Посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З ібрав і підготував учитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О
|
|
Скачати 1.09 Mb.
|
|
Таким чином, дециметр позначається дм, а декалітр - дав, наносекунда - нс, кілограм - кг, гигаметр - Гм, мега-метр - Мм, гектолітр - гл, сантиметр - см, міліграм - мг і т.д. Замість мікрона пишуть тепер мкм (мікрометр). Із цих одиниць будуються інші одиниці у фізику й в астрономії. Наприклад, для виміру міжзоряних відстаней користуються світловим роком — відстанню, що світло проходить за один рік. Тому що швидкість світла дорівнює 300 000 км у секунду, те світловий рік дорівнює 9,46 ∙1012 км. Одиницею довжини, якою користуються в астрономії, є й парсек, що дорівнює 3,26 світлові роки.  * * * ПОДІЛЬНІСТЬ І ПРОСТІ ЧИСЛА Тому що прості числа відіграють важливу роль у вивченні всіх інших чисел, треба було скласти їхній список. Звичайно, не можна було сподіватися одержати список всіх простих чисел: ми вже знаємо, що найбільшого простого числа немає. Тому складання списку всіх простих чисел настільки ж безнадійне заняття, як складання списку всіх натуральних чисел. Але можна спробувати скласти список всіх простих чисел, що не перевершують, наприклад, мільйона або десяти мільйонів. Над тим, як становити такі списки, задумався олександрійський учений, що жив в III столітті до нашої ери, Ератосфен. Це була дивно різнобічна людина: він займався й теорією чисел, і вимірював дугу меридіана між містами Олександрією й Сіеною, і вивчав зірки. У всіх цих областях він досягав прекрасних результатів. Але назавжди його ім'я ввійшло в науку саме у зв'язку із придуманим їм методом відшукання простих чисел. Метод цей дуже простий. Нехай треба знайти всі прості числа, менші чим 100. Напишемо підряд числа від 2 до 100 і, залишивши число 2, викинемо всі інші парні числа. Для цього досить, почавши із числа 3, командувати «раз, два!» і викидати числа, на які попадає команда «два!». Першим уцілілим числом (крім, звичайно, самого числа 2) буде 3. Тепер, починаючи з наступного за ним числа 4, будемо командувати «раз, два, три!» і викидати числа, на які прийде команда «три!». Це будуть числа 6, 9, 12 і т.д., тобто числа, що діляться на 3 (саме-те число 3 вціліє). Тепер приймемося за наступне вціліле число, а саме число 5. По командах «один, два, три, чотири, п'ять!» будемо викидати числа 10, 15, 20, тобто діляться на 5. Зрештою всі складені числа виявляться викресленими й залишаться тільки прості числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. При деякім терпінні можна в такий же спосіб скласти список і тризначні прості числа.  У стародавності писали на воскових табличках гострою паличкою - стилем. Тому Ератосфен, замість того щоб викреслювати написані їм на табличці числа, виколював їхнім гострим кінцем стилю. Після виколювання всіх складених чисел табличка нагадувала решето. З тих пор придуманий Ератосфеном метод відшукання простих чисел називають «решетом Ератосфена». Зараз для складання таблиць простих чисел використають ЕОМ. Уже є список перших 50 мільйонів цих чисел. Я  кі б не були два натуральних числа, завжди можна знайти їх суму і добуток. І різницею їх є натуральне число, якщо перше більше від другого. А от з'ясувати, чи ділиться одне з даних чисел на друге без остачі, бував нелегко. Загального критерію подільності не існує. Різні види чисел мають різні ознаки і властивості подільності, які становлять основний зміст окремої математичної науки — теорії чисел. На 4 (на 25) діляться всі ті і тільки ті натуральні числа, у яких дві останні цифри виражають числа, що діляться на 4 (або на 25).Наприклад, 570132 : 4, бо 32 :4; 421785 не ділиться на 25, бо 85 не ділиться на 25. Щоб натуральне число ділилось на 7 (на 11, на 13), необхідно і достатньо, щоб ділився на 7 (на 11, на 13 відповідно) модуль різниці між числом, записаним його трьома останніми цифрами, і числом, записаним усіма іншими його цифрами. Приклад. На які з чисел 7, 11 чи 13 ділиться 237457? Р о з в ' я з а н н я. 457 — 237 = 220, 220 : 11, але не ділиться ні на 7, ні на 13. Тому і число 237457 ділиться на 11, але ні на 7, ні на 13 не ділиться. Відома гра на вгадування, що грунтується на властивості числа 1001. Якщо до будь-якого трицифрового числа приписати таке саме трицифрове число, то здобуте шести-цифрове число обов'язково ділитиметься на 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 і на дане трицифрове число. Якщо якесь число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їх добуток. на 6 діляться всі ті й тільки ті натуральні числа, які діляться і на 2, і на 3; на 15 діляться всі ті й тільки ті натуральні числа, які діляться і на 3, і на 5. Примітка. Якщо число ділиться, наприклад, і на 4, і на 6, то воно на 24 може не ділитися без остачі. Наприклад, 132 ділиться і на 4, і на 6, але на 24 не ділиться. Бо числа 4 і 6 не взаємно прості. Спільним дільником даних чисел називається число, на яке кожне з даних чисел ділиться без остачі. Два числа можуть мати кілька спільних дільників. 30 і 18 мають чотири спільних дільники: 1, 2, 3, 6, 30 і 49 мають один спільний дільник: 1. Найбільший із спільних дільників даних чисел називається їх найбільшим спільним дільником. Розрізняють найбільші спільні дільники двох, трьох і більше чисел. Але тут мова йтиме тільки про найбільший спільний дільник двох чисел. Позначають найбільший спільний дільник чисел а і b так: НСД (а, b). Наприклад, НСД (30, 18) = 6, НСД (30, 49) = 1. Два числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює одиниці, називають взаємно простими. Як знаходити НСД даних чисел? Один із способів розглядають на уроках математики ще в VI класі. Цей спосіб потребує вміння розкладати числа на множники, тому для великих чисел він не завжди буває зручним. Спробуйте, наприклад, знайти таким способом НСД чисел 11021 і 11227 і ви одразу зрозумієте, у чому недолік цього способу. Відомий також інший спосіб знаходження НСД двох чисел, який не потребує розкладення числа на прості множники. Цей спосіб називають алгоритмом Евкліда. Щоб знайти НСД двох чисел, ділять більше з них на менше, дістають якусь неповну частку і остачу. Потім ділять менше з даних чисел на здобуту (першу) остачу, дістають другу неповну частку і остачу. Потім ділять першу остачу на другу, другу на третю і т. д. При цьому зрозуміло, остачі весь час зменшуватимуться, якась з них обов'язково стане дорівнювати 0. На цьому алгоритм Евкліда закінчується, а остання відмінна від 0 остача — шуканий НСД двох даних чисел. Приклад. Знайти НСД (11227, 11021). Р о з в ' я з а н н я. 1) Ділимо 11227 на 11021, дістаємо частку 1 і першу остачу 206; 2) ділимо 11021 на 206, дістаємо частку 53 і другу остачу 103; 3) ділимо 206 на 103, дістаємо частку 2 і остачу 0. Остання відмінна від 0 остача 103. Отже, НСД (11227, 11021)= 103. На письмі кожне ділення можна записувати окремо, а можна і об'єднати, наприклад, так:  Відповідь. НСД (11227, 11021) = 103.  * * * С о ф і з м и Софізм (грецьке Sophisma — вигадка, хитрість) — формально правильний, але хибний по суті умовивід, що грунтується на навмисно неправильному доборі вихідних положень у ланцюзі міркувань. Якщо в математиці за допомогою логічного ланцюга міркувань, в одній ланці якого навмисно допущено помилку, намагаються переконати когось у неправильності "математичного твердження, то це й буде математичний софізм. Софізм: «Кожний трикутник — рівнобедрений» Н  ехай ABC— довільний трикутник. Проведемо бісектрису кута А і перпендикуляр до сторони ВС, що проходить через її середину D. Ці дві прямі перетинаються, бо якщо вони паралельні, то трикутник рівнобедрений, отже, дальше доведення зайве. Позначимо через М точку перетину цих прямих. Розглянемо спочатку випадок, коли точка М розташована всередині трикутника.Проведемо з точки М перпендикуляри MF і ME на сторони АВ і АС. Тоді Δ AFM = Δ АЕМ; (1) Δ MDB = Δ MDC. (2) З (1) випливає, що MF=ME, а з (2), — що МВ =МС; тому Δ MBF = Δ МСЕ. (3) З (1) і (3) випливає, що AF = АЕ; (4) FВ = ЕС. (5) Додаючи рівності (4) і (5), дістанемо: АВ = АС. Коли точка перетину бісектриси кута A і перпендикуляра до сторони ВС розташована поза трикутником ВАС, то доведення буде аналогічне, з тією лише різницею, що рівності (4) і (5) не додаються, а віднімаються. Софізм: «Сума будь-яких двох однакових чисел дорівнює нулю». Доведемо, що а + а = 0. Нехай х — а. Помноживши обидві частини на – 4а, дістанемо: – 4ах = – 4а2, або – 4ах + 4а2 = 0. Додамо до обох частин рівності х2; тоді х2– 4ах + 4а2 = х2, або (х – 2а)2 = х2, звідки х – 2а = х. Але оскільки х = а, то а – 2а = а, тобто – а = а. Остаточно: а + а = 0. Софізм: «Рівняння». Рівняння (5 – Зх) • (7 – 2х) = (11 – 6х) • (3 - х) один учень розв'язав так: 5 — Зх + 7 — 2х = 11 — 6х + 3 — х; 12—5х =14 —7х; 2х = 2; х=1. Зробивши перевірку, він дістав 2•5 = 5•2. Другий учень, скоротивши в дробові  показники 2, діставдріб  і прийшов до правильного результату.Чому учні дістали правильні результати? Софізм: «Будь-які два числа рівні між собою». Позначимо різницю х — у = z тоді х = у + z. Помноживши обидві частини рівності на (х— у), дістанемо: x2 – ху = ху + xz — y2 — уz. Віднявши від обох частин цієї рівності по xz, матимемо: x2 — ху —хz = ху — у2 — уz. В  иносячи х і у за дужки, матимемо: х(х—у—z)=y(х — у— z), а скоротивши на(х — у — z), дістанемо: х = у, тобто будь-які два числа рівні між собою. Приклад: «2 = 3» 4 – 10 = 9 – 15;    2 = 3. Софізм: «Вага слона дорівнює вазі комара». Нехай х — вага слона, у— вага комара. Позначимо їх суму через 2k: х + у = 2k. З цієї рівності можна дістати ще дві: x — 2k = —y; х = — у + 2k. Перемножимо почленно останні дві рівності: х2 — 2kx = у2 — 2ky. Додавши до обох частин цієї рівності по k 2, дістанемо: х2 – 2kx +k2 = y2— 2ky + k 2, або (х — k)2 = (y — k)2. Добуваючи з обох частин рівності квадратний корінь, матимемо: х — k = у — k, або х = у, тобто вага слона (х) дорівнює вазі комара (у). Де в перетвореннях допущено помилку? Софізм: «Катет дорівнює гіпотенузі в одному прямокутному трикутнику». У прямокутному трикутнику ABC проведемо бісектрису кута В і перпендикуляр до АС через її середину. Точку перетину позначимо О. Сполучимо точку О з точками А і С і опустимо перпендикуляри на АВ і ВС. Розглянемо трикутники: 1) Δ AOK = Δ KOC (OK ┴ AC; AС = KC; OK - спільна), отже, AO = ОС і  АОК = КОC;2) Δ BMO = Δ BNO (трикутники прямокутні, BO — спільна  OBM = OBN), отже, ВМ = BN і ВОМ = ВОN. З рівності двох пар кутів (AOK = KOC і BOM = BON) випливає, що АОМ = CON. Крім того, доведено, що АО = ОС і МО = ОN .Отже, Δ АОМ = Δ CON і AМ = NС. Додаючи рівності ВМ = NB і MA = NC, матимемо: ВМ + AM = BN + NC, або AВ = BС, тобто катет дорівнює гіпотенузі в тому самому прямокутному трикутнику (?!). Усю увагу учні звертають на відшукання помилки при доведенні рівності трикутників, залишаючи поза увагою те, що ВО і КО не перетнуться всередині трикутника. * * * |
Схожі:
|
Урок математики в 5 Пачкова Анастасія Олександрівна, учитель математики Первомайської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №1 |
Упорядник: Бабенко О. А. – учитель математики Черкаської загальноосвітньої... |
|
Інтегрована інтелектуальна гра-змагання «Мови рідної розмай!» «Інтер», учитель української мови та літератури Верхньоторецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Ясинуватського району Донецької... |
Назва проекту : «Світ мистецтва такий різноманітний та цікавий» Автор проекту: Мазурик Алла Іванівна, учитель української мови та літератури Красненьківської загальноосвітньої школи І- ІІІ ступенів... |
|
Вчитель математики Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів... Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4 Канівської міської ради Черкаської області |
Використання педагогічної спадщини М. В. Остроградського на уроці геометрії (9 клас) Ященко Тамара Львівна, вчитель математики Лубенської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4, спеціаліст вищої категорії, старший... |
|
Урок-подорож з української мови та математики Підготували вчителі української мови та літератури Т. А. Панченко та математики І. В. Каламбет Сєвєродонецької загальноосвітньої... |
Касперович Тетяна Володимирівна Касперович Тетяна Володимирівна,спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, старший учитель,учитель початкових класів Дебальцівської... |
|
ПРОГРАМИ з читання, української мови, математики для 1-10 класів... Латна Т. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Пономарьова Л. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Коваленко Т. Г.... |
СТАТУТ Учнівського самоврядування Черкаської загальноосвітньої школи... Ити демократію в суспільстві, усвідомлюючи відповідальність перед Богом, власною совістю, попереднім, нинішнім та майбутнім поколінням... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua