Посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З ібрав і підготував учитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О
|
|
Скачати 1.09 Mb.
|
   посібник для позакласної роботи в 5-11 класах З  ібрав і підготувавучитель математики Великорублівської загальноосвітньої І-ІІІ ступенів школи Котелевського району Полтавської області Щербак В. О. с. Велика Рублівка 2   012Природа формує свої закони мовою математики… Г. Галілей Передмова Кожному, незалежно від того, де і ким він працюватиме, доведеться користуватися математикою. І той, хто свідомо володітиме нею, завжди досягатиме успіхів, бо, як писав видатний радянський учений і педагог В. О. Сухомлинський, «...математика — це насамперед думка, допитлива, що бажає все знати, про все мати уявлення. Математика вчить мислити й разом з тим вселяє віру в безмежні сили людського розуму. Вона виховує волю, характер». В цій книзі ви дізнаєтесь, як застосовують математику в різних іграх, як її використовують для вимірювання, якими дивними властивостями володіють деякі числа. Яку б ви науку не вивчали, в який би вуз не вступали, в якій області не працювали, якщо ви хочете залишити там який небуть слід, то для цього скрізь необхідні знання математики. «Пам'ятайте: якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо заходьте у воду, а якщо хочете навчитися розв'язувати задачі, то розв'язуйте їх.» Д. Пойа «Математику не можна вивчати спостерігаючи, як це робить сусід!» А. Нівен «Вимірюй все, що піддається вимірюванню, і зроби таким усе, що не піддається вимірюванню.» Г. Галілей «Недостатньо лише зрозуміти задачу, потрібне бажання розв'язати її. Без сильного бажання розв'язати складну задачу неможливо, а маючи його – можливо. Де є бажання, знайдеться й шлях!» Д. Пойа  Історія виникнення систем числення У  повсякденній практичній діяльності людина завжди має справу з множинами різних предметів або явищ і перед нею виникають надзвичайно важливі задачі, наприклад: визначити кількість елементів у певних множинах або порівняти потужності різних множин.Першим кроком до виникнення лічби стала операція порівняння елементів множини, чисельність якої нас цікавить, з елементами деякої іншої, уже освоєної, чисельність якої нам добре відома і яка тому є своєрідним еталоном. Із сукупностей рівночисельних множин люди вибирали найвиразніші, і тоді про чисельність інших множин, рівночисельних вибраній множині-еталону, говорили, що в них стільки предметів, скільки у вибраній множині-еталоні. Наприклад, коли потрібно було сказати, що є два предмети, то говорили «стільки, скільки очей», або «стільки, скільки рук»; про п'ять предметів говорили, що їх «стільки, скільки пальців на руці», коли 10 — «стільки, скільки пальців на обох руках». Отже, числа на цьому етапі лічби ще служили тільки для встановлення рівночисельності множин, вони були числами-сукупностями, числами-якостями; а не абстрактними поняттями. Тільки в результаті тривалого розвитку практичної діяльності і теоретичного мислення людина зуміла сформувати для кожної сукупності рівночисельних скінченних множин спільну для цієї сукупності її чисельну характеристику, яку можна виразити за допомогою абстрактних понять — чисел: один, два, три і т. д. Так формувалися поняття перших натуральних чисел. Довгий час ряд їх був дуже коротким. Спочатку лише 1 і 2; тільки через тривалий проміжок часу—1, 2, 3. Усі більш чисельні множини характеризувалися словом «багато». Багато було пальців на руці, дерев у лісі, риби в озері, зірок на небосхилі. Але потреби практики змушували людину вводити все більші числа і, отже, продовжувати натуральний ряд чисел. Вводячи в практику нові числа, людина давала кожному з них певну назву. Задача найменування нових чисел з часом ставала дедалі складнішою. Люди розв'язали її, застосувавши спеціальні прийоми називати і зображати кількісні характеристики сукупностей рівночисельних скінченних множин. Той чи інший спосіб найменування та записування чисел називають нумерацією (від лат. numeros— лічба), або системою числення. Розрізняють усну і письмову нумерації. Усна нумерація — це спосіб називати кожне з багатьох чисел за допомогою небагатьох слів. Письмовою нумерацією називають спосіб записувати кожне з багатьох чисел за допомогою небагатьох знаків. Тепер навіть у повсякденному житті людині доводиться мати справу з числами до десятків тисяч і навіть мільйонів, хоч у нашій мові налічується лише кілька десятків тисяч слів. Створення назв для величезної кількості натуральних чисел і стало можливим завдяки застосуванню певних принципів, покладених в основу різних систем числення. Уже лічба числами-сукупностями привела до створення двійкової, п'ятіркової, десяткової і дванадцяткової систем числення. Особливо часто лічили по два — парами, десятками, дюжинами. Наприклад, у західних племен Торресової протоки єдиними числівниками були 1 — урапун, 2 — окоза. Потім лічили так: 3 — окоза — урапун, 4 — окоза — окоза, 5 — окоза — окоза — урапун, 6 — окоза -окоза — окоза. Такий спосіб лічби поклав початок найдавнішої системи числення — двійкової. (Детально ми розглянемо її далі). Залишки її ми знаходимо в мовах багатьох народів. У старослов'янській мові, крім однини і множини, є й двоїна. У деяких мовах існувала троїна як пережиток лічби трійками, тобто трійкової системи числення. У скандінавських мовах спостерігаємо залишки п'ятіркової системи. Ще й тепер ми часто лічимо дюжинами, тобто користуємося дванадцятковою системою. На час виникнення писемності різні народи сформували кілька систем числення, які мали й спільні риси. У цих системах були числа, які мали спеціальні назви і розглядалися як окремі поняття. Такі числа називаються вузловими. Додаванням одиниць до вузлових чисел, подвоєнням і потроєнням останніх можна конструювати назви послідовних натуральних чисел, які називаються алгоритмінними. Зрозуміло, що для найменування все більших натуральних чисел необхідно було б винаходити нові назви для вузлових чисел і, щоб назвати всю нескінченну множину натурального ряду, потрібно було б мати в запасі нескінченну множину назв лише для вузлових чисел. Одночасно з розробкою усної нумерації людина шукала і різні способи зображення чисел. Для цього було винайдено різні знакові системи. Спочатку це були набори камінців, зерен, черепашок, паличок. Тривалий час були широко поширені палички або дощечки із зарубками, які й зображали певні числа. Слов'янські народи нашої країни називали такі палички бирками. В Англії за допомогою бирок фіксували борги селян. Бирку із зарубками розколювали на дві частини, одна залишалася в кредитора, а друга — в боржника. При розрахунку обидві частини бирки складалися і, таким чином, перевірялася сума боргу. Відомий народний вислів «зарубай на носі» теж залишився від часів, коли на бирці, яка називалася ще «ніс», позначалися зарубками розміри боргу або якісь інші числа. О  ригінальну знакову систему для зображення чисел винайшли аборигени Південної Америки — інки. Вони зображали числа за допомогою вузлів на мотузках або ремінцях, які називалися квіпу. Вузли на одній мотузці означали одиниці, на другій — десятки, на третій— сотні і т. д.З-поміж багатьох інших знакових систем для зображення чисел і виконання дій над ними найбільшого поширення набуло використання для зображення чисел букв алфавіту і спеціальних ієрогліфів — цифр. Системи числення поділяються на непозиційні і позиційні. Першими людина створила непозиційні системи. Розглянемо дві з них. До нашого часу збереглася римська система, яку використовують для нумерації століть, томів книг, розділів, на циферблатах годинників. Це непозиційна, десяткова із залишками п'ятіркової, система числення, без нуля. Числові знаки в процесі еволюції набрали форми літер, хоча спочатку з ними нічого спільного не мали. їх звели до форми літер для зручності. Вузловими в римській нумерації є числа І — 1, V — 5, X — 10, L — 50, С — 100, D — 500, М — 1000. Алгоритмічні числа утворювалися як комбінації вузлових за такими правилами: а) якщо в запису числа знак меншого числа йде (є наступним) за знаком більшого, вони додаються; б) якщо знак меншого числа записаний перед знаком більшого, менше число віднімається від наступного більшого; в) віднімати можна не більше одного, а додавати не більше трьох чисел. Так конструюються записи чисел у римській системі: І, II, III, IV (5 — 1), V, VI (5+1), VII, VIII, IX, X,.... XXXIX (30+(10—1))..... MCMLXXXI, ..., XXXVIIIm DCCLXXXIV (38784). Як бачимо, система незручна. Записи довгі, множення ї ділення в письмовій формі виконувати майже неможливо. Усі дії потрібно робити усно. Навіть щоб прочитати числа, потрібно усно додавати або віднімати. Т  оді, коли середньовічна Західна Європа перейняла римську нумерацію, у Росії поширилася десяткова, непозиційна алфавітна нумерація. Найбільшого поширення набула нумерація, у якій знаками чисел служили букви: кирилиці. Щоб розрізняти, коли букви використовувалися для позначення чисел, над кожною з них або над усім числом ставився спеціальний знак. Були окремі знаки для запису досить великих чисел (мал.).Як і римська нумерація, давньоруська теж була мало пристосована для виконання арифметичних дій над числами, придатна лише для запису в ній різних чисел. Тепер ми також інколи використовуємо букви для нумерації розділів книг, пунктів доповідей або статей. І все-таки майже у всіх випадках лічби і обчислень ми користуємося іншою системою, яка була створена індійськими вченими. Шумеро-вавілонські вчені розробили найдавнішу позиційну систему. У ній, як і в будь-якій іншій позиційній системі числення, значення кожної цифри визначається як нею самою, так і місцем (позицією), яке вона займає в запису числа. Вона мала велику основу — була шістдесятковою і не була послідовно позиційною. Еквівалент нашого нуля, знак для позначення відсутності одиниць, ставився лише в серединних розрядах і ніколи не ставився, якщо не було одиниць в крайніх розрядах справа. Отже, запис чисел у цій системі був не однозначним. Найвидатніше відкриття на шляху вдосконалення систем числення зробили індійські вчені. З VI ст. в Індії поширилися числа брахми, у яких були окремі знаки для чисел «один» — «дев'ять», що стало передумовою створення позиційної десяткової системи. До VI ст. нуля ще не було. Замість нього в запису чисел залишалося порожнє місце. Перше свідчення про індійську позиційну систему належить до VII ст. Перший достовірний запис нуля відносять до 876 року: у настінному написі із Гваліора (Індія) є число. Велику роль в поширенні індійської позиційної системи відіграли вчені країн ісламу, особливо видатний узбецький математик Мухаммед ал-Хорезмі (IX ст.). Його трактат «Про індійську лічбу» поклав початок впровадженню індійської системи числення як в Азії, так і в Європі. Латинізована форма імені ал-Хорезмі Algo-rithmus — алгоритм спочатку означала десяткову систему числення; нині — це одне з фундаментальних математичних понять, що означає точно сформульоване правило, виконання дій, спрямованих на досягнення певної мети, тобто на здобування з довільних вихідних даних якогось цілком певного результату. Зрозуміло, що ми лише описали на інтуїтивному рівні надзвичайно складне наукове поняття алгоритму, формування якого не закінчено ще й тепер. Хоча можна навести безліч різних алгоритмів, якими ми користуємося не тільки в математиці, айв інших науках, у повсякденному житті. Наприклад, виконуючи обчислення, ми використовуємо алгоритми чотирьох арифметичних дій над числами в десятковій позиційній системі числення. За певним алгоритмом ми утворювали в римській нумерації з вузлових чисел записи і назви (в цій системі числення) інших натуральних чисел. На деяких телефонах-автоматах є інструкції — алгоритми. Ми користуємося певним алгоритмом, коли переходимо вулицю в місті. Алгоритмами є рецепти, за якими в аптеках виготовляють і видають ліки. Складовою частиною останнього алгоритму є другий алгоритм (для хворого) — як приймати призначені лікарем ліки і т. д. Без перебільшення можна сказати, що вся наша діяльність є побудова, розв'язання або виконання вже побудованих іншими якихось алгоритмів. Саме тому що ми здійснюємо, реалізовуємо ці алгоритми, ми досягаємо поставлених цілей. Слово цифра походить від санскритського слова «сунья» — пусте, яке вчені країн ісламу переклали на арабську мову словом «ассифр». Так називали в арабській мові нуль. Протягом XVIІ ст. у Росії відбувається поступове витіснення алфавітної системи сучасною. Деякий час слов'янська система застосовується ще досить часто і поряд з індійською, але на кінець століття вона стає все більш рідкісною і, як правило, використовується для ознайомлення із сучасними цифрами. Так, у знаменитій «Арифметиці» Л. П. Магніцького (1669—1739), опублікованій у 1703 році в Москві, нумерацію сторінок і рік видання; книги вказано ще в давньослов'янській нумерації. Однак із самого початку ознайомлення з числами, правилами дій над ними, розв'язуванням задач скрізь провадиться виключно з використанням сучасної системи числення. Хоча і Магніцький називає нуль «цифрою або нічим». У  чені різних епох із захопленням відгукувалися на геніальний винахід індійських математиків. Зокрема, великий французький математик і астроном П'єр Лаплас (1749—1827) писав: «Думка зображати всі числа дев'ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще значення за місцем, така проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, яка вона дивовижна. Як нелегко було прийти до цього способу, ми добре бачимо на прикладі видатних геніїв грецької вченості Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою». Не раз зазначали, що десятковою система є теж не випадково. З множин-еталонів, елементи якої завжди були готові до використання і найчастіше використовувалися, була, звичайно, множина пальців двох рук людини. Отже, переваги десяткової системи мають не математичний, а біологічний характер. І коли б на руках людини було по 4 або 6 пальців, вона створила б відповідно вісімкову або дванадцяткову систему числення. Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто робити першу арифметичну операцію, являють собою все, що завгодно, тільки не продукт вільної творчості розуму. Щоб лічити, треба мати не тільки предмети, які підлягають лічбі, але й мати вже здібність абстрагуватися при розгляді цих предметів від усіх інших їх властивостей, крім числа, а ця здібність є результат довгого історичного розвитку, що спирається на досвід».К. Ф. Гаусе (1777—1855) сказав якось, що і в обчисленнях на логарифмічній лінійці є своя поезія. І все ж виконання великої кількості одноманітних обчислень важко опоетизувати. Тому людина ніколи не припиняла пошуків раціоналізації обчислень, яких їй доводилося виконувати більше й більше. Одну з перших обчислювальних машин створив геніальний математик і різносторонній вчений Г. В. Лейбніц (1646— 1716).  Російський інженер і головний механік Петербурзького монетного двору В. Т. Однер (1845— 1905) винайшов виключно досконалий арифмометр. Модифіковані конструкції цієї малої обчислювальної машини використовуються і в наш час. Поряд з різними механічними пристроями для лічби люди тривалий час використовували й найдавніший природний лічильний інструмент — пальці. Пальцевий рахунок — сторінка з книги італійського математика Луки Пачолі (1454—1514) під назвою «Сума (знань) з арифметики, геометрії, відношень і пропорційності». У ній вводилася алгебраїчна символіка, але поряд з цим пропонувалися вдосконалені способи пальцевої лічби. Чим більше люди вивчали числа, тим все глибші залежності виявляли між ними. Деякі з цих залежностей справляли на людей таке велике враження, що їх пов'язували навіть з надприродними силами. Так виникали різні числові марновірства. Вважали, наприклад, що власнику амулета з магічним квадратом гарантований успіх у справах і безпека.   * * * |
Схожі:
|
Урок математики в 5 Пачкова Анастасія Олександрівна, учитель математики Первомайської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №1 |
Упорядник: Бабенко О. А. – учитель математики Черкаської загальноосвітньої... |
|
Інтегрована інтелектуальна гра-змагання «Мови рідної розмай!» «Інтер», учитель української мови та літератури Верхньоторецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Ясинуватського району Донецької... |
Назва проекту : «Світ мистецтва такий різноманітний та цікавий» Автор проекту: Мазурик Алла Іванівна, учитель української мови та літератури Красненьківської загальноосвітньої школи І- ІІІ ступенів... |
|
Вчитель математики Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів... Канівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4 Канівської міської ради Черкаської області |
Використання педагогічної спадщини М. В. Остроградського на уроці геометрії (9 клас) Ященко Тамара Львівна, вчитель математики Лубенської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №4, спеціаліст вищої категорії, старший... |
|
Урок-подорож з української мови та математики Підготували вчителі української мови та літератури Т. А. Панченко та математики І. В. Каламбет Сєвєродонецької загальноосвітньої... |
Касперович Тетяна Володимирівна Касперович Тетяна Володимирівна,спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, старший учитель,учитель початкових класів Дебальцівської... |
|
ПРОГРАМИ з читання, української мови, математики для 1-10 класів... Латна Т. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Пономарьова Л. Б. учитель вищої категорії, старший учитель; Коваленко Т. Г.... |
СТАТУТ Учнівського самоврядування Черкаської загальноосвітньої школи... Ити демократію в суспільстві, усвідомлюючи відповідальність перед Богом, власною совістю, попереднім, нинішнім та майбутнім поколінням... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua