1. Історія діофантових рівнянь


Скачати 395.15 Kb.
Назва 1. Історія діофантових рівнянь
Сторінка 4/5
Дата 24.10.2013
Розмір 395.15 Kb.
Тип Документи
bibl.com.ua > Математика > Документи
1   2   3   4   5

Приклад 4. Знайти частинний розв’язок рівняння

Розв’язання

Шукаємо частинний розв’язок рівняння з прикладу 3.







Відповідь:
Використання ланцюгових дробів



  1. Знаходимо передостанній підхідний дріб .

  2. Знаходимо різницю:

  3. Помножимо ліву і праву частини рівності на с: .

  4. Порівнюємо одержану рівність з рівнянням і визначаємо .


Приклад 5. Знайти частинний розв’язок рівняння .

Розв’язання

,













43

15










30

2







15

13










13

1







13

2










12

6







2

1










2

2










0


















п




0

1

2

3






2

1

6

2



1

2

3

20

43



0

1

1

7

15

Передостанній підхідний дріб:

,





Відповідь:

Діофантові рівняння вищих степенів

Діофантовим рівнянням вищих степенів називається діофантове рівняння степінь якого не менший другого.

Під час розв’язування таких рівнянь є корисними такі факти.

І. Розв’язки рівняння можна знайти, якщо виразити одну змінну через іншу і дослідити, для яких значень другої змінної перша змінна набуває цілих значень.
Приклад 1. Розв’язати в натуральних числах рівняння .

Розв’язання



Виразимо у через х:





Оскільки у та х – натуральні числа, то вираз має бути натуральним числом, а - дільником числа 8. Отже, або , звідки

або

Задовольняє умові задачі

Відповідь:

ІІ. Якщо ліва частина рівняння розкладається на множники, які набувають цілих значень для цілих значень змінних, а права частина рівняння – ціле число, то дане рівняння можна замінити рівносильною йому сукупністю систем рівнянь.

Наприклад, рівняння рівносильне сукупності систем:



ІІІ. Рівняння не має розв’язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння отримуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

  1. Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі.

Наприклад, у рівнянні для довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз , ділиться на 3, а права частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.

  1. Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині.

Наприклад, у рівнянні для довільних натуральних х та у числа, які одержують ся в лівій частині, закінчуються цифрами 1;5 і 9, а числа, які одержують ся в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.

  1. Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є.

Наприклад, у рівнянні ліва частина для довільного натурального х є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого натурального у не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на 3 дає в остачі нуль або 1).
Приклад 2. Розв’язати в натуральних числах рівняння

Розв’язання

,

Права частина може закінчуватися цифрами 0;1;5;6.

Якщо число х закінчується цифрами 0 або 5, то ліва частина рівняння закінчується цифрою 3.

Якщо ж х закінчується цифрами 1,2,3,4,6,7,8,9, то ліва частина рівняння закінчується цифрою 9.

Отже, рівняння розв’язків немає.

Відповідь: рівняння розв’язків немає.
Приклад 3. Довести, що довільне просте число >2 єдиним способом можна подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел.

Розв’язання

За умовою

,

х,у – натуральні числа.

Оскільки x>y, x-yто одержимо



Тобто розв’язок рівняння єдиний.
Приклад 4. Розв’язати в цілих числах рівняння

Розв’язання



Оскільки , то



Відповідь: (-1;-2), (5;2), (1;2), (-5;-2).
Приклад 5. Знайти натуральні розв’язки рівняння .

Розв’язання

,



- дільник числа 243.











Відповідь: (24;8), (54;2).

Задачі математичних конкурсів

Приклад 1. Деяка кількість екскурсантів, що розташувалася порівно у 5 автобусах (кожний автобус не більше 54 чол.) була доставлена на вокзал, там до них приєдналось ще 7 чол. і всі екскурсанти розташувались у 14 вагонах поїзда. Скільки було екскурсантів?

Розв’язання

Нехай х місць в одному автобусі, тоді – в 5 автобусах і 14у – в 14 вагонах поїзда. Тоді








п




0

1

2

3






0

2

1

4



1

0

1

1

5



0

1

2

3

14












5

14










0

0







14

5










10

2







5

4










4

1







4

1










4

4










0










































1   2   3   4   5

Схожі:

Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та...
Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; ви­роблення...
Тема: Розв’язування диференціальних рівнянь при заданих крайових...
Мета: Придбання навичок роботи з методами вирозв’язку диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь в системі MathCad
УРОК №71 Тема уроку. Системи рівнянь
Мета уроку: формування понять: «система рівнянь з двома змінними»; «розв'язки системи лінійних рівнянь з двома змінними»; «ознайомлення...
Тема. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ Заняття 1
Розв'язування рівнянь виду (х+а)(х+b)(х+с)(х+d) = А за умови, що а + b = с + d, або а + с = b + d, або а + d = b + с, де А Розв'язування...
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
Мета: Повторити властивості тригонометричних функцій та загальні розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь, розвивати вміння...
Цікаві способи усного розв’язування деяких видів квадратних рівнянь та рівнянь з параметрами
Виконала: Холява Віра Павлівна вчитель математики Уманської загальноосвітньої школи І – ІІІ ступенів №14
Тема. Рівняння. Мета: освітня
Вироблення навичок розв’язування рівнянь за правилами знаходження невідомих компонентів додавання, віднімання і множення; формувати...
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь”
Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного...
Урок №105 Тема. Розв'язування задач за допомогою рівнянь
Раціональні числа і дії над ними Тема Рівняння. Розв’язування рівнянь з однією змінною
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка