Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач Комп’ютерний набір С. О. Побережнюк

Скачати 321.78 Kb.

Назва	Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач Комп’ютерний набір С. О. Побережнюк
Сторінка	1/2
Дата	25.03.2013
Розмір	321.78 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2

Білогірський районний методичний кабінет

Микласька ЗОШ І-ІІ ступенів

М.Я.Дашкевич

Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач

Комп’ютерний набір

С. О. Побережнюк

с. Миклаші

2012 р.

Схвалено радою Білогірського районного методичного кабінету

(Протокол №2 від 14.03 2012 року)

М . Я. Дашкевич

Функціональний метод розв`язування рівнянь, нерівностей і задач. Навчальний посібник для вчителів та учнів 8-10 класів як загальноосвітніх так і для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.

У посібнику вміщено теоретичні основи та приклади розв`язування рівнянь, нерівностей і задач функціональним методом, тобто використанням відомих учням властивостей функцій для визначення кількості розв`язків та їх знаходження більш раціональним методом ніж методи рівносильних тотожних перетворень, розкладання на множники, заміни змінних та інших, а також систематизовано відповідні прийоми та алгоритми, проаналізовано переваги і межі застосування.

Посібник може бути корисним вчителям математики та учням шкіл при підготовці до олімпіад різних рівнів.

Рецензент: Пастернак О. І.

Комп’ютерний набір : Побережнюк С .О.

Зміст

Вступ…………………………………………………..…...…..……5.

Розділ І

1.1. Загальні відомості……………………… ……………6.

1.2.Про математику змінних величин…………….…..….7.

1.3.Властивості функцій як основа функціонального методу……… .7.

Розділ ІІ

2.1.Розв’язування рівнянь і нерівностей функціональним методом.. 10.

2.2.Розв’язування задач на екстремум…… ......................16.

2.3 Додаток 23

Висновки……………………………………...… …………….....21.

Список використаних джерел……………………….………....23.

Перелік умовних позначень, символів, скорочень і термінів

D(y) або D(f)– область визначення функції
E(y) – множина значень функції
АВ – переріз множини (їх спільна частина)

8. ОДЗ – область допустимих значень рівняння

9. maxf(x) – максимум функції на проміжку М

М

10. minf(x) – мінімум функції на проміжку М

М

11. А

– об’єднання множин А і В, сукупність елементів

відсутністьрозв’язків

– множина, що складається з елементів 1;3

- не належить

- що її потрібно було довести

- знак системи рівнянь або нерівностей

Вступ

Вивчення у 9 класі властивостей функцій та аналіз прикладів їх використання при розв’язуванні рівнянь і нерівностей різних типів, детальне вивчення властивостей квадратичної функції наштовхнуло на думку зібрати і систематизувати матеріал, що стосується застосовування функціонального методу розв’язування задач, рівнянь і нерівностей. Надто цей метод виділяється з використовуваних нами раніше прийомів ланцюжкових тотожних перетворень рівнянь, розкладання на множники, заміни змінних своєю логічною завершеністю, зручністю у використанні. А в підручнику матеріал окремо не виділений, розкиданий по пунктах і параграфах,відсутній сам термін «функціональний метод»,окремі властивості функцій описані без показу прикладів їх використання.

Мета роботи :

1.Систематизація властивостей відомих функцій, які найчастіше використовуються при розв’язувані рівнянь і нерівностей,задач геометричного змісту.

2.Показ на конкретних прикладах, як саме можна розв’язати рівняння, нерівність або задачу, використовуючи ту чи іншу властивість функцій,складання алгоритмів їх розв`язування.

3.Показати зв’язок властивостей квадратичної функції з методами розв`язування геометричних задач на максимум і мінімум.

4.Виділити типи рівнянь, які можна розв`язувати запропонованим методом.

Розділ І

Загальні відомості

1.1.Характеристика джерел та огляд літератури.

Дана тема висвітлюється в підручнику Алгебра 9, проте неповно і безсистемно. В підручнику для класів з поглибленим вивченням математики А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір «Гімназія»2010

описано загальні теоретичні положення, наведено приклади функцій і їх властивості, достатньо прикладів і вправ на застосування властивостей функцій. Проте тема функціонального методу не виділена окремо, відсутній сам термін, матеріал розкиданий по восьми пунктах двох параграфів, відсутні задачі на максимум і мінімум, оглядово подано застосування властивостей функцій до розв’язування нерівностей.

У посібнику Федак В.І. Розв’язування рівнянь. Доведення нерівностей. Тернопіль. 1997р. автор наводить ряд цікавих прикладів, проте не акцентує увагу, які саме властивості функцій використовуються, термін «функціональний метод» теж відсутній.

Завало С.Т. Рівняння і нерівності. Київ. 1973. У розв’язаних зразках наголосу на використанні властивостей певних функцій не робиться, більшість з них розв’язані традиційними методами. Проте, як і в цьому посібнику, так і Тадеєва В.О. Побудова графіків функцій. Тернопіль. 2003р. показано використання графіків функцій при дослідженні кількості розв’язків та при розв’язуванні рівнянь і нерівностей.

Проте графічний метод є лише частиною загального функціонального методу, суть і застосування якого викладена вище.

Вперше термін «функціональний метод» без визначення застосований Брусило 3.0.

Вразила також красота і доцільність розв’язування задач геометричного змісту з використанням властивостей функції у статті Бегерської А.В. (журнал «Математика в школах України» №30 2011 рік « Задачі оптимізації») [8]

1.2.Про математику змінних величин

Лише у ХVІІ столітті після фундаментальних відкриттів Галілея і Ньютона мова нового дослідного природознавства суттєво збагатилась за рахунок математики змінних величин, основним математичним поняттям якої стало поняття функції. Про роль поняття функції Ньютон писав: «Я не зміг би отримати багатьох своїх фундаментальних результатів, якби не відмовився від безпосереднього розгляду самих тіл і не звів усе до дослідження функції» [3].

Водночас поняття функції має важливе застосування і в самій математиці – через метод координат, відкритий французькими вченими Рене Декартом і П’єром Ферма.

Урешті – решт дослідження функції стало розглядатись як основне завдання математики. І найвидатніший математик ХVІІІ століття Леонард Ейлер писав «Уся нова математика обертається навколо змінних та їх функції» [3]

1.3.Властивості функції як основа функціонального методу

Властивості функції, які доцільно використовувати при розв’язування задач, рівнянь і нерівностей викладу у формі системи тверджень, які і будуть теоретичною основою функціонального методу, і далі, при розв’язуванні вправ, посилатимемось на номер відповідного твердження (властивості функцій).

Т.1 Якщо функцію y=f(x) можна подати у вигляді добутку деяких інших функцій:f(x)=f₁(x)₁∙f₂(x), то рівняння f(x)=0⇔

Т.2. Рівняння - це рівність функції або їх сум. Розв’язком рівняння є абсциси точок перетину графіків функції .

Т.3. Сума кількох невід’ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю.

Т.4. Якщо в рівнянні f(x)=а функція f(x)- зростає (спадає)на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Т.5.Якщо одна з функції f або q є зростаюча на множині D(f) ∩ D(q), а інша – спадною на цій множині, то рівняння f(x)=q(x) має не більше одного кореня [1].

Т.6. Якщо функція f є зростаюча, то рівняння f(f(x))=x⇔f(x)=x [1]

Т.7. Якщо для будь-яких х

D(f)∩D(q) f(x)≤A₁ ,аq(x) ≥А₁ то

f(x)=q(x)⇔

[1]

Т.8. ОДЗ (f(x)=q(x)) = D(f)∩D(q).

Т.9. Якщо ОДЗ (f(x)=q(x)) складається з скінченого числа значень, то для розв’язання рівняння досить перевірити всі ці значення .

Т.10. Якщо E(x)=[a;b] і f(x) зростаюча , то a≤f(x)≤b.

Т.11. Якщо f(x) – монотонна на множині М функція(зростаюча або спадна), то f(q(x))=f(h(x))⇔

Т.12. Якщо функція y=f(x) – зростаюча, то у=

(обернена) спадна, спадною і є функція -f(x) .

Т.13 Нулі парної функції симетричні відносно початку координат.

Т.14 Квадратний тричлен ax²+bx+c має найменше (а

чи найбільше (а

значення

при х=-

.

При розв’язуванні задач на максимум і мінімум часто використовуються такі додаткові твердження:

Т.15.

(нерівність Коші)

Т.16. Для наборів чисел (a₁,a₂,∙∙∙,a_n),(b₁,b₂,∙∙∙,b_n)справджується нерівність (a₁b₁+a₂b₂+∙∙∙+a_nb_n)²

(a₁²+a₂² +∙∙∙+а_n²)(b₁²+b₂²+∙∙∙+b_n²) (нерівність Коші –Буняковського).

Т.17 Функція Z=

(P›0) приx

0 має minпри x₀=

і тільки при цьому значення x₀ [8]

Твердження (1-14) становлять теоретичну базу функціонального методу. Нижче буде показано, як їх використовувати у кожному конкретному випадку. Твердження (15-17) використовуються при розв’язуванні нерівностей та задач на максимум та мінімум.

Розділ ІІ.

2.1.Розв’язання рівнянь і нерівностей функціональним методом

Показуємо, як працює функціональний метод на прикладах розв’язування конкретних рівнянь, нерівностей і задач з посиланням на номер твердження (див.1.3)

2.1.1.Застосування скінченної ОДЗ рівняння (T8;T9)

Розв’яжіть рівняння

Розв’язання: ОДЗ

Перевіряємо, чи є числа 1 і 3 коренями даного рівняння

X=1,

- корінь рівняння

X=3, 0

6+2

не є коренем рівняння

Відповідь: х=1.

Спроба розв’язати дане рівняння традиційним шляхом тотожних перетворень виявилася надто громіздкою.

2.1.2. За оцінкою множини значень ліво ї і правої частини рівняння(Т.7)

Розв’язати рівняння

x²-6x+1

Розв’язання:

Дане рівняння видуf(x)=q(x). Оцінимо значення f(x)=

; iq(x)=x²-6x+1.

ОДЗ: x

[2;4].

Маємо:q(x)=x²-6x+9+2=(x-3)²+2≥2.

f(x): для наборів (

) i (1;1) застосовуємо нерівність Коші - Буняковського (Т.16)

f(x)²=(

)²=(

)²

((

)²+(

)²)*

*(1²+1²)=(x-2+4-x)*2=4, f(x)²

f(x)

2

Отже за(T.7) дане рівняння рівносильне системі.( т7)

Корінь x=3 другого рівняння також є коренем першого рівняння

Відповідь: x=3.

2.1.3. Використання властивостей суми кількох невід’ємних функцій (Т.3)

Розв’яжіть рівняння: |x²-5x+6|+|x²-9|+|9-3x|=0

Розв’язання: так як |x²-5x+6|≥0,|x²-9|≥0; і |9-3x|≥0, то задане рівняння рівносильне системі:

⟺

⟺x=3.

Відповідь: х=3.

2.1.4. Використання монотонності функції (Т.4)

Розв’яжіть рівняння 2x⁷+x⁵+x=4

Розв’язання: дане рівняння виду f(x)=a, де f(x) зростаюча функція як сума зростаючих функцій. Отже, дане рівняння має згідно (Т.4) один корінь.

Неважко помітити, що це буде число 1.

Відповідь: х=1.

2.1.5. Використання монотонності функцій (Т.5)

Розв’яжіть рівняння x²+

+15

Розв’язання: дане рівняння виду f(x)=q(x), причому f(x) – зростаюча функція, q(x) – спадна. Отже, дане рівняння має один корінь. Неважко його підібрати. x=4

Відповідь: х= 4.

2.1.6. Використання властивостей зростаючої функції (Т.6)

Розв’язати: рівняння

=x

Розв’язання: якщо розглядати функцію f(x)=

, то дане рівняння можна подати у вигляді f(f(x))=x, причому функціяf(x) - зростаюча. Згідно (Т.6) дане рівняння рівносильне рівнянню f(x)=x

⟺

ОДЗ: [0 ;∞)

6+x=x², x²-x-6=0,x₁=3 x₂=-2 (За теоремою Вієта)

х₂=-2

D(x).

Відповідь: х=3.

2.1.7 Властивості парної функції (Т.13)

При яких значеннях параметра а рівняння 2ax⁴+|x|+x²=a²-1 має єдиний корінь?

Розв’язання: розглянемо функцію f(x)=2ax⁴+|x|+x²-a²+1.

Вона є парною, так як f(x)=f(-x). Тому, коли рівняння f(x)=0 має корінь x₀, то воно також має корінь –х₀. Оскільки дане рівняння повинно мати один корінь, то x₀=-x₀=0. Необхідно, щоб x=0 було коренем даного рівняння.

Підставимо x=0 у рівняння f(x)=0. Тоді a^2_1=0. Отже,a=

і x=0 є корінь рівняння. Перевіримо чи він єдиний при a=±1.

1) а=1, 2x⁴+|x|+x²=0. Згідно (Т.3), коли 2х⁴

0, |х|

то це рівняння має єдиний корінь х=0.

2) ) а=-1, -2x⁴+|x|+x²=0. Це рівняння крім x=0, має і інші корені, наприклад x=1. Отже, a=-1 не підходить.

Відповідь: при a=1 рівняння має один корінь x=0.

1 2

Схожі:

Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...	Тема уроку: Розв’язування тригонометричних рівнянь Навчальна: ознайомити учнів з іншими способами розв'язування тригонометричних рівнянь; навчити раціонально вибирати метод їх розв'язування;...
1. Повторення з курсу алгебри 7 Комп’ютерний набір: Побережнюк С. О., Юзвик Олена, Наголюк Роман, Кирилюк Оксана, Бідюк Олександр	Правила виконання відсоткових розрахунків Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Застосування...
Урок №9 Тема. Розв'язування задач за допомогою рівнянь Мета: розширити знання про види задач, що розв'язуються складанням рівнянь, розширити спектр умінь щодо складання математичної моделі...	Тема. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ Заняття 1 Розв'язування рівнянь виду (х+а)(х+b)(х+с)(х+d) = А за умови, що а + b = с + d, або а + с = b + d, або а + d = b + с, де А Розв'язування...
Урок №105 Тема. Розв'язування задач за допомогою рівнянь Раціональні числа і дії над ними Тема Рівняння. Розв’язування рівнянь з однією змінною	Тема: Розв’язування задач за допомогою рівнянь Мета: Розширити знання учнів про практичне застосування рівнянь, зокрема до розв’язання задач. Вдосконалити навики встановлення залежностей...
Урок №63 Тема Тема. Підсумковий урок з теми «Квадратний тричлен. Розв'язування рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь та їх використання для...	УРОК 58 Тема уроку: Розв'язування логарифмічних рівнянь Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного;...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання