Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

Скачати 322.74 Kb.

Назва	Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Сторінка	2/4
Дата	27.04.2013
Розмір	322.74 Kb.
Тип	Автореферат

bibl.com.ua > Математика > Автореферат

1 2 3 4

Теорема 2.2.2. Додатково до умов (i₁) та (ii₁) припустимо, що оператор А недодатний, тобто для будь-якого l². Крім того, нехай виконується одна із наступних умов:

(a) для всіх і

(b) існує така неспадна функція що і для всіх

Тоді задача Коші для рівняння (2.4) має єдиний глобальний розв’язок для будь-яких початкових даних q⁽⁰⁾, q⁽¹⁾

l².

Наступний наслідок дозволяє зняти умову недодатності оператора A.

Наслідок 2.2.2. Нехай виконуються умови(i₁), (ii₁) та умова (b) теореми 2.2.2, де

Тоді задача Коші для рівняння (2.4) має єдиний глобальний розв’язок для будь-яких початкових даних із l² .

Далі в цьому розділі вивчається важливий випадок кубічного потенціалу, який не задовольняє умовам теореми 2.2.2, а саме

де послідовність d_n обмежена.

В підрозділі 2.3 отримано умови існування та єдиності глобальних розв’язків у випадку кубічного потенціалу.

Покладемо

(2.12)

та

(2.13)

Основним результатом підрозділу 2.3 є теорема:

Теорема 2.3.1. Нехай оператор A від’ємно визначений і і l² такі, що

Тоді задача Коші з початковими даними q⁽⁰⁾, q⁽¹⁾ має єдиний глобальний розв’язок.

В теоремі 2.3.1 описується деяка достатньо велика множина початкових даних, для яких задача Коші (2.4), (2.8) з даним кубічним потенціалом має єдиний глобальний розв’язок. Тут припускається, що оператор

від’ємно визначений. Зокрема, це так для всіх початкових даних q⁽⁰⁾, q⁽¹⁾ з достатньо малою

- нормою (наслідок 2.3.1):

Наслідок 2.3.1. Нехай оператор A від’ємно визначений. Тоді існує таке , що для будь-яких q⁽⁰⁾, q⁽¹⁾

l² з і задача Коші має єдиний глобальний розв’язок.

В наступному підрозділі 2.4 також розглядається випадок кубічного потенціалу та вивчається питання про існування глобальних розв’язків. Рівняння (2.1) в даному випадку приймає вигляд

(2.14)

Оператор A припускається недодатним, тобто

(Aq, q)

qєl².

Основний результат цього підрозділу – теорема 2.4.1 – стверджує, що для достатньо великої множини початкових даних глобальний розв’язок не існує:

Теорема 2.4.1. Нехай оператор недодатний і нехай початкові дані q⁽⁰⁾, q⁽¹⁾

l² задовольняють умовам

(q⁽⁰⁾, q⁽¹⁾)>0 (2.15)

E(0)=

<0. (2.16)

Тоді розв’язок рівняння (2.14) з початковими даними q⁽⁰⁾ та q⁽¹⁾ має скінченний максимальний інтервал існування.

Далі наводяться більш явні умови неіснування глобальних розв’язків. Щоб виключити тривіальний випадок, припускається, що

хоча б для одного

. Відмітимо, що в тривіальному випадку, коли

, нелінійність відсутня і E(0) не може бути від’ємним. В цьому випадку, як слідує із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі, глобальні розв’язки існують для будь-яких початкових даних. Покладемо

Відмітимо, що в нетривіальному випадку хоча б одна множина

або

не порожня.

Наслідок 2.4.1. Нехай і такі, що для будь-якого , хоча б для одного , і для . Тоді існує таке , що для будь-якого розв’язок задачі Коші для рівняння (2.14) з початковими даними і має скінченний максимальний інтервал існування.

Останній підрозділ (2.5) цього розділу присвячений прикладам. Зокрема, для кубічного дискретного рівняння Клейна–Гордона

де

задача Коші має глобальний розв’язок для будь-яких початкових даних при

Відмітимо, що

– одновимірний дискретний оператор Лапласа. Якщо ж

то питання про існування глобальних розв’язків залишається відкритим і, можливо, має негативну відповідь.

Для квадратного дискретного рівняння Клейна–Гордона

де m²>0 глобальний розв’язок задачі Коші існує для всіх початкових даних з достатньо малою l²- нормою, незалежно від знаку a. Існування глобальних розв’язків при m=0 залишається відкритим.

Розділ 3 присвячений періодичним за часом розв’язкам рівняння (2.1) з крайовими умовами (2.2), точніше, рівняння (2.4) в l². В цьому розділі накладаються наступні умови:

(i₂) коефіцієнти a_n і c_n є N-періодичними, тобто і A– додатно визначений в l², тобто існує таке

що

(Aq, q)qє l²;

(ii₂) для будь-якого n функція V_n(r) неперервно диференційовна, V_n(0)=V’_n(0)=0, V’_n(r)=o(r) при і виконується умова -періодичності

(iii₂) існує таке що

Для побудови періодичних розв’язків використовується варіаційний підхід, а саме, теорема про гірський перевал. При цьому рівняння (2.1) розглядається не тільки з граничними умовами (2.2), але й з періодичними по

умовами

(3.6)

де

– фіксоване ціле число. Остання задача інтегрується як рівняння

(3.7)

в скінченновимірному гільбертовому просторі

, що складається із

-періодичних послідовностей. Норма і скалярний добуток в цьому просторі позначаються

, відповідно. Оператори

задаються тими ж формулами (3.2) та (3.3), тільки застосовуються до

-періодичних послідовностей.

В підрозділі 3.1 подається варіаційна постановка цих задач. Точніше, з ними пов’язуються функціонали

відповідно. Ці функціонали визначені на деяких гільбертових просторах

відповідно. Критичні точки цих функціоналів є

-періодичними розв’язками

відповідних задач. В цьому підрозділі також наводяться деякі оцінки для критичних точок та критичних значень функціоналів

Підрозділ 3.2 містить деякі допоміжні відомості про стаціонарні розв’язки, тобто про розв’язки, що не залежать від часу.

В підрозділі 3.3 доводиться існування

-періодичних розв’язків рівняння (2.1) з умовами просторової періодичності (3.6), тобто рівняння (3.7). Ця задача має незалежний інтерес, однак в наступному підрозділі результати про існування її розв’язків будуть використані для доведення існування

-періодичних розв’язків рівняння (2.1) з крайовими умовами (2.2) на нескінченності, тобто рівняння

(3.1)

Для побудови шуканих розв’язків, в силу леми 3.1.4, достатньо знайти нетривіальні критичні точки функціоналу

в просторі

З цією метою використано теорему про гірський перевал.

Щодо теореми про гірський перевал, то важливою в ній є наступна умова (так звана умова Пале–Смейла):

Нехай – така послідовність елементів гільбертового простору , що послідовність обмежена і Тоді містить збіжну підпослідовність.

1 2 3 4

Схожі:

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня СИНТЕЗ, СТРУКТУРА ТА ВЛАСТИВОСТІ АКСІАЛЬНОКООРДИНОВАНИХ КОМПЛЕКСІВ ФТАЛОЦІАНІНУ ЗАЛІЗА	Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Д 64. 605. 01 Національного фармацевтичного університету за адресою: 61002, м. Харків, вул. Пушкінська, 53
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня ...	Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Спеціальність: 12. 00. 08 кримінальне право та кримінологія; кримінально – виконавче право
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата психологічних наук Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара МОНмолодьспорту України	Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України	Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України	Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Роботу виконано на кафедрі конституційного та адміністративного права юридичного факультету Київського національного університету...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання