Урок №1 Тема уроку: Математичне моделювання

Скачати 468.91 Kb.

Назва	Урок №1 Тема уроку: Математичне моделювання
Сторінка	1/4
Дата	22.12.2013
Розмір	468.91 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

1 2 3 4

Урок №1

Тема уроку: Математичне моделювання.

Мета уроку: сформувати знання учнів про математичне моделювання, про побудову математичних моделей до прикладних задач, про етапи розв’язання прикладних задач, виробити вміння їх розв’язувати, розвивати мислення, увагу, пам’ять, виховувати наполегливість, активність, позитивне ставлення до навчання.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань та вмінь

1)Визначити, що потрібно знати з курсу фізики , для розв’язання задач:

Задача 1.

З одного місця в одному напрямку одночасно стартували по велотреку два велосипедисти. Один з них проїжджає коло велотреку за 1 хв, а другий – за 45 с. Через яку найменшу кількість хвилин після початку руху велосипедисти знову зустрінуться в місці старту.

1 хв і 45с відповідно періоди обертання першого і другого велосипедистів.

Задача 2.

При послідовному з’єднанні двох провідників опір в електричному колі становитиме 150 Ом, а при паралельному – 36 Ом. Знайдіть опір кожного провідника.

Формули для знаходження опору провідників при послідовному і паралельному з’єднанні провідників:

2) Розв’язати задачу №1, використовуючи логічні міркування:

і , це найменші натуральні числа при яких виконується рівність

3) Розв’язати задачу №2, склавши систему рівнянь:

4) Проаналізувати отримані результати:

- зрозуміло, що рівняння в задачі №1 має безліч розв’язків, але умову задачі задовольняє лише пара найменших натуральних чисел, тому задача має єдиний розв’язок;

- система рівнянь в задачі №2 має дві пари розв’язків (60;90) і (90;60), але згідно умови задачі не доцільно повторювати розв’язки.
ІІ. Мотивація навчальної діяльності

Формулювання задач з різних галузей знань містять нематематичні поняття . Якщо математик бере участь у розв’язуванні такої задачі , то він насамперед прагне перекласти її своєю «рідною» математичною мовою , тобто мовою виразів, формул, рівнянь, нерівностей , функцій, графіків тощо. Наприклад , щоб розв’язати задачу №1 ми склали рівняння, а №2 - систему рівнянь.

Такі задачі називають прикладними , а результат перекладу називають математичною моделлю.

Термін «модель» ми вживаємо дуже часто: модель атомного ядра, модель Сонячної системи, модель якогось явища чи процесу тощо. Вивчаючи властивості моделі об’єкта, ми тим самим вивчаємо властивості самого об’єкта.

На сьогоднішньому уроці ми будемо розв’язувати задачі, побудувавши їх математичні моделі.

ІІІ. Опрацювання навчального матеріалу.
Складання математичної моделі – це тільки перший етап розв’язування прикладної задачі.

Насправді розв’язування прикладної задачі складається з трьох етапів:

побудова математично моделі;
розв’язування математичної задачі;
аналіз результатів, виходячи зі змісту прикладної задачі.

Побудова математичної моделі вимагає наявності певних знань із галузі, до якої належить дана прикладна задача. Реалізація другого етапу пов’язана з математичною діяльністю: знаходження значень виразів, розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем, побудова графічних об’єктів тощо. На третьому етапі отриманий результат потрібно записати мовою прикладної задачі.

Розв’яжемо задачу, виділяючи дані три етапи.

№506 У 100 г гарбуза міститься 8 мг вітаміну С. Скільки потрібно взяти гарбуза, щоб отримати 100 мг вітаміну С?

Побудуємо математичну модель задачі. Нехай потрібно взяти х г гарбуза, щоб отримати 100 мг вітаміну С. Кількість вітаміну збільшується при збільшенні кількості гарбуза, тому це величини прямо пропорційні

100г гарбуза – 8 мг вітаміну С,

х г гарбуза - 100 мг вітаміну С.

Математичною моделлю задачі є пропорція

Розв’яжемо математичну задачу.

Запишемо одержаний результат мовою вихідної задачі: щоб отримати 100 мг вітаміну С, потрібно взяти 625 г гарбуза.
№508 На пошиття костюма витратили 3,2 м тканини. Яку найбільшу кількість костюмів можна пошити, маючи 60 м цієї ж тканини?

Побудуємо математичну модель задачі. Нехай можна пошити х костюмів. На один костюм потрібно 3,2 м тканини, тому на х костюмів –

3,2х м . 3,2х м не може бути більшою 60м.

Математичною моделлю задачі є нерівність .
Розв’яжемо математичну задачу.

Проаналізуємо отриманий результат: за змістом задачі х має бути найбільшим можливим натуральним числом, отже маючи 60 м тканини, можна пошити 18 костюмів.

№512 З пункту А виїхав мотоцикліст, а через 1,5 год услід за ним – автомобіль. Швидкість автомобіля дорівнює 80 км/год, а швидкість мотоцикліста – 40 км/год. Через який час після свого виїзду автомобіль наздожене мотоцикліста?

Побудуємо математичну модель задачі.

Р

івняння рівномірного руху має вигляд

З

а 1,5 год мотоцикліст проїде , тому

Рівняння руху мотоцикліста і автомобіля мають вигляд:

Математичною моделлю задачі може бути рівняння , або графіки руху:

Розв’яжемо математичну задачу.

Н

а момент зустрічі , тому Щоб відповісти на запитання задачі, використовуючи графіки, потрібно знайти абсцису точки перетину графіків руху

Проаналізуємо отриманий результат. Задача має єдиний розв’язок:: автомобіль наздожене мотоцикліста через 1,5 год, якщо ми використовуємо графіки то потрібно зазначити, що отриманий результат приблизний.

№ 517 Вал з меншим діаметром робить за хвилину на 400 обертів більше і здійснює один оберт на 0,2 с швидше, ніж вал з більшим діаметром. Скільки обертів робить кожний вал за хвилину?

Побудуємо математичну модель задачі. Нехай вал з меншим діаметром робить х обертів за хвилину, а вал з більшим діаметром – у обертів за хвилину. Отже х – частота обертання валу з більшим діаметром, а у – частота обертання валу з меншим діаметром. Період і частота величини обернено

пропорційні , тому вал меншого діаметра робить повний оберт
з

а хвилин, а вал більшого діаметра - за хвилин.
Математичною моделлю задачі є система рівнянь:

Розв’яжемо математичну задачу.

Проаналізуємо отриманий результат. Пара не задовольняє умову задачі. Отже вал з меншим діаметром робить 600 обертів за хвилину, а вал з більшим діаметром – 200 обертів за хвилину.

Самостійне завдання № 515.

IV. Підсумки уроку

Які задачі називають прикладними.
Що може бути моделлю математичної задачі?
Назвати етапи розв’язання прикладних задач.
Як записати отриманий результат мовою прикладної задачі?

V. Домашнє завдання

№507,509,511,514, п.17.

Урок №2

Тема уроку: Відсоткові розрахунки. Формула складних відсотків.

Мета уроку: ознайомити з формулами простого й складного процентного зростання ; формувати уміння розв’язувати задачі практичної спрямованості; розвивати логічне мислення, інтерес до предметів математики та економіки; створити умови для формування інформаційної культури учнів.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

У таблиці наведені зразки прикладних задач, скласти відповідні їм математичні моделі.

№	Прикладна задача	Математична модель
1	Один кілограм яблук коштує 7 грн. Скільки яблук можна купити за 21 грн.?
2	Який опір повинен мати провідник, щоб при з’єднані його послідовно з провідником опором 30 Ом опір в електричному колі становитиме 70 Ом?
3	Із 25 жовтих, 30 білих і 20 червоних троянд склали букети. Яку найбільшу кількість букетів можна скласти, щоб у всіх букетах троянд кожного кольору було порівну і всі троянди було використано?
4	Одна швачка може виконати замовлення за 4 год, а друга за 6 год. За який час вони виконають завдання працюючи разом?
5	Вкладник поклав до банку 5000грн. під 25% річних. Скільки грошей буде на його рахунку через рік?

ІІ. Актуалізація опорних знань та вмінь

Починаючи з п’ятого класу ви розв’язуєте прикладні задачі на відсотки. Вам знайомі такі задачі на відсотки:

знаходження відсотка від числа;
знаходження числа за його відсотком;
знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Сконструюємо математичні моделі цих задач за допомогою виразів:

знаходження від числа :
знаходження числа, якого дорівнює:
знаходження відсоткового відношення числа до числа :

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності

Задачі на відсотки найчастіше доводиться розв’язувати бухгалтерам, працівникам банків, але і кожному з нас потрібно уміти визначати найоптимальніші умови для вкладення своїх коштів.

З якою метою людина несе свої заощадження в банк? Звичайно ж, щоб забезпечити їх збереження, і найголовніше отримати доходи. І ось тут знання і уміння скласти попередній розрахунок відсотків по депозиту просто необхідний адже прогнозування відсотків по внесках або відсотків по кредитах відноситься до однієї з складових розумного управління своїми фінансами. Таке прогнозування добре здійснювати до підписання договорів і здійснення фінансових операцій.
Для нарахування відсотків по внесках (депозитам), та і кредитам теж, застосовуються :
- формула простих відсотків,

- формула складних відсотків.
IV Опрацювання навчального матеріалу

Задача №1.

Нехай вкладник поклав у банк 1000 грн, з умовою нарахування щомісяця 10% від внесеної суми. Яка сума буде на його рахунку через 3 місяці?

Нехай

- початковий капітал вкладника, тобто

Нараховуючи щомісяця по 10% від 1000 грн, тобто по 100грн, за 3 місяці банк нарахує

від 1000 грн., або 300 грн.. Через 3 місяці вкладник матиме на рахунку !000+300=1300 (грн..)

Розв’яжемо цю задачу в загальному вигляді, нехай початковий капітал

поклали в банк , з умовою нарахування щомісяця

від внесеної суми.

Я

ка сума буде на його рахунку через n місяців?

Н

араховуючи щомісяця по

від

грн., тобто по , за

ісяців банк нарахує від

грн., або . Через місяців

вкладник матиме на рахунку ,
отриману формулу називають формулою простих відсотків.
Запишемо розв’язання попередньої задачі використовуючи формулу:
Дано: Розв’язання:

Відповідь: 1300 грн.
Задача№2 .

Нехай вкладник поклав у банк 1000 грн. під 10% річних. Яка сума буде на його рахунку через 3 роки за умови, що вкладник протягом цього терміну не знімає гроші з рахунку?
Нехай

- початковий капітал вкладника, тобто

Позначимо через

кількість грошей на рахунку відповідно в кінці першого, другого і третього років.

У кінці першого року початковий капітал

зріс на 10%. Отже

становить 110% від початкового капіталу

.

У кінці другого року число

збільшилося на 10%. Отже

становить 110% від початкового капіталу

.

У кінці третього року число

збільшилося на 10%. Отже

становить 110% від початкового капіталу

.

Розв’яжемо цю задачу в загальному вигляді, нехай початковий капітал

поклали в банк під

річних. В кінці першого року початковий капітал збільшиться на

і дорівнюватиме

тобто збільшиться в

разів. У кінці другого року сума знову зросте в

разів і дорівнюватиме

.
Отже вкінці

-го року матимемо:

, отриману формулу називають формулою складних відсотків.
Запишемо розв’язання попередньої задачі використовуючи формулу:
Дано: Розв’язання:

Відповідь: 1331 грн.

ІV. Вироблення умінь і навичок у процесі розв’язування задач

№ 540

За несвоєчасну сплату боргу нараховують 3% пені за кожний день несплати. Яку суму доведеться заплатити через 10 днів після строку сплати 500 грн. боргу?

Дано: Розв’язання:

=10

Відповідь: 650 грн.
№ 542

Вкладник вніс до банку 2000 грн. під 11% річних. На скільки більше від внесеної суми він зможе одержати через 3 роки?

Дано: Розв’язання:

Відповідь: 1331 грн.
№ 545

Заробітна плата робітника двічі підвищувалась на одне й те ж число відсотків та із суми 800 грн. зросла до 1058 грн. На скільки відсотків підвищувалась заробітна плата щоразу?

Дано: Розв’язання:

Відповідь: 15%.

Самостійне завдання:

1) Клієнт поклав до банку 2200 грн. Скільки відсотків річних сплачує цей банк, якщо через рік клієнт отримав відсотки у розмірі 176 грн?

Відповідь: 8%.

2)Банк нараховує відсотки на ту суму, яка є на початок року. Який прибуток матиме клієнт через 4 роки, якщо він поклав до банку під 10% річних40 000 грн?

Відповідь: 18 564 грн..
V. Підсумки уроку

1) Які формули застосовуються для нарахування відсотків по внесках (депозитам), та і кредитам?

2) Яку з формул потрібно застосовувати, якщо банк нараховує відсотки на ту суму, яка є на початок року?

3) Які задачі на відсотки ви вмієте розв’язувати?

Отже складний відсоток передбачає нарахування відсотків не тільки на суму первинного внеску, але і на суму відсотків, накопичених до кінця кожного періоду. Це можливо тільки у разі реінвестування суми нарахованих відсотків, тобто приєднання їх до інвестованого капіталу. Техніка простого відсотку передбачає арифметичну залежність між сумою внеску, процентною ставкою і періодом накопичення. Отже простий відсоток нараховується тільки один раз в кінці терміну договору.
VІ. Домашнє завдання

П.18,№ 534, 541, 543.

Урок №3

1 2 3 4

Схожі:

ЛЕКЦІЯ 2 17 ЛЕКЦІЯ 31 ТЕМА 4 ОБҐРУНТУВАННЯ ГОСПОДАРСЬКИХ РІШЕНЬ ТА ОЦІНЮВАННЯ ЇХ ЕФЕКТИВНОСТІ 49 Вивчення дисципліни передбачає наявність знань з наступних дисциплін: «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Теорія статистики»,...	Принципи комп’ютерного проектування та моделювання РЕС Вміти виконувати основні технологічні операції проектування та моделювання. Розуміти роль проектування та моделювання в електронній...
УРОК №46 Тема уроку Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки	Урок 21 Тема уроку Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині
УРОК №35 Тема уроку Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними	УРОК 43 Тема уроку Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислення ймовірностей подій
УРОК №28 Тема уроку ...	УРОК 13 Тема уроку ...
Урок 1 Тема уроку Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе	Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання