Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня


Скачати 322.74 Kb.
НазваАвтореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Сторінка2/4
Дата27.04.2013
Розмір322.74 Kb.
ТипАвтореферат
bibl.com.ua > Математика > Автореферат
1   2   3   4

Теорема 2.2.2. Додатково до умов (i1) та (ii1) припустимо, що оператор А недодатний, тобто для будь-якого l2. Крім того, нехай виконується одна із наступних умов:

(a) для всіх і

(b) існує така неспадна функція що і для всіх і

Тоді задача Коші для рівняння (2.4) має єдиний глобальний розв’язок для будь-яких початкових даних q(0), q(1)l2.

Наступний наслідок дозволяє зняти умову недодатності оператора A.

Наслідок 2.2.2. Нехай виконуються умови(i1), (ii1) та умова (b) теореми 2.2.2, де




Тоді задача Коші для рівняння (2.4) має єдиний глобальний розв’язок для будь-яких початкових даних із l2 .

Далі в цьому розділі вивчається важливий випадок кубічного потенціалу, який не задовольняє умовам теореми 2.2.2, а саме



де послідовність dn обмежена.

В підрозділі 2.3 отримано умови існування та єдиності глобальних розв’язків у випадку кубічного потенціалу.

Покладемо

(2.12)

та

(2.13)

Основним результатом підрозділу 2.3 є теорема:

Теорема 2.3.1. Нехай оператор A від’ємно визначений і і l2 такі, що



Тоді задача Коші з початковими даними q(0), q(1) має єдиний глобальний розв’язок.

В теоремі 2.3.1 описується деяка достатньо велика множина початкових даних, для яких задача Коші (2.4), (2.8) з даним кубічним потенціалом має єдиний глобальний розв’язок. Тут припускається, що оператор від’ємно визначений. Зокрема, це так для всіх початкових даних q(0), q(1) з достатньо малою - нормою (наслідок 2.3.1):

Наслідок 2.3.1. Нехай оператор A від’ємно визначений. Тоді існує таке , що для будь-яких q(0), q(1)l2 з і задача Коші має єдиний глобальний розв’язок.

В наступному підрозділі 2.4 також розглядається випадок кубічного потенціалу та вивчається питання про існування глобальних розв’язків. Рівняння (2.1) в даному випадку приймає вигляд

(2.14)

Оператор A припускається недодатним, тобто

(Aq, q) qєl2.

Основний результат цього підрозділу – теорема 2.4.1 – стверджує, що для достатньо великої множини початкових даних глобальний розв’язок не існує:

Теорема 2.4.1. Нехай оператор недодатний і нехай початкові дані q(0), q(1)l2 задовольняють умовам

(q(0), q(1))>0 (2.15)

E(0)=<0. (2.16)

Тоді розв’язок рівняння (2.14) з початковими даними q(0) та q(1) має скінченний максимальний інтервал існування.

Далі наводяться більш явні умови неіснування глобальних розв’язків. Щоб виключити тривіальний випадок, припускається, що хоча б для одного . Відмітимо, що в тривіальному випадку, коли , нелінійність відсутня і E(0) не може бути від’ємним. В цьому випадку, як слідує із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі, глобальні розв’язки існують для будь-яких початкових даних. Покладемо



Відмітимо, що в нетривіальному випадку хоча б одна множина або не порожня.

Наслідок 2.4.1. Нехай і такі, що для будь-якого , хоча б для одного , і для . Тоді існує таке , що для будь-якого розв’язок задачі Коші для рівняння (2.14) з початковими даними і має скінченний максимальний інтервал існування.

Останній підрозділ (2.5) цього розділу присвячений прикладам. Зокрема, для кубічного дискретного рівняння Клейна–Гордона



де




задача Коші має глобальний розв’язок для будь-яких початкових даних при Відмітимо, що – одновимірний дискретний оператор Лапласа. Якщо ж то питання про існування глобальних розв’язків залишається відкритим і, можливо, має негативну відповідь.

Для квадратного дискретного рівняння Клейна–Гордона



де m2>0 глобальний розв’язок задачі Коші існує для всіх початкових даних з достатньо малою l2- нормою, незалежно від знаку a. Існування глобальних розв’язків при m=0 залишається відкритим.

Розділ 3 присвячений періодичним за часом розв’язкам рівняння (2.1) з крайовими умовами (2.2), точніше, рівняння (2.4) в l2. В цьому розділі накладаються наступні умови:

(i2) коефіцієнти an і cn є N-періодичними, тобто і A– додатно визначений в l2, тобто існує таке що

(Aq, q)qє l2;

(ii2) для будь-якого n функція Vn(r) неперервно диференційовна, Vn(0)=Vn(0)=0, Vn(r)=o(r) при і виконується умова -періодичності

(iii2) існує таке що



Для побудови періодичних розв’язків використовується варіаційний підхід, а саме, теорема про гірський перевал. При цьому рівняння (2.1) розглядається не тільки з граничними умовами (2.2), але й з періодичними по умовами

(3.6)

де – фіксоване ціле число. Остання задача інтегрується як рівняння

(3.7)

в скінченновимірному гільбертовому просторі , що складається із -періодичних послідовностей. Норма і скалярний добуток в цьому просторі позначаються і , відповідно. Оператори і задаються тими ж формулами (3.2) та (3.3), тільки застосовуються до -періодичних послідовностей.

В підрозділі 3.1 подається варіаційна постановка цих задач. Точніше, з ними пов’язуються функціонали




відповідно. Ці функціонали визначені на деяких гільбертових просторах і відповідно. Критичні точки цих функціоналів є -періодичними розв’язками

відповідних задач. В цьому підрозділі також наводяться деякі оцінки для критичних точок та критичних значень функціоналів і

Підрозділ 3.2 містить деякі допоміжні відомості про стаціонарні розв’язки, тобто про розв’язки, що не залежать від часу.

В підрозділі 3.3 доводиться існування -періодичних розв’язків рівняння (2.1) з умовами просторової періодичності (3.6), тобто рівняння (3.7). Ця задача має незалежний інтерес, однак в наступному підрозділі результати про існування її розв’язків будуть використані для доведення існування -періодичних розв’язків рівняння (2.1) з крайовими умовами (2.2) на нескінченності, тобто рівняння

(3.1)

Для побудови шуканих розв’язків, в силу леми 3.1.4, достатньо знайти нетривіальні критичні точки функціоналу в просторі З цією метою використано теорему про гірський перевал.

Щодо теореми про гірський перевал, то важливою в ній є наступна умова (так звана умова Пале–Смейла):

Нехай – така послідовність елементів гільбертового простору , що послідовність обмежена і Тоді містить збіжну підпослідовність.
1   2   3   4

Схожі:

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
СИНТЕЗ, СТРУКТУРА ТА ВЛАСТИВОСТІ АКСІАЛЬНОКООРДИНОВАНИХ КОМПЛЕКСІВ ФТАЛОЦІАНІНУ ЗАЛІЗА
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Д 64. 605. 01 Національного фармацевтичного університету за адресою: 61002, м. Харків, вул. Пушкінська, 53
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
...
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Спеціальність: 12. 00. 08 кримінальне право та кримінологія; кримінально – виконавче право
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата психологічних наук
Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара МОНмолодьспорту України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Роботу виконано на кафедрі конституційного та адміністративного права юридичного факультету Київського національного університету...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка