Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня


Скачати 322.74 Kb.
НазваАвтореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Сторінка3/4
Дата27.04.2013
Розмір322.74 Kb.
ТипАвтореферат
bibl.com.ua > Математика > Автореферат
1   2   3   4

Теорема 3.3.1 (Про гірський перевал). Нехай -функціонал на гільбертовому просторі з нормою , що задовольняє умові ПалеСмейла. Припустимо, що існує і такі, що і



Нехай



де



Тоді – критичне значення функціоналу і

В підрозділі 3.3 встановлено наступний результат про існування -періодичних розв’язків задачі (2.1), (3.6) або, що теж саме, рівняння (3.7):

Теорема 3.3.2. Нехай виконуються умови (i2) (iii2) Тоді для будь-якого та будь-якого натурального рівняння (3.7) має ненульовий -періодичний розв’язок. Більше того, існує таке яке не залежить від , що при побудований розв’язок не є сталим.

Доведення цієї теореми полягає в перевірці умов теореми про гірський перевал для функціоналу Важливим фактом є те, що функціонал задовольняє так звану умову Пале–Смейла.

Підрозділ 3.4 присвячений періодичним розв’язкам задачі (2.1), (2.2). Тут встановлено основний результат другого розділу:

Теорема 3.4.1. Нехай виконуються умови (i2) (iii2). Тоді для будь-якого задача (2.1), (2.2) має ненульовий -періодичний розв’язок. При цьому існує таке що при цей розв’язок не є сталим.

При доведенні цієї теореми розв’язки шукаються як критичні точки функціоналу . Цей функціонал не задовольняє умову Пале–Смейла, хоча і задовольняє всім іншим умовам теореми про гірський перевал. Тому остання теорема не може бути використана. Замість цього розв’язок в теоремі 2.2.2 знаходиться як границя в деякому смислі розв’язків з теореми 3.3.2 при Цей метод, відомий як метод періодичних апроксимацій, успішно використовувався в багатьох інших задачах.

В підрозділі 3.5 розглядається випадок потенціалу виду



де і -періодична послідовність. Тут -періодичні розв’язки задачі (2.1), (2.2) будуються за допомогою методу умовної мінімізації.

Введемо функціонали






на просторі Відмітимо, що
Для розглянемо задачу мінімізації

(3.43)

Доведено, що ця задача має розв’язок , тобто і Більше того, при достатньо великих цей розв’язок несталий.

В силу правила множників Лагранжа існує таке (множник Лагранжа), що
Більше того, для множника Лагранжа маємо формулу



Покладемо Тоді рівняння разом із визначенням функціоналів та , показує, що – критична точка функціоналу і, отже, розв’язок задачі (2.1), (2.2).

В останньому підрозділі 3.6 встановлені вище теореми застосовуються до рівняння



Отримані результати уточнюють та узагальнюють відомі результати.

Розділ 4 присвячений питанню існування біжучих хвиль в однорідних за просторовою змінною ланцюгах (). В даному випадку
і рівняння (2.1) набуде вигляду

(4.1)

де

,

– одновимірний дискретний оператор Лапласа.

Нагадаємо, що біжучою хвилею називається розв’язок виду

(4.2)

де – функція неперервного аргументу Функція називається профілем хвилі. Константа є швидкістю хвилі. Якщо , то хвиля рухається вправо, а якщо , то вліво. Інтерес представляють нетривіальні хвилі, тобто хвилі з профілем тотожно не рівним нулю.

Підстановка розв’язку виду (4.2) в рівняння (2.1) дає рівняння виду

(4.3)

В даному розділі розглядаються біжучі хвилі двох типів: періодичні та відокремлені. Для періодичної хвилі профіль є періодичною функцією від Надалі період позначається через – дійсне число. Профіль відокремленої хвилі перетворюється в нуль на нескінченності. Відмітимо, що для періодичного профілю сам розв’язок , заданий формулою (4.2), є -періодичною функцією. Періодичність по виникає тільки у випадку раціонального

У випадку періодичних біжучих хвиль для знаходження профілю хвилі достатньо знайти розв’язок рівняння (4.3) з умовою періодичності

(4.4)

Профіль відокремленої хвилі є розв’язком рівняння (4.3) з крайовою умовою на нескінченності

(4.5)

В обох випадках розв’язок може бути знайдено варіаційним методом, використовуючи теорему про гірський перевал.

Скрізь далі припускається, що потенціал задовольняє умови які в нашому випадку приймають вигляд:

функція неперервно диференційовна, і при та існує таке що



Відзначимо, що в рівняння (4.3) швидкість входить тільки в квадраті. Звідки слідує, що якщо функція задовольняє рівнянню (4.3), то існують дві біжучі хвилі з даним профілем і швидкостями Одна з них рухається вправо, інша – вліво.

В підрозділі 4.2, в залежності від крайових умов (4.4) або (4.5), розглядаються функціонали та на просторах та відповідно, які визначаються формулами

(4.6)

і

(4.7)

Норми в цих просторах задаються рівностями





відповідно.

Тут показано, що критичні точки функціоналів та є -розв’язками рівняння (4.3), що задовольняють умови (4.4) і (4.5) відповідно.

В підрозділі 4.3 розглянуто допоміжні леми.

В підрозділі 4.4 за допомогою теореми про гірський перевал встановлено існування нетривіальних біжучих хвиль з періодичним профілем. Для цього достатньо встановити існування нетривіальних критичних точок функціоналу . Зазначимо, що завжди є тривіальною критичною точкою та дає тривіальну біжучу хвилю, яка тотожньо рівна нулю.

Основним результатом даного підрозділу є наступна теорема

Теорема 4.4.1. Нехай виконується умова і Тоді для будь-яких і рівняння (4.3) має розв’язок , що задовольняє умові (4.4). Тим самим, існують дві біжучі хвилі з профілем та швидкостями Більше того, існують такі константи і які не залежать від , що

(4.21)

(4.22)

В підрозділі 4.5 доводиться існування відокремлених біжучих хвиль з тими ж припущеннями, з якими встановлено існування періодичних хвиль. Біжучі хвилі в
даному випадку знаходяться як критичні точки функціоналу . Функціонал задовольняє частині умов теореми про гірський перевал. Однак, умова Пале–Смейла для

цього функціоналу не виконується. Тому критичні точки в даному випадку будуються іншим способом – за допомогою переходу до границі в критичних точках функціоналу при

В цьому підрозділі встановлено такий результат
1   2   3   4

Схожі:

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
СИНТЕЗ, СТРУКТУРА ТА ВЛАСТИВОСТІ АКСІАЛЬНОКООРДИНОВАНИХ КОМПЛЕКСІВ ФТАЛОЦІАНІНУ ЗАЛІЗА
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Д 64. 605. 01 Національного фармацевтичного університету за адресою: 61002, м. Харків, вул. Пушкінська, 53
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
...
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Спеціальність: 12. 00. 08 кримінальне право та кримінологія; кримінально – виконавче право
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата психологічних наук
Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара МОНмолодьспорту України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
Роботу виконано на кафедрі конституційного та адміністративного права юридичного факультету Київського національного університету...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка