Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня


Скачати 322.74 Kb.
НазваАвтореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Сторінка1/4
Дата27.04.2013
Розмір322.74 Kb.
ТипАвтореферат
bibl.com.ua > Математика > Автореферат
  1   2   3   4
Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

Бак Сергій Миколайович

УДК 517.97
РІВНЯННЯ НЕСКІНЧЕННИХ ЛАНЦЮГІВ НЕЛІНІЙНИХ ОСЦИЛЯТОРІВ: ЗАДАЧА КОШІ, ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ, БІЖУЧІ ХВИЛІ


01.01.02 – диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук
Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.
Роботу виконано у Вінницькому державному педагогічному університеті імені М.М. Коцюбинського, Міністерство освіти і науки України.
Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Панков Олександр Андрійович

Вінницький державний педагогічний університет імені

М.М. Коцюбинського, професор кафедри математики, м. Вінниця
Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Каленюк Петро Іванович

Національний університет „Львівська політехніка”, директор інституту прикладної математики та фундаментальних наук, м. Львів
доктор фізико-математичних наук, професор

Слюсарчук Василь Юхимович

Національний університет водного господарства та природокористування, професор кафедри вищої математики, м. Рівне

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ
Захист відбудеться ” 17 травня 2007 року о 15 30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 при Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розіслано ” 12 квітня 2007 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми дослідження. Нескінченновимірні гамільтонові системи широко використовуються в нелінійній фізиці для моделювання складних оптичних і квантових явищ. Зокрема, останнім часом значну увагу приділяють моделям, дискретним за просторовою змінною.

Однією з найбільш популярних моделей є нескінченний ланцюг лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Серед таких систем найбільш відома модель Френкеля–Конторової, вивчена в роботах Я. Френкеля та Т. Конторової 1938 року. (Ця система з’являлась і раніше в роботах Л. Прандтля та У. Делінгера 1928 – 29 рр.) Ця та близькі моделі з фізичної точки зору детально вивчені О. Брауном, Ю. Ківшаром, Д. Хеннінгом, Г. Ціронісом та ін. Математична ж сторона питання досліджена досить слабко. Відмітимо, однак, що близький клас систем Фермі–Паста–Улама вивчено досить добре. В значній мірі досліджено дискретні нелінійні рівняння Шредінгера такими математиками як П. Кеврекідс, К. Расмуссен, А. Бішоп, О. Панков, М. Вейнштейн та ін.

Особливу роль в динаміці подібних систем грають періодичні розв’язки, які в фізиці називаються бризерами. Питання про існування бризерів тої чи іншої частоти є однією із актуальних проблем нелінійної фізики.

На даний час у цьому напрямку є окремі часткові результати, отримані методами теорії збурень для однорідних ланцюгів зі слабким зв’язком. Значних результатів досягли такі вчені як С. Обрі та Р. Маккей.

Іншим важливим класом розв’язків є біжучі хвилі. Такі розв’язки виникають в багатьох задачах. Біжучі хвилі для параболічних рівнянь в частинних похідних досить детально досліджено такими математиками як Дж. Смоллер, А. Вольперт та В. Вольперт. Досить детальні результати про біжучі хвилі в ланцюгах Фермі–Паста–Улама можна знайти в роботах О. Панкова. В той же час для ланцюгів осциляторів відома лише одна робота Г. Йосса та К. Кіршгаснера, результати якої отримано методами теорії біфуркацій.

Таким чином, тема даної роботи – дослідження задачі Коші, періодичних по часу розв’язків та біжучих хвиль для ланцюгів лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів – представляється актуальною.


Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках державної бюджетної теми „Варіаційні методи дослідження нелінійних рівнянь математичної фізики в необмежених областях” (номер державної реєстрації 0103U003236), що є складовою частиною досліджень, передбачених планами наукової роботи кафедри математики Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського.

Мета і завдання дослідження.

  1. Дослідження умов існування та єдиності локальних і глобальних розв’язків задачі Коші для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів.

  2. Дослідження умов існування періодичних за часом розв’язків для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів та методів їх побудови.

  3. Дослідження умов існування біжучих хвиль в ланцюгах лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів.

Об’єктом дослідження є нескінченна система диференціальних рівнянь, що описує динаміку нескінченного ланцюга лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів.

Предметом дослідження є умови існування та єдиності розв’язків задачі Коші, умови існування періодичних розв’язків та біжучих хвиль для системи осциляторів.

Методи дослідження. В даній роботі розвинуто варіаційний метод відшукання періодичних розв’язків таких систем, метод умовної мінімізації та метод періодичних апроксимацій.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, сформульовані і доведені в дисертації, є новими та строго обґрунтованими. У дисертаційній роботі отримано такі результати:

  1. Умови існування та єдиності локальних і глобальних розв’язків задачі Коші для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів.

  2. Умови існування періодичних за часом розв’язків для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів та досліджено методи їх побудови.

  3. Умови існування біжучих хвиль в ланцюгах лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів.



Зауважимо, що питання коректності задачі Коші взагалі не розглядалось для таких систем, лише для близького класу систем Фермі–Паста–Улама. Щодо періодичних розв’язків, то на даний час у цьому напрямку є окремі часткові результати, отримані методами теорії збурень для однорідних по простору ланцюгів зі слабким зв’язком. Також для ланцюгів нелінійних осциляторів відома лише одна робота, присвячена питанню існування тільки періодичних біжучих хвиль (Г. Йосса та К. Кіршгаснера). Результати цієї роботи отримано методами теорії біфуркацій для ланцюгів зі слабким зв’язком.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути застосовані в теорії звичайних диференціальних рівнянь та у нелінійній фізиці.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержано автором самостійно. У працях [1] та [3] науковому керівнику Панкову О.А. належать формулювання задач та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включено до дисертації, доповідались та обговорювались на:

  • VIII всеукраїнській науково-практичній конференції „Молодь, освіта, наука, культура і національна самосвідомість” (Київ, 2005 р.);

  • Обласній звітній науково-практичній конференції викладачів та студентів (Вінниця, 2005 р.);

  • міжнародній конференції „Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, 2005 р.);

  • Обласній звітній науково-практичній конференції викладачів та студентів (Вінниця, 2006 р.);

  • ХІ міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006 р. );

  • Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 2006 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8-и працях, з них 5 – у наукових журналах та збірниках наукових праць, 3 – у тезах та матеріалах конференцій. Серед публікацій 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, трьох розділів (перший містить п’ять підрозділів, другий – шість підрозділів і третій – сім підрозділів), висновків та списку використаних джерел, що містить 72 найменування. Повний обсяг роботи – 142 сторінки, з яких 135 сторінок основного змісту та 7 сторінок використаних джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета роботи та основні задачі, вказано наукову новизну одержаних результатів.

В першому розділі розглянуто огляд літератури та основні результати дисертації.

В роботі вивчаються нескінченні системи звичайних диференціальних рівнянь вигляду

(2.1 )

Рівняння такого вигляду описують нескінченний ланцюг нелінійних осциляторів, розміщених в точках цілочисельної решітки . Змінна qn є узагальненою координатою

n-го осцилятора в момент часу t, а Un (r) – його потенціал. Таким чином, при відсутності взаємодії між осциляторами динаміка кожного із них задається рівнянням вигляду



Якщо ж в системі осциляторів є лінійна взаємодія між будь-якими двома найближчими сусідами, то рівняння руху такої системи мають вид (2.1). Розглядаються такі розв’язки системи (2.1), що

(2.2)

тобто осцилятори знаходяться в стані спокою на нескінченності.

В потенціалі зручно виділити квадратичну частину та записати його у вигляді

r2+Vn(r).

Покладемо також

bn=cn-an-an-1.

Тоді рівняння руху (2.1) набудуть вигляду

(2.3)

Систему рівнянь (2.1) або, що теж саме, (2.3) зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння в просторі l2 дійсних двохсторонніх послідовностей , а саме, як рівняння вигляду

=Aq-B(q), (2.4)

де лінійний оператор A задається формулою



а нелінійний оператор B

B(q)n=Vn(qn). (2.5)

Оператори виду (Aq)n – різницеві оператори другого порядку, для яких є повна теорія. Вибір простору l2 в як основного пояснюється двома міркуваннями. По-перше, l2є гільбертовим простором, що дозволяє застосовувати багато абстрактних результатів. По-друге, елементи цього простору автоматично задовольняють співвідношенню (2.2). При застосуванні до розглядуваної задачі це співвідношення є звичайною крайовою умовою на нескінченності.

Скрізь далі під розв’язком рівняння (2.4) розуміється C2-функція від t зі значеннями в l2, що задовольняє це рівняння при всіх допустимих значеннях t. Іноді, які технічний засіб використовуються слабкі розв’язки.

Розділ 2 присвячений питанню коректності задачі Коші для рівняння (2.4). Скрізь в цьому розділі припускається, що виконуються умови

(i1) послідовності {an} і{cn} дійсних чисел обмежені;

(ii1) Vn(r) – функція класу C1 на , Vn(0)=V’n(0)=0 і для будь-якого R>0 існує таке C=C(R)>0, що для всіх



Задача Коші для рівняння (2.4) полягає у знаходженні розв’язку, що задовольняє початкові умови

(2.8)

Розв’язок може бути визначеним на деякому інтервалі навколо нуля (локальний розв’язок), або ж на всій осі (глобальний розв’язок).

Рівняння (2.4) можна записати як рівняння першого порядку в просторі l2 l2

=Gy, (2.7)

де y=(q, p) і

Gy=(p, Aq-B(q))

(стандартний прийом приведення рівняння другого порядку до системи першого порядку). Оператор G є неперервним за Ліпшицем в просторі l2 l2.

Як наслідок стандартного результату існування та єдиність локального розв’язку для будь-яких q(0), q(1)l2 випливає із стандартних результатів про диференціальні рівняння в банаховому просторі. Тобто має місце теорема

Теорема 2.1.1. Нехай виконуються умови (i1) та(ii1). Тоді для будь-яких q(0), q(1)l2 рівняння (2.3) має єдиний розв’язок класу C2 який визначений на деякому інтервалі (-t0; t0) і задовольняє початкові умови (2.8).

В підрозділі 2.2 отримано умови існування глобальних розв’язків задачі Коші.

Оскільки рівняння (2.4) може бути записане у вигляді еквівалентного рівняння (2.7), то наступне твердження про існування та єдиність глобальних розв’язків випливає з відомих результатів.

Теорема 2.2.1. Нехай виконуються умови (i1) та (ii1) з константою C, що не залежить від R. Тоді для будь-яких q(0), q(1)l2 задача (2.4), (2.6) має єдиний розв’язок визначений при всіх t

Однак, така посилена умова (ii1) не виконується у більшості цікавих прикладів.

Далі для отримання результатів про глобальні розв’язки використовується гамільтонова структура рівняння (2.4). Дійсно, рівняння (2.4) є гамільтоновою системою з гамільтоніаном

H(p, q)=(Aq, q)} +(qn)

де p=, а і – норма і скалярний добуток в l2, відповідно. Тому H(, q) є константою на розв’язках рівняння (2.4).

Основним загальним результатом є наступна теорема
  1   2   3   4

Схожі:

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
СИНТЕЗ, СТРУКТУРА ТА ВЛАСТИВОСТІ АКСІАЛЬНОКООРДИНОВАНИХ КОМПЛЕКСІВ ФТАЛОЦІАНІНУ ЗАЛІЗА
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Д 64. 605. 01 Національного фармацевтичного університету за адресою: 61002, м. Харків, вул. Пушкінська, 53
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
...
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Спеціальність: 12. 00. 08 кримінальне право та кримінологія; кримінально – виконавче право
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата психологічних наук
Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара МОНмолодьспорту України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Роботу виконано на кафедрі конституційного та адміністративного права юридичного факультету Київського національного університету...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка