“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь”
|
|
Скачати 135.72 Kb.
|
|
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНЖЕНЕРНО-ТЕХНІЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ ТА МЕРЕЖ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ І ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ З КУРСУ “АЛГОРИТМИ ТА МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ” на тему ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород – 2006 Методичні вказівки і завдання до лабораторної роботи з курсу “Алгоритми та методи обчислень” на тему: ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ для студентів 3-го курсу інженерно-технічного факультету, спеціальність комп’ютерні системи та мережі Укладач: Король І.Ю., канд. фіз.-мат. наук, доцент, зав. кафедри “ Комп’ютерних систем та мереж ” Затверджено на засіданні кафедри Комп’ютерних систем та мереж, Протокол № від вересня 2012 року Лабораторна робота № 2 Тема: “Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету Mathcad. Зміст роботи: 1. Вивчити можливості математичних пакетів Mathcad для відокремлення та обчислення коренів із заданою точністю. 2. Виконати запропоновані завдання з використанням засобів пакетів Mathcad. Зміст звіту: Навести короткі теоретичні відомості, постановку завдань та результати їх виконання. Короткі теоретичні відомості В інженерній практиці досить часто зустрічаються задачі, які зв’язані з необхідністю знаходження коренів нелінійних рівнянь. Такі задачі, як правило, виникають як елементарні складові при розв’язанні різноманітних технічних і наукових проблем. Розглянемо нелінійне рівняння вигляду  , (1)де функція  визначена і неперервна на деякому скінченому або нескінченому інтервалі  .Якщо функція представляє собою многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним, якщо ж функція містить елементарні (тригонометричні, логарифмічні, показникові та ін.) функції, то такі рівняння називаються трансцендентними. Будь-яке значення  , яке перетворює функцію в нуль, тобто таке, що  , називається коренем рівняння (1).На відміну від лінійних, квадратних, елементарних тригонометричних, показникових, логарифмічних та ще деяких типів рівнянь не існує прямих методів розв’язання нелінійних рівнянь. У зальному випадку процедура розв’язання нелінійних рівнянь зводиться до розв’язання двох задач: попереднє знаходження інтервалів, що містять лише один корінь (локалізація або відокремлення коренів) і подальше уточнення коренів (знаходження коренів із заданою точністю). При розв’язанні першої задачі (відокремлення коренів) можна скористатись відомою теоремою: якщо на кінцях деякого відрізка неперервна функція приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку рівняння (1) має хоча би один корінь.Для розв’язання другої задачі застосовують методи, які дають можливість уточнювати знайдені наближення коренів. До таких методів відносяться ітераційні методи: діленням навпіл, ітерацій, Ньютона, хорд, січних та ін. 1. Відокремлення коренів Корінь  рівняння (1) вважається відокремленим на відрізку  , якщо  і на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів. Щоб відокремити корені рівняння (1), треба розбити область визначення даного рівняння на проміжки, на кожному з яких міститься один і тільки один корінь або немає жодного кореня. Як правило відокремлення коренів здійснюється графічним або табличним методом.Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції  і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння (1) записують у вигляді  і будують графіки функцій  і  , після чого знаходять межі інтервалів, в яких знаходяться абсциси точок перетину графіків функцій.Приклад 1. Відокремити корені рівняння  .Графічний метод відокремлення коренів, реалізований в пакеті Mathcad, наведено на рис. 1.  Рис. 2  Рис 1. Інколи для відокремлення коренів можна скористатись табличним методом. Він полягає в знаходженні послідовності значень функції з певним кроком і виявлені зміни знака в значення членів послідовності. Для цього, за допомогою дискретної змінної, будують вектор із значень функції, який дає можливість побачити зміни знака функції, що свідчить про наявність коренів (рис. 2). 2. Метод поділу відрізка навпіл Нехай потрібно знайти корінь рівняння (1), який знаходиться на відрізку  . У випадку єдиного кореня на вказаному відрізку буде виконуватись умова . (2)Далі відрізок починають зменшувати, визначаючи на кожному кроці алгоритму координати його нових граничних точок  і  за значеннями  ,  та координати середини відрізка  : .У залежності від знаку функції в точці  новий відрізок  знаходження кореня встановлюється за допомогою наступного правила: (3)де  ;  – середня точка відрізку  .Довжина відрізка ізоляції кореня після виконання  кроків зменшується до величини ,а значення кореня  , обумовлено координатою середньої точки, і його похибки задаються виразами: . (4)Приклад 2. Користуючись методом поділу відрізка навпіл обчислити корені рівняння  із заданою точністю та підрахунком числа ітерацій.Лістинг обчислення кореня рівняння, який знаходиться на відрізку  методом поділу відрізка навпіл, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 3. Рис. 3. 3. Метод простої ітерації Метод простої ітерації полягає в тому, що рівняння (1) записують у канонічному вигляді:  , (5)а ітерації здійснюються за правилом  ,  (6)де початкове наближення  задається з відрізка , який містить корінь рівняння.Якщо процес обчислень збігається до розв’язку рівняння (5), тобто  , то припустивши, що функція  визначена, неперервна і диференційована на відрізку, який містить шуканий корінь, можна встановити умову збіжності ітераційного процесу у вигляді: ,  . (7)Із рівності (7) випливає достатня умова збіжності методу простої ітерації, а саме,  буде менше  за умови . (8)Якщо покласти  , то достатня умова збіжності методу простої ітерації має вигляд  . Чим менше значення  , тим швидше збігається ітераційний процес.Оцінювання глобальної похибки  зручно виконувати на основі значень локальної похибки, тобто за значеннями наближень, отриманих на сусідніх ітераціях за аналогією з формулою (7). Для цього формулу (7) запишемо у вигляді: ,звідки отримуємо оцінку  . (9)Якщо обчислення починати від початкового значення , то для поточної похибки на  -й ітерації згідно з формулами (7) і (9) можна одержати оцінку . (10)Приклад 3. Користуючись методом ітерацій уточнити корінь рівняння , який знаходиться на відрізку  . Для можливості його застосування перетворимо його до вигляду  .Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом ітерацій, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 4.  Рис. 4. Якщо покласти  ,  , то оцінку (10) можна записати у вигляді ,  (11)Якщо похибка обчислення кореня рівняння не повинна перевищувати наперед заданого значення  , то згідно з формулою (11) можна знайти необхідну кількість ітерацій  (12)У тих випадках, коли не вдається явно розв’язати вихідне рівняння  відносно невідомої  , так щоб у рівнянні (5) функція задовольняла умову збіжності (8), ітерації можна виконувати за правилом:  (13)Тут допоміжна функція  не повинна змінювати свій знак на відрізку, де шукають корінь. Зокрема, якщо  , одержимо метод релаксації: (14)для якого  і умова збіжності має вигляд , (15)Якщо в деякому околі кореня виконуються умови  ,  ,то метод релаксації збігається в разі  . Оптимальне значення параметра в такому випадку має вигляд . (16)Приклад 4. Користуючись модифікованим методом ітерацій уточнити корінь рівняння , який знаходиться на відрізку  .Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом ітерацій, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 5.  Рис. 5. 4. Метод Ньютона Для прискорення збіжності ітераційного процесу методу простої ітерації (6) функцію можна вибрати у вигляді .У цьому випадку чергове наближення  буде знаходитись за формулою , (17)Цю формулу можна отримати з рівняння дотичної до графіка функції  в точці  , де – -е наближення до кореня рівняння (рис. ).Як відомо, рівняння дотичної має вигляд  ,де  – довільна точка на дотичній. Поклавши в рівнянні дотичної  (точка перетину дотичної з віссю ОХ) дістанемо формулу (17).Припустивши, що в околі кореня  і  неважко одержати оцінку збіжності обчислень за формулою (17). Для чого в околі кореня рівняння розкладемо функцію в ряд Тейлора з урахуванням третього члена, що визначає нелінійність апроксимації: ,  . (18)Врахувавши, що  рівність (18) можна перетворити до вигляду (з врахуванням (17)): .Оскільки  і  , то з умови, що  , одержуємо квадратичну залежність похибки на послідовних ітераціях: , де  . (19)Таким чином метод Ньютона має квадратичну збіжність  ,  . (20)Приклад 5. Користуючись методом Ньютона для простих коренів уточнити корені рівняння  , які знаходяться на відрізках  і  .Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом Ньютона, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 6.  Рис. 6. 5. Метод Ньютона для кратних коренів Швидкість збіжності методу Ньютона падає, якщо рівняння має кратні корені. Разом з тим квадратичну збіжність можна зберегти, якщо побудувати дещо іншу ітераційну формулу, яка базується на наступному відомому факті. Якщо функція має деякий корінь кратності  , то її похідна  має цей самий корінь кратності  .У більшості випадків кратність коренів невідома, тому для збереження квадратичної збіжності на базі заданого рівняння з кратним коренем розглядають рівняння , (21)яке має корінь кратності одиниця, незалежно від його кратності у вихідному рівнянні .Як відомо, для рівняння  ітераційний процес має вигляд , Знайшовши похідну  і підставивши її в останню дістанемо формулу методу Ньютона для кратних коренів, яка має вигляд , (22)Приклад 6. Користуючись методом Ньютона для кратних коренів уточнити кратний корінь рівняння  , який знаходиться на відрізку  . Неважко переконатись, що це є корінь  , який має кратність два.Лістинг з відокремленням кореня та обчислення його методом Ньютона для кратних коренів, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 7. Для порівняння на (рис. 8) наведено Лістинг уточнення кореня медом Ньютона для простих коренів. Різниця в кількості ітерацій значна – 4 і 25 відповідно.  Рис.7.  Рис.8. 6. Застосування методу Ньютона для знаходження екстремальних точок функції Задачу обчислення значень аргументу функції  , за яких функція досягає своїх екстремальних значень (максимального чи мінімального), можна звести до задачі розв’язання нелінійних рівнянь, оскільки в даних точках похідна від функції дорівнює нулю, тобто  . При цьому ітераційна формула набуває вигляду: , (23)Приклад 7. Користуючись методом Ньютона знайти координати екстремальної точки функції  , яка знаходяться на відрізках  .Лістинг обчислення координати екстремальної точки та значення екстремуму, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 9. На цьому ж лістингу наведено результат, одержаний за допомогою вбудованої процедури root.  Рис. 9. 7. Метод хорд Нехай потрібно розв’язати рівняння (1), яке має єдиний корінь на інтервалі  , для якого виконується умова  . Для побудови ітераційної формули методу хорд запишемо рівняння прямої (хорди), яка проходить через дві точки  і  : Поклавши в одержаному рівнянні  ,  дістанемо формулу для обчислення наближень вигляду: , (24)де  – нерухома точка.М  ожна показати, що за нерухому точку береться той із кінців відрізка , для якого виконується умова  . Інший кінець інтервалу приймається за початкове наближення  (рис. 10). Ітераційний процес закінчується в разі виконання умови ,де  , тому що існує оцінка Рис. 10 . 1.9. Комбінований метод Оскільки в методах хорд і дотичних наближення кореня обчислюється відповідно з недостачею і з надлишком (залежно від вигляду кривої) був розроблений метод, який об’єднав обидва підходи (рис.11). Процес закінчується, коли  .Кінцеве наближення обчислюється за формулою  ,де  і  – наближення кореня, отримані методами Ньютона та хорд. Рис. 11. 9. Завдання для самостійної роботи Завдання 1. Для кожного з наведених в табл. 1 трансцендентних рівнянь потрібно: 1) відокремити корені; 2) обчислити значення відокремлених коренів з похибкою  у відповідності зі вказаним номером метода розв’язання (1 – метод поділу відрізка навпіл, 2 – метод ітерацій або модифікований метод ітерацій, 3 – метод Ньютона, 4 – метод хорд, 5 – комбінований метод);3) перевірити правильність одержаних результатів засобами математичного пакету Mathcad; 4) зробити висновки. Завдання 2. Для кожного з наведених в табл. 1 алгебраїчних рівнянь потрібно: 1) відокремити дійсні корені; 2) користуючись методом Ньютона обчислити значення дійсних та комплексних коренів з похибкою ;3) користуючись методом Ньютона обчислити значення екстремальних точок функції, яка є лівою частиною алгебраїчного рівняння; 4) перевірити правильність одержаних результатів засобами математичного пакету Mathcad; 4) зробити висновки.
ЛІТЕРАТУРА 1. Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. К.: Видавнича група BHV, 2006. – 480 с. 2. Алексеев Е.П., Чесноков О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, VFTLAB 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с. 3. Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник . К.: Либідь. 1996. – 288 с. 4 Конспект лекцій. |
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Схожі:
|
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород –... Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету... |
Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми... |
|
Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові... |
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЖОРСТКИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ Розглянемо спочатку питання умовної та абсолютної стійкості на простому прикладі. Задача Коші |
|
“Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення ітераційних методів розв’язання систем лінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ НАУКИ На ступінь доктора наук Бартіш М. Я. Методи типу Ньютона для розв’язування нелінійних операторних рівнянь і задач на екстремум: (01. 05. 02) / Київ нац ун-т... |
|
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними... |
Тема: Різні способи розв'язання ірраціональних рівнянь Мета Мета: Систематизувати знання про ірраціональні рівняння, ознайомити з новими способами їх розв'язання, розвивати культуру мислення,... |
|
Тема: Розв’язування задач за допомогою рівнянь Мета: Розширити знання учнів про практичне застосування рівнянь, зокрема до розв’язання задач. Вдосконалити навики встановлення залежностей... |
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua