|
Скачати 322.74 Kb.
|
Теорема 4.5.1. Нехай виконується умова і Тоді для будь-якого рівняння (4.3) має розв’язок , (отже, він задовольняє умові (4.5)). Таким чином, існують дві відокремлені біжучі хвилі з профілем та швидкостями В підрозділі 4.6 вивчається поведінка розв’язків задачі (4.3), (4.5) на нескінченності і при відповідних припущеннях доводиться експоненціальна оцінка для розв’язку. Рівняння (4.3) можна подати у вигляді (4.29) де (4.30) і Відносно функції зробимо наступне, більш слабше, ніж , припущення. неперервна на , при і при Тут розглядаються розв’язки, що лежать в просторі Нехай – такий розв’язок. Покладемо (якщо то за означенням). Із умови слідує, що Тоді рівняння (4.29) набуде вигляду До останнього рівняння застосуємо перетворення Фур’є Отримуємо де Відмітимо, що функція продовжується до цілої функції Тут показано, що якщо і , то існує таке що функція не має нулів в смужці (Лема 4.6.1). Наступне твердження є основним результатом даного підрозділу Теорема 4.6.1. Нехай виконується умова і Якщо – розв’язок рівняння (4.3), то для будь-якого де із леми 4.6.1, існує таке що (4.37) Оскільки умова сильніша, ніж умова , то із теореми 4.6.1 випливає Наслідок 4.6.1. В умовах теореми 4.6.1 (з умовою замість ) для розв’язку виконується експоненціальна оцінка (4.37) для будь-якого В останньому підрозділі 4.7 встановлені вище теореми застосовуються до рівняння ВИСНОВКИ Дисертація присвячена побудові класів існування та єдиності розв'язків гамільтонових систем, що описують нескінченні ланцюги лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів. У дисертації отримано такі результати: 1) умови існування та єдиності локальних і глобальних розв'язків задачі Коші для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів; 2) умови існування періодичних за часом розв'язків для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів та досліджено методи їх побудови; 3) умови існування біжучих хвиль в ланцюгах лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів. Отримані в дисертації результати є поширенням вже відомих для подібних систем. Для обгрунтування результатів в даній роботі розвинуто варіаційний метод відшукання періодичних розв'язків таких систем, метод умовної мінімізації та метод періодичних апроксимацій. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути застосованими в теорії звичайних диференціальних рівнянь та в нелінійній фізиці. Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Панкову Олександру Андрійовичу за допомогу та постійну увагу до роботи. ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
АНОТАЦІЯ Бак С.М. Рівняння нескінченних ланцюгів нелінійних осциляторів: задача Коші, періодичні розв’язки, біжучі хвилі. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, Вінниця, 2007. Робота присвячена дослідженню нескінченних систем диференціальних рівнянь, які описують нескінченні ланцюги лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Такі системи представляють собою нескінченновимірні гамільтонові системи в гільбертовому просторі l2. Перш за все в роботі отримано результати про існування та єдиність глобальних розв’язків задачі Коші, а також результати про неіснування глобальних розв’язків. Далі вивчаються періодичні за часом розв’язки. Такі розв’язки описуються нелінійними різницевими рівняннями, які мають варіаційну структуру. За допомогою теореми про гірський перевал встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків. У випадку степеневих потенціалів показано, що такі розв’язки можуть бути отримані за допомогою методу умовної мінімізації. У випадку просторово однорідних ланцюгів встановлено існування розв’язків, що мають вигляд біжучих хвиль. Показано, що профіль таких хвиль експоненціально спадає на нескінченності. Ключові слова: нескінченні системи диференціальних рівнянь, гамільтонові системи, нелінійні осцилятори, періодичні розв’язки, теорема про гірський перевал, критичні точки, біжучі хвилі. АННОТАЦИЯ Бак С. Н. Уравнения бесконечных цепочек нелинейных осцилляторов: задача Коши, периодические решения, бегущие волны. – Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Винницкий государственный педагогический университет имени Михаила Коцюбинского, Винница, 2007. Работа посвящена исследованию бесконечных систем дифференциальных уравнений, которые описывают бесконечные цепочки линейно связанных нелинейных осцилляторов. Такие системы представляют собой бесконечномерные гамильтоновы системы в гильбертовом пространстве l2. Прежде всего в работе получены результаты о существовании и единственности глобальных решений задачи Коши, а также результаты о несуществовании глобальных решений. Далее изучаются периодические по времени решения. Такие решения описываются нелинейными разностными уравнениями, которые имеют вариационную структуру. С помощью теоремы о горном перевале установлены достаточные условия существования периодических решений. В случае степенных потенциалов показано, что такие решения могут быть получены с помощью метода условной минимизации. В случае пространственно однородных цепочек установлено существование решений, имеющих вид бегущих волн. Показано, что профиль таких волн экспоненциально убывает на бесконечности. Ключевые слова: бесконечные системы дифференциальных уравнений, гамильтоновы системы, нелинейные осцилляторы, периодические решения, теорема о горном перевале, критические точки, бегущие волны. ABSTRACT Bak S.M. Equations of infinite chains of nonlinear oscillators: Cauchy problem, periodical solutions, traveling waves. – Manuscript. Thesis for the Candidate of science degree in the field 01.01.02 – differential equations. – Vinnitsya State Pedagogical Mikhailo Kotcubinskiy University, Vinnitsya, 2007. The thesis deals with infinite systems of differential equation that describe infinite chains of linearly coupled nonlinear oscillators. Such systems are infinite dimensional Hamiltonian systems in the Hilbert space l2. First of all, it is obtained results on existence and uniqueness of global solutions to the Cauchy problem, as well as nonexistence results for such solutions. Next, it is considered time periodic solutions that are described by certain difference equations having variational structure. By means of the mountain pass theorem, it is obtained sufficient conditions for the existence of such solutions. In the case of pure power potential it is shown that periodic solutions can be found by means of a constrained minimization approach. In the case of spatially homogeneous chains it is shown the existence of travelling wave solutions whose profile function decays exponentially at infinity. Key words: infinite systems of differential equations, Hamiltonian systems, nonlinear oscillators, periodic solutions, mountain pass theorem, critical points, travelling waves. Підписано до друку 15. 03. 2007 р. Папір друк. №1. Спосіб друку – офсет. Формат 6090/16. Умовн. друк. аркушів 0, 8 Тираж 100 прим. Замовл. №13714. Надруковано ПП „Едельвейс і К” м. Вінниця, вул. 600-річчя , 17 тел. (0432) 513-108 WWW.LIBRAR.ORG.UA – Бібліотека України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня СИНТЕЗ, СТРУКТУРА ТА ВЛАСТИВОСТІ АКСІАЛЬНОКООРДИНОВАНИХ КОМПЛЕКСІВ ФТАЛОЦІАНІНУ ЗАЛІЗА |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Д 64. 605. 01 Національного фармацевтичного університету за адресою: 61002, м. Харків, вул. Пушкінська, 53 |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня ... |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Спеціальність: 12. 00. 08 кримінальне право та кримінологія; кримінально – виконавче право |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата психологічних наук Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара МОНмолодьспорту України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Роботу виконано на кафедрі конституційного та адміністративного права юридичного факультету Київського національного університету... |