей же час рівномірно обертається навколо свого початку. Безліч процесів мікро- і мегасвіту описується рівнянням цієї спіралі:

.

* * *

ЧИСЛА-ВЕЛЕТНІ І ЧИСЛА-КАРЛИКИ

У повсякденному житті нам здебільшого доводиться зустрічатися з порівняно невеликими числами, так що люди часто не мають правильного уявлення про співвідношення між .великими числами і малими. Щоб наша думка була зрозумілою, наведемо кілька прикладів, де ми маємо справу з надзвичайно великими числами, тобто числами-велетнями, і надзвичайно малими, тобто числами-карликами.

Відстань від Землі до Сонця в сантиметрах приблизно дорівнює 1,5 • 10¹³, а відстань до Плутона— найбільш віддаленої від Сонця планети — дорівнює 6 • 10¹⁴ см.

Об'єм кулі, що вміщає в собі всю сонячну систему, не перевищує 10⁴⁸ куб. см.

Маса Сонця дорівнює приблизно 2 • 10³⁶ г.

Світло від Сонця до найближчої до нього зірки а, Центавра проходить за 10⁸ сек.

Відстань від Землі до найвіддаленіших спіральних туманностей, які вже вдалося спостерігати, становить близько 10²⁸ см.

Число молекул в одному кіломолі речовини дорівнює 6,02 • 10²⁶.

За хвилину серце робить у середньому 70 ударів, за добу—понад 100000, за рік— 36,5 млн., а за 60 років (середня тривалість життя людини) — близько 2 млрд. 200 млн. ударів.

Усе це — числа-велетні.

З надзвичайно малими числами особливо часто зустрічаються дослідники елементарних частинок.

Маса атома водню дорівнює 1,6733 • 10^-24 г.

Маса електрона дорівнює 9,108 • 10^-28 г.

Період життя елементарної частинки, що називається π°-мезойом,

становить близько 1,8 • 10^-16 сек.

Довгий час найбільшим простим числом вважали число 2¹²⁷ —1. У 1956 р. за допомогою електронних обчислювальних машин було встановлено, що 2²²⁸¹—1 також є простим числом. У 1960 р. таку саму властивість доведено для числа 2³²¹⁷—1. Треба сподіватись, що й це просте число недовго буде найбільшим серед відомих простих чисел.

Найбільшим відомим числом, що зустрічається в математичних доведеннях, є так зване число Скьюїса:

, знайдене при дослідженні властивостей простих чисел.

Великі числа цікавили ще стародавніх математиків. Архімед, наприклад, у своєму творі: «Псамміт» («Про число піщинок»), бажаючи переконати тих, хто вважає, що число піщинок на всій Землі не можна зобразити якимось числом, спочатку групує числа таким способом: число від 1 до міріади міріад (до 10⁴ • 10⁴ = 10⁸) він називає «першими» числами; число 10⁸ — одиницею «других» чисел, які йдуть від цієї одиниці до міріади міріад таких одиниць (від 10⁸ до 10¹⁶). Число 10¹⁶ називається одиницею «третіх» чисел; треті числа йдуть від 10¹⁶ до 10²⁴. Продовжуючи таку побудову, Архімед доходить до міріади міріад чисел «міріадоміріадних» (до

). Потім він пояснює процес побудови ще більших чисел і доводить, що весь «всесвіт», який, на його думку, займає сферу з діаметром 10¹⁰ стадій (одна стадія дорівнює приблизно 190 м), може вмістити не більш як 10⁵¹ піщинок.

Зацікавить учнів і така таблиця (її можна вивісити в класі), де наведено порядки тривалості деяких подій у секундах:

Час обертання Сонця навколо центра Галактики — 10¹⁶ сек

Час існування Ніагарського водоспаду—10¹⁴ сек

Час, який минув від початку нашої ери —10¹¹ сек

Час обертання Землі навколо Сонця —10⁷ сек

Час, за який муха робить один помах крилами — 10^-3 сек

Час, за який вибухає освітлювальна ракета — 10^-5 сек

Час, за який світло проходить крізь віконне скло — 10^-11 сек

Час обертання електрона навколо протона в атомі водню—10 ^-15 сек

Тут ми маємо справу і з числами-велетнями і з надзвичайно малими числами.

Малюнок геніального художника й винахідника епохи Відродження Леонардо да Вінчі (1452—1519) демонструє золоту пропорцію у відношеннях окремих частин людського тіла.
* * *

Як з'явилися вимірювання?
Фалес і єгиптяни
Митці були єгипетські переписувачі й гарпедонапти! Але один раз їм довелося засоромитися, тому що прибулець із далекої Греції виявився набагато вправніший їх. Це трапилося в VI сторіччі до нової ери, а прибульцем був уже згадуваний раніше Фалес із Мілета. У ті часи греки не займалися геометрією, і Фалес вирішив на місці познайомитися з єгипетською наукою. Єгиптяни дали йому важке завдання: як знайти висоту однієї з величезних пірамід? Фалес знайшов для цього завдання просте й гарне рішення (а в математиці дуже часто простота - ознака краси). Він застромив довгий ціпок вертикально в землю й сказав: «Коли тінь від цього ціпка буде тієї ж довжини, що й сам ціпок, тінь від піраміди буде мати ту ж довжину, що й висота піраміди».

Щоб зміркувати це, Фалес повинен був уже багато знати про геометричні фігури, а особливо про ту, котра виходить, якщо розбити квадрат на два трикутники. Ясно, що ці трикутники рівні один одному. Крім того, у них по прямому куті, а катети в цих трикутниках рівні один одному. У геометрії такі трикутники називають прямокутними й рівнобедреними. А далі, імовірно, Фалес міркував так. Сонце від Землі дуже далеко, що тому йдуть від нього й до піраміди промені можна без великої помилки вважати паралельними. Але коли тінь від ціпка стане тієї ж довжини, що й сам ціпок, то трикутник ABC стане прямокутним і рівнобедреним. А з паралельності сонячних променів він вивів, що тоді й трикутник DEC на тім же малюнку теж стане рівнобедреним, а виходить, висота піраміди буде рівняється довжині її тіні.

Так чи не так міркував Фалес, сказати зараз важко, але повернувшись у рідне місто, він ще раз здивув всіх своїм розумінням геометрії. Далеко від берега стояв на якорі корабель. Фалес зумів виміряти відстань від берега до корабля. У точності, як це він зробив, ми не знаємо: його роботи до нас не дійшли. Можливо, він знайшов на березі моря дві крапки А і В, такі, що кут між напрямками АВ і AM був прямій, а між напрямками ВА й ВМ становив 45°. А тоді трикутник МАВ був саме прямокутним і рівнобедреним. Тому досить було виміряти довжину відрізка АВ, щоб заодно довідатися й довжину відрізка AM (тобто відстань від корабля до берега).

Багато цікавого розповідають про Фалеса. Наприклад, він першим порадив морякам орієнтуватися по Полярній зірці (до нього вони це робили по зірках Великої Ведмедиці), умів пророкувати сонячні й місячні затьмарення (цьому він навчився у вавілонян), міркував про походження речей. Але головна його заслуга перед математикою була в тім, що він першим почав гру, що з тих пір тягнеться вже два з половиною тисячоріччя й кінця якої не видно. Це гра в «Доведи», що увесь час займаються математики. Для єгиптян спосіб визначення висоти піраміди, запропонований Фалесом, був ще однією річчю, яку треба завчити напам'ять і потім передавати учням, говорячи: «Роби, як робиться». А Фалес поставив питання: «Чому це так?» - і став не тільки спостерігати різні властивості геометричних фігур, але й виводити одні властивості з інших.

Як він це робив? Очевидно, він користувався міркуваннями симетрії. Наприклад, він став доводити, що діаметр ділить коло навпіл, тобто що при перегинанні кола по діаметрі одна половина в точності ляже на іншу. Знав Фалес і те, що при перетинанні двох прямих вертикальні кути рівні (на малюнку кут АОВ рівняється куту COD).

А

от ще одна властивість фігур, доведена Фалесом. Намалюємо прямокутний трикутник ABC і розділимо його гіпотенузу АВС крапкою О навпіл. Як ви думаєте, який відрізок довший: АО або ОВ? Це їсти куди ближче йти із середини гіпотенузи — до гострого кута або до прямого? Фалес виявив, що ці відстані однакові, тобто що відрізки ОА й ОВ мають ту саму довжину. А зробив геть це дивно просто: геть зміркував, що трикутник ABC становить половину прямокутника ABCD. Досить провести в прямокутнику діагоналі АВС і BD, щоб стало ясно, що крапка О, у якій вони перетинаються, однаково віддалена від всіх чотирьох вершин.
Навіщо людині потрібні виміри
Напевно, у кожного з читачів знайдеться в будинку лінійка і сантиметрова стрічка. Вони потрібні для того, щоб вимірювати довжини. Якщо мама вирішить зшити дочці плаття або зв'язати светр, те, звичайно, почне з того, що виміряє обхват купи, талії, намітить потрібну довжину виробу й т.д. Все це вона буде робити сантиметровою стрічкою. А коли син захоче зробити модель планера, тут звичайно, не обійтися без лінійки й косинця.

Є будинку й інші вимірювальні прилади. Це годинники, по яких довідаються, коли треба йти в школу й коли почнеться улюблена передача по телевізорі; термометр, на який обов'язково кожний кине оком, виходячи на вулицю; лічильник електроенергії, по якому довідаються, скільки треба за неї заплатить наприкінці місяця, і багато чого іншого.

А скільки приладів, що вимірюють, на щитку автомобіля! Тут і спідометр, по якому водій довідається, з якою швидкістю він їде, і прилади, що показують, скільки бензину в баці, і лічильник пройдених автомобілем кілометрів, і т.д. У магазині перед продавцями коштують ваги, на яких вони відважують продукти. Поруч коштують автомати, які, якщо в них опустить потрібну монету, видають певна кількість рослинного масла.

Але найбільше, що вимірюють приладів, на заводах. Коли робітник виточує деталь, те увесь час вимірює неї. Адже якщо він зніме зайвий метал, дорога деталь піде в брак. А на хімічних підприємствах стоять прилади, що перевіряють температуру й склад речовини, тиск газу й т.д.

Сучасне сільське господарство теж неможливо без вимірів. Агроном повинен знати температуру ґрунту, кількість насіння, висіяного на тому або іншому полі, кількість і склад внесених добрив. І також, звичайно, він повинен знати площу кожного поля.

Так що вимір - одна з найважливіших справ у сучасному житті. Але не завжди було так. Коли первісна людина вбивала ведмедя в нерівному двобої, вона, звичайно, раділа, якщо той виявлявся досить великим. Це обіцяло сите життя йому й всьому племені на довгий час. Але він не тяг тушу ведмедя на ваги: у той час ніяких ваг не було. Не було особливого нестатку у вимірах і коли ця людина робила кам'яну сокиру: технічних умов на такі сокири не існувало й усе визначалося розміром підходящого каменю, що вдавалося знайти. Усе робилося на око, так, як підказувало чуття майстра.

Пізніше люди стали жити більшими групами. Почався обмін товарами, що перейшов потім у торгівлю, виникли перші держави. Тоді з'явився нестаток у вимірах. Царські переписувачі повинні були знати, яка площа поля в кожного селянина. Цим визначалося, скільки зерна він повинен віддати цареві. Треба було виміряти врожай з кожного поля, а при продажі лляного масла, вина й других рідин - обсяг проданого товару. Коли почали будувати кораблі, потрібно було заздалегідь намітити правильні розміри: інакше корабель затонув би. І вони, звичайно, не могли обійтися без вимірів древні будівельники пірамід, палаців і храмів, до цих пір вражаючих нас своєю домірністю й красою.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

Схожі:

Урок математики в 5 Пачкова Анастасія Олександрівна, учитель математики Первомайської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №1	Упорядник: Бабенко О. А. – учитель математики Черкаської загальноосвітньої...
Інтегрована інтелектуальна гра-змагання «Мови рідної розмай!» «Інтер», учитель української мови та літератури Верхньоторецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Ясинуватського району Донецької...	Назва проекту : «Світ мистецтва такий різноманітний та цікавий» Автор проекту: Мазурик Алла Іванівна, учитель української мови та літератури Красненьківської загальноосвітньої школи І- ІІІ ступенів...
Вчитель математики Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів... Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4 Канівської міської ради Черкаської області	Використання педагогічної спадщини М. В. Остроградського на уроці геометрії (9 клас) Ященко Тамара Львівна, вчитель математики Лубенської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4, спеціаліст вищої категорії, старший...
Урок-подорож з української мови та математики Підготували вчителі української мови та літератури Т. А. Панченко та математики І. В. Каламбет Сєвєродонецької загальноосвітньої...	Касперович Тетяна Володимирівна Касперович Тетяна Володимирівна,спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, старший учитель,учитель початкових класів Дебальцівської...
ПРОГРАМИ з читання, української мови, математики для 1-10 класів... Латна Т. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Пономарьова Л. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Коваленко Т. Г....	СТАТУТ Учнівського самоврядування Черкаської загальноосвітньої школи... Ити демократію в суспільстві, усвідомлюючи відповідальність перед Богом, власною совістю, попереднім, нинішнім та майбутнім поколінням...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання