УРОК 13 Тема уроку

2) · = ·· соs (α – β) = 1·1соs (α – β) = соs (α – β).

Звідси маємо, що

соs (α – β) = соs α · соs β + sіn α · sіn β. (1)

Користуючись одержаною формулою, можна одержати інші формули:

соs (α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β; (2)

sіn (α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β; (3)

sіn (α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β; (4)

(5)

(6)

Змінивши в формулі (1) β на –β і врахувавши, що соs(-β) = соs β, sіn(-β) = -sіnβ, одержимо

соs(α + β) = соs(α - (-β)) = соsα · соs(-β) + sіnα · sіn(-β) = соsα · соsβ – sіnα · sіnβ;

= sinα · cosβ + cosα · sinβ.

Таким чином,

sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β

Змінивши в останній формулі β на – β одержимо:

sin(α - β) = sіn α · соs(-β) + соs α · sіn(-β)

Звідси sіn(α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β

Виведемо формулу тангенса суми чисел:

.

Отже

Змінивши β на – β, одержимо

Виконання вправ ____________________

1. Знайдіть значення виразів:

а) соs 42° соs 18° – sіn 42°sіn 18°; б) ;

в) sіn 56° соs 34° + соs 56° sіn 34°; г) ;

д) ; є) .

2. Спростіть вирази:

а) sіn(α + β) – sіn α · соs β; б) ;

в) .

Відповідь: а) соs α · sіn β; б) sіn 2α;

в) .

3. Обчисліть: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sіn ..

Відповідь: а) ; б) tg15° = tg (45° - 30°) = 2 - ; в) 2 - ; г) .

III. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій подвійного аргументу.

Демонструється таблиця “Тригонометричні функції подвійного аргументу” (табл. 6).

Таблиця 6

Тригонометричні функції подвійного аргументу sіn 2α = 2sіn α соs α соз 2α = соs2 α - sіn2 α

Коментарі вчителя

Виведемо формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2α через функції аргументу α.

Скористаємося формулою sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β.

Вважаючи β = α, маємо:

sіn 2α = 2sіn α · соs α.

Аналогічно із формули соs(α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β при α = β одержуємо:

соs 2α = соs² α – sin² α.

Із формули при β = α, маємо: .

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) 2sin15° соs15°; б) соs²15° – sіn²15°; в) ; г) (соs 75° – sіn 75°).

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Обчисліть sіn 2α, якщо а) sin α = ; < α < π; б) соs α = ; π < α < .

Відповідь: а) ; б) .

3. Спростіть:

а) sіn α соs α; б) соs α · соs ; в) 2соs²3α – 1;

г) 1 – 2sin² 5α; д) соs 4α + sіn² 2α; є) sіn 2α + (sin α – соs α)².

Відповідь: а) sin2α; б) sіn2α; в) соs 6α; г) соs 10α; д) соs²α; є) 1.

4. Доведіть тотожності:

а) 2соs² α – соs 2α = 1; б) ;

в) ; г) .

IV. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій половинного аргументу.

За відомими значеннями тригонометричних функцій аргументу а можна знайти значення тригонометричних функцій аргументу якщо відомо, у якій чверті лежить кут α.

Із формули соs 2x = соs²х - sіn²x при х = , одержуємо:

соs α = соs² – sіn² . (1)

Запишемо основну тригонометричну тотожність у вигляді:

1 = соs²+ sin². (2)

Складаючи почленно рівності (2) і (1) й віднімаючи почленно із рівності (2) рівність (1), одержуємо:

1+ соs α = 2соs² ; (3)

1 – соs α = 2sіn² . (4)

Формули (3) і (4) можна записати так:

(5)

(6)

Формули (5) і (6) називають формулами синуса і косинуса половинного аргументу. Ці формули називають також форму­лами зниження степеня.
Виконання вправ

1. Знайдіть числові значення виразу:

а) 2соs² – 1; б) 1 – 2sin² ; в) + 2sіn²15°; г) - + 2соs²15°. Відповідь: а) ; б) ; в) 1; г) 1.

2. Нехай соs α = 0,6 і 0 < α < . Обчисліть: а) sin ; б) соs ; в) tg .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

3. Обчисліть: а) sіn 15°; б) соs 15°; в) tg 22°30'.

Відповідь: а) ; б) ; в) .

4. Спростіть:

а) ; б) .

Відповідь: а) 2соs α; б) tg α.

5. Доведіть тотожності:

а) ; б) ; в) .
V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ І § 10 (1; 3; 4). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 63—65, 67, 68. Вправа: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Розгля­нути приклади 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стор. 77-82.

Роганін Алгебра 10 клас, Урок 13