ЗАСТОСУВАННЯ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ НЕСТАНДАРТНИХ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ Гунько Любов Іванівна

Скачати 287.12 Kb.

Назва	ЗАСТОСУВАННЯ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ НЕСТАНДАРТНИХ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ Гунько Любов Іванівна
Сторінка	5/5
Дата	26.10.2013
Розмір	287.12 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5

Розділ 3. Застосування монотонності до доведення нерівностей

При доведенні нерівностей треба:

а) визначити інтервали монотонності функцій;

б) знайти точки екстремуму функції.

Завдання 21. Нехай х, а, b – додатні числа

Довести , що +

Розв’язання.

При фіксованих дослідимо на монотонність функцію

ƒ(х) = + , х0.

(х) = – ;

(х) = 0 при – = 0 при = ;

Якщо 0х, то (х)0;

Якщо х, то (х)0. Отже, функція ƒ(х) = + спадає на (0;] і зростає на [;). У точці функція набуває найменшого значення і при всіх х0.

ƒ(х) ƒ() = + = + = .

Якщо числа та b сумарні (Q), то дану нерівність можна вивести із

співвідношення між середнім арифметичним і геометричним.

Завдання 22. Нехай х1. Довести, що нерівність 2хх + 1

Розв’язання.

Дослідимо на монотонність функцію ƒ(х) = 2хх + 1 – , х1.

Знайдемо (х), (х) =2(х + 1 – х).

Визначимо знак виразу g(х) = х + 1 – х, х1.

g(1) = 0, дослідимо на монотонність функцію g. Оскільки(х) = – 10 для всіх х1, то g(х) спадає на [1;). Звідси g(х) g(1) = 0. Тому (х) = 2 g(х)0

при х1 і ƒ(х) також спадає на [1;). Отже, ƒ(х) ƒ(1) = 0 при х1.

Завдання 23. Довести нерівності:

а), де х0; (3.1)

б), де ХєR, Х0. (3.2)

Доведення.

Для доведення розглянемо функції

ƒ(х) = , де х0;

g(х) = , де ХєR.

(х) = - 1 + , (х) = - + х.

(х)0 при х0. Тому (х) зростає на [0;). Звідси (х)(0) = 0. Отже,

функція ƒ зростає і ƒ(х) ƒ(0) = 0 при х0. Нерівність (3.1) доведено.

Для доведення нерівності (3.2) скористаємось, що g(х) – парна функція і

(х) = ƒ(х) 0, при х0, а g(0) = 0.

Завдання 23. Довести, що коли хЄ(0;)

(3.3)

Доведення.

Згідно з нерівністю (3.1) при х0 маємо .

Враховуючи співвідношення (3.2) робимо висновок, що для доведення

нерівності (3.3) достатньо довести справедливість нерівності

1 - , де хЄ(0;). Остання нерівність рівносильна

співвідношенню = 9, х3. При х це, звичайно виконується.

Висновок та пропозиції:

Метод монотонності дозволяє обґрунтувати на свідомому рівні розв’язування багатьох рівнянь, нерівностей, доведення нерівностей, але і має практичне значення даної теми в шкільному курсі.

Практичне значення дослідження: результати дослідження корисні учням для розвитку їх креативних здібностей. Під час розв’язання нестандартних вправ учні проявляють винахідливість, логічну гнучкість. А також потрібні результати для поглибленого вивчення теоретичного матеріалу, для підготовки до ЗНО в ході комплексного повторення курсу алгебри. А учителям шкіл необхідні для організації повторення, для вивчення даної теми на підготовчих курсах.

Список використаної літератури:

1.А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Алгебра і початки аналізу. Профільний рівень. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, “ Гімназія ”, 2010. - С.40-42.

2. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Алгебра і початки аналізу. Профільний рівень. Підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, “ Гімназія ”, 2011. - С.70-72.

3.П. І. Горнштейн, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Задачі з параметрами. Тернопіль , “ Підручники і посібники ”, 2004. - С.187-189.

4.О. Кукуш. Монотонні послідовності і функції: Навчальний методичний посібник. г. “ Математика ”, №25-26, 2007. - С.42-48, 82-83.

5.А. Єгоров, Ж. Раббот. Монотонні функції в конкурсних задачах [текст]: журнал “ Квант ”,2002. - №6. - С.34.

6.А. С. Истер. Решебник основных конкурсных задач по математике из сборника под редакцией М. И. Сканави. К. “ А. С. К. ”2002 - С.79.

7.Л. В. Лобанова, Л. П. Фінкельштейн. Вибрані задачі елементарної математики. Київ, “ Вища школа ”, 1989. - С.5.

1 2 3 4 5

Схожі:

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь Мета: Повторити властивості тригонометричних функцій та загальні розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь, розвивати вміння...	Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач Комп’ютерний... Функціональний метод розв`язування рівнянь, нерівностей і задач. Навчальний посібник для вчителів та учнів 8-10 класів як загальноосвітніх...
Тема уроку: Застосування похідної до розв’язування прикладних задач Навчальна мета уроку Навчальна мета уроку: Формувати в учнів вміння знаходити найбільше і найменше значення функції при розв’язуванні різних типів прикладних...	Правила виконання відсоткових розрахунків Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Застосування...
Урок 1 Тема: Рівняння з двома змінними Завдання уроку: Навчитись розрізняти рівняння з двома змінними, вивчити означення лінійного рівняння з двома змінними, розв’язків...	Урок №33 Тема. Функція у = х Мета: домогтися засвоєння учнями властивостей функції у = х2 та виду і властивостей її графіка та способу застосування графіка функції...
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...	УРОК 17 Тема уроку ...
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення...	Тема: Розв’язування задач за допомогою рівнянь Мета: Розширити знання учнів про практичне застосування рівнянь, зокрема до розв’язання задач. Вдосконалити навики встановлення залежностей...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання