ЗАСТОСУВАННЯ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ НЕСТАНДАРТНИХ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ Гунько Любов Іванівна

Скачати 287.12 Kb.

Назва	ЗАСТОСУВАННЯ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ НЕСТАНДАРТНИХ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ Гунько Любов Іванівна
Сторінка	1/5
Дата	26.10.2013
Розмір	287.12 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5

ЗАСТОСУВАННЯ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ НЕСТАНДАРТНИХ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ

Гунько Любов Іванівна

Учитель-методист

Чернігівської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №21

Чернігівської міської ради

Чернігівської області

Чернігів-2012

Зміст

Вступ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Розділ 1. Поняття монотонності. Властивості монотонних функцій. . . . . . . . . .4

Розділ 2. Застосування поняття монотонності до розв’язування рівнянь

і нерівностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Розділ 3. Застосування поняття монотонності до доведення нерівностей. . . …15

Висновок та пропозиції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Список використаної літератури. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 18

Вступ

Монотонні функції широко використовуються у теорії міри і теорії ймовірностей, при доведенні нерівностей, їх розв’язуванні, розв’язуванні рівнянь.

В підручниках з математики базового рівня дана тема розкрита недостатньо, а в деяких носить лише допоміжний характер, хоча розв’язання більшості рівнянь та нерівностей можна обґрунтувати монотонністю функцій, які входять в них.

В роботі висвітлено теорію монотонності функцій, теорема про корінь, а також показано практичне застосування монотонності функції при розв’язуванні нестандартних рівнянь, нерівностей та доведенні нерівностей.

Вибір теми на сьогодні, є актуальним. Бо монотонність функції є потужним інструментом проникнення математичних методів у різні сфери людської діяльності. Адже за допомогою властивості монотонності функцій можна описати різні процеси, явища, що досліджуються у науці, техніці та на практиці.

Мета роботи: необхідність та можливість застосування методу монотонності функцій при розв’язуванні нестандартних рівнянь, нерівностей та доведенні нерівностей.

Творча робота складається зі вступу; 3-ох розділів; 2-х рисунків; висновку та пропозицій; списку використаної літератури.

У вступі обґрунтовано вибір теми , її актуальність на сучасному етапі розвитку освіти.

В першому розділі “ Поняття монотонності. Властивості монотонності” дається пояснення слова “монотонність” , означення зростаючої та спадної функцій, висвітлено властивості монотонних функцій.

В другому розділі “ Застосування поняття монотонності до розв’язування рівнянь, нерівностей” показано групу рівнянь, нерівностей, які містять монотонні функції та їх практичне розв’язання.

В третьому розділі “Застосування поняття монотонності функцій при доведенні нерівностей” подано несподівані застосування монотонності до доведення нерівностей.

У висновку відмічено, що метод монотонності дозволяє обґрунтувати на свідомому рівні розв’язання багатьох рівнянь, нерівностей, що підкреслює не тільки необхідність, але і практичне значення даної теми в шкільному курсі. Адже результати дослідження корисні учням старших класів для поглиблення теоретичного матеріалу, для підготовки до ЗНО в ході комплексного повторення курсу алгебри, а також учителям для організації повторення.

Розділ 1. Поняття монотонності. Властивості монотонних функцій

Монотонні функції широко використовуються у теорії міри і теорії ймовірностей, при розв’язуванні нестандартних рівнянь , нерівностей, а також доведенні нерівностей.

Саме слово “монотонність” утворено з двох грецьких слів у перекладі , які означають: один, єдиний і натяг, напруга. Буквальне значення терміну – однотонність. У 1881 році цей термін ввів видатний фізик і математик Карл Готфрід Нейман (1832-1925), який застосував його спочатку до монотонних числових послідовностей. Ще раніше, у 1837 році, поняття монотонності строго визначив видатний німецький математик Петер Густав Ленсен Діріхле (1805-1859); досліджуючи розклади функцій у тригонометричні ряди.

Означення: функція y=ƒ(х) називається монотонно зростаючою (спадною) на деякому проміжку, якщо для будь-яких і із цього проміжку і нерівності < випливає нерівність ƒ()<�ƒ() (відповідно ƒ()>ƒ()).

Властивості монотонних функцій:

Властивість 1. Сума зростаючих (спадних) функцій є зростаючою (спадною) функцією на їх спільній області визначення.

Властивість 2. Добуток двох зростаючих (спадних) функцій, які набувають тільки невід’ємних значень, є зростаючою функцією.

Властивість 3. Добуток двох спадних функцій, які набувають тільки додатних значень, є спадною функцією.

Властивість 4. Різниця зростаючої і спадної (спадної і зростаючої) функцій , є функцією зростаючою (спадною) на їх спільній області визначення.

Властивість 5. Якщо функція у=ƒ(х) – зростаюча і набуває тільки додатних значень, то функція у= - спадна.

Властивість 6. Якщо функції у=ƒ(х); у=g(х) – обидві зростаючі або обидві спадні, то функція у=ƒ(g(х)) – зростаюча. Якщо одна із функцій у=ƒ(х) і у=g(х) – зростаюча, а друга спадна, то функція у=ƒ(g(x)) – спадна.

Зауваження. Різниця двох зростаючих функцій може і не бути зростаючою. Наприклад, різниця функції у= х і у= 2х – є функція у= -х – спадна. Різниця функцій у= і у= х не є ні спадною, ні зростаючою на всій області визначення.

Розділ 2. Застосування поняття монотонності до розв’зування рівнянь, нерівностей

Теорема 1 (про корінь). Нехай функція у=ƒ(х) зростає (спадає) на проміжку І, число а – будь-яке із значень, яких набуває функція на цьому проміжку. Тоді рівняння ƒ(х)=а має єдиний корінь на цьому проміжку .

У

2

1

У =

У= ƒ(х)

1 2 Х

«рис. 2.1»

Завдання 1. Розв’язати рівняння: + х = 10.

Розв’язання.

Ліва частина у = + х даного рівняння – зростаюча функція на всій числовій прямій. Відповідно, рівняння (1) має не більше одного кореня, який легко вгадати. При х = 2 ліва частина рівна правій.

Відповідь: х = 2.

Завдання 2. Розв’язати рівняння: ++=.

Розв’язання.

Знайдемо область допустимих значень змінної даного рівняння:

х1;
– 2х + 30; х Є;= 4 12 = 80;

х – 1 0; х 1; a=10,вітки параболи вгору

, нулів не має.

При цих значеннях квадратний тричлен – 2х + 3 – зростає (вершина параболи – графіка квадратного тричлена має абсцису х=1). Тоді ліва частина рівняння є зростаючою функцією, як сума трьох зростаючих функцій на проміжку [1;). За теоремою 1 рівняння має не більше одного кореня. Підставимо х=2 в дане рівняння, отримаємо

+ + = ;

+ 1 1 = - вірна числова рівність при х=2.

Відповідь: х=2.

Завдання 3. Розв’язати рівняння: + = 2.

Розв’язання.

= 2 – ; = ; ОДЗ: х 0.

Функція ƒ(х) = - зростаюча на проміжку [0;), а g(х) = - спадна на проміжку [0;). Легко бачити, що х=1 – корінь рівняння. Інших коренів немає.

Відповідь: х=1.

Завдання 4. Розв’язати рівняння: х +2= – .

Розв’язання.

Права частина даного рівняння ƒ(х) = – - функція спадна на всій області визначення:

Х

х1, тобто при всіх х1.
+70; х-7;

Х-10; х1;

– = =

Дріб, у якого чисельник постійний, а знаменник зростає, спадає.

При х1 квадратний тричлен х +2 зростає, так, як вершина параболи має абсцису х=0,5, вітки параболи напрямлені вгору. Дане рівняння має не більше одного кореня. При х=2 рівність виконується.

Відповідь: х=2.

1 2 3 4 5

Схожі:

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь Мета: Повторити властивості тригонометричних функцій та загальні розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь, розвивати вміння...	Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач Комп’ютерний... Функціональний метод розв`язування рівнянь, нерівностей і задач. Навчальний посібник для вчителів та учнів 8-10 класів як загальноосвітніх...
Тема уроку: Застосування похідної до розв’язування прикладних задач Навчальна мета уроку Навчальна мета уроку: Формувати в учнів вміння знаходити найбільше і найменше значення функції при розв’язуванні різних типів прикладних...	Правила виконання відсоткових розрахунків Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Застосування...
Урок 1 Тема: Рівняння з двома змінними Завдання уроку: Навчитись розрізняти рівняння з двома змінними, вивчити означення лінійного рівняння з двома змінними, розв’язків...	Урок №33 Тема. Функція у = х Мета: домогтися засвоєння учнями властивостей функції у = х2 та виду і властивостей її графіка та способу застосування графіка функції...
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...	УРОК 17 Тема уроку ...
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення...	Тема: Розв’язування задач за допомогою рівнянь Мета: Розширити знання учнів про практичне застосування рівнянь, зокрема до розв’язання задач. Вдосконалити навики встановлення залежностей...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання