УРОК №28 Тема уроку

Скачати 64.35 Kb.

Назва	УРОК №28 Тема уроку
Дата	26.10.2013
Розмір	64.35 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

Розділ ІІ. Подібність трикутників

УРОК № 28

Тема уроку. Подібність прямокутних трикутників. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику. Властивість бісектриси кута трикутника.

Мета уроку: установити співвідношення між елементами прямокутного трикутника та сформулювати властивість бісектриси трикутника; формувати вміння учнів використовувати їх під час розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Хід уроку

І. Організаційний момент
ІІ. Перевірка домашнього завдання

Учитель пропонує учням, які працювали над задачами достатнього та високого рівнів, підготувати відповіді на дошці. Інші учні відповідають на питання завдань середнього рівня. Потім учитель перевіряє відповіді учнів, які працювали біля дошки. Учитель звертає увагу учнів на те, що отримані результати використовуватимуться під час вивчення нового матеріалу. Записи залишаються на дошці.
ІІІ. Формулювання мети і задач уроку
IV. Актуалізація опорних знань учнів

Питання класу

Яке число називають середнім арифметичним двох чисел а і b?
Чому дорівнює середнє арифметичне чисел 12 і 8?
Яке число х називається середнім пропорційним чисел а і b?
Чому дорівнює середнє пропорційне чисел 9 і 36?
Сформулюйте ознаки подібності прямокутних трикутників.

V. Вивчення нового матеріалу; поглиблення отриманих знань учнів

Співвідношення між елементами прямокутного трикутника

Питання та завдання класу

Укажіть подібні трикутники на рис. 1.
Чому є подібними трикутники ADC і АСВ? трикутники АСВ і CDB?
Доведіть подібність трикутників ADC і CDB?
Запишіть відповідні пропорції.

;

.

З виділених рівностей одержимо: АС² = АВ · AD; CB² = AB · DB;

CD² = AD · DB.

За даними рис. 2 сформулюйте отримані рівності, використовуючи терміни: середнє пропорційне, катети, гіпотенуза, проекції катетів на гіпотенузу. Запишіть формулювання в зошити.

З наведених рівностей також одержуємо, що

.

Ц

ікаво буде розглянути й такий наслідок з отриманих результатів.

Нехай точка А (рис. 3) — довільна точка кола, описаного на діаметрі ВС. Сполучивши із цією точкою кінці діаметра, одержимо прямокутний трикутник ABC (

А = 90°). Нехай ADLBC. З отриманих вище співвідношень випливає, що перпендикуляр, опущений з будь-якої точки кола на діаметр, є середнім пропорційнім між відрізками, на які основа перпендикуляра ділить діаметр, а хорда — середнє пропорційне між діаметром і проекцією цієї хорди на діаметр.
Теорема Піфагора

Учитель підкреслює, що з отриманих вище співвідношень у прямокутному трикутнику випливає співвідношення між сторонами будь-якого прямокутного трикутника, яке називається теоремою Піфагора.

Теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Дійсно, якщо a² = ca_c, b² = cb_c і а_с + b_с = с (див. рис. 2), то, додавши перші дві рівності почленно, одержимо: а² + b² = с(а_с + b_с) = с².

а² + b² = с²

Використовуючи це співвідношення, можна, знаючи дві сторони прямокутного трикутника, знайти третю.

Зауваження. Теорема Піфагора за програмою вивчається в темі «Розв'язання прямокутних трикутників». Проте програмою не виключається її вивчення в темах «Подібність трикутників» або «Многокутники. Площі многокутників». У цьому випадку для вивчення цієї теми вчитель на свій розсуд може використати додатковий час із годин, відведених на повторення навчального матеріалу.
Властивість бісектриси кута трикутника

Д

оведемо, що бісектриса будь-якого кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні двом іншим сторонам.

Доведення

Нехай ABC (рис. 4) — даний трикутник, CD — бісектриса кута АСВ. Опустимо із точок В і A перпендикуляри на пряму CD: BE CD, AF CD. ∆ACF

∆BCE (

F =

E = 90°,

ACF =

BCE = =

ACB). Звідси

. ∆AFD

∆BED (

F =

E = = 90°,

ADF =

EDF як вертикальні). Звідси випливає, що. Отже,

;

що й треба було довести.
VI. Закріплення засвоєних навичок та вмінь учнів

Розв'язування задач

Задача 1. У трикутнику ABC

ABC = 90°, BD AC, BD = 24 см, AD : DC = = 9 : 16 (рис. 5). Знайдіть периметр трикутника ABC.

Розв’язання

Оскільки AD · DC = BD², то 9х · 16х = 24² (де х — коефіцієнт пропорційності, х > 0). Отже, 12х = 24, х = 2. Тоді AD = 9 · 2 = 18 (см). DC = = 2 · 16 = 32 (см). Отже, AC = AD + DC = 18 + 32 = 50 (см). АВ² = AD · AC = = 18 · 50, АВ =

= 2 · 3 · 5 = 30 (см) (АВ > 0). ВС² = DС · АС = = 32 · 50, ВС > 0, ВС =

= 2 · 4 · 5 = 40 (см); Р_ABC = 120 (см).

Відповідь: 120 см.

Задача 2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 12 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену з вершини прямого кута.

Розв'язання

Нехай ABC (рис. 6) — даний прямокутний трикутник,

АСВ = 90°, АС = 9 см, ВС = 12 см, CD AB. З отриманого співвідношення АВ² = АС² + ВС² = 9² + + 12² = 81 + 144 = 225, АВ > 0, АВ = 15 см. AB · AD = АС²; 15AD = 81; AD =

. АВ · BD = BC²; 15BD = 144; BD =

. CD² = AD · BD =

; CD > 0; CD = =

= 7,2 (см).

Відповідь: 7,2 см.

Задача 3. У трикутнику ABC (рис. 7) найбільша сторона АВ дорівнює 40 см. Бісектриса BD ділить сторону АС на відрізки завдовжки 15 см і 24 см. Знайдіть периметр трикутника ABC.

Розв'язання

Оскільки

, то AD > DC. Отже, AD = 24 cm, a DC = 15 cm. Звідси BC =

= 25 (cm); Р_∆авс = АВ + ВС + АС = 40 + 25 + 39 = 104 (cm).

Відповідь: 104 см.

Задача 4. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15 см і 20 см. Знайдіть довжини відрізків гіпотенузи, на які її ділить висота трикутника.

Розв'язання

Нехай трикутник ABC (рис. 8) — прямокутний,

ACB = 90°, CD — бісектриса кута АСВ, AD = 15 см, DB = 20 см;

. Нехай х — коефіцієнт пропорційності. Тоді АС = 3х, ВС = 4х. Тоді AB = = AD + DB = 35.

Використавши доведене співвідношення між катетами прямокутного трикутника, одержимо рівняння: 9х² + + 16х² = 35²; 25х² = 35²; х² =

; х = 7. Отже, АС = 21 см, ВС = = 28 см. Оскільки CM AB, АМ · АВ = АС², АМ · 35 = 21², ВМ · 35 = 28². Звідси AM = 12,6 см, ВМ = 22,4 см.

Відповідь: 12,6 см, 22,4 см.
VII. Підбиття підсумків уроку

Учитель просить повторити отримані висновки, що було отримано; відзначає самостійну роботу тих учнів, які одержали середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику.
VIII. Домашнє завдання

Повторити весь теоретичний матеріал даного та попереднього уроків; розв'язати задачі.

С 1. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки, які дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть катети трикутника.

Д 2. Знайдіть висоту і бічну сторону рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 5 см і 13 см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін.

В 3. Коло, вписане в рівнобічну трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 18 см. Знайдіть радіус кола й основи трапеції.

Т.Л.Корнієнко, В.І.Фіготіна Геометрія 8 клас Урок № 28

Схожі:

Урок 21 Тема уроку Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині	УРОК №46 Тема уроку Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними	УРОК 43 Тема уроку Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислення ймовірностей подій
УРОК 13 Тема уроку ...	Урок 1 Тема уроку Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе
Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів	УРОК 33 Тема уроку Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості
Уроку: Урок Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)	УРОК 4 Тема уроку Мета уроку: Познайомити учнів з поняттям неперервності функції в точці та на проміжку

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання