Цікаві способи усного розв’язування деяких видів квадратних рівнянь та рівнянь з параметрами
Скачати 72.09 Kb.
Назва Цікаві способи усного розв’язування деяких видів квадратних рівнянь та рівнянь з параметрами
Дата 15.04.2013
Розмір 72.09 Kb.
Тип Документи
bibl.com.ua > Математика > Документи


Тема: Цікаві способи усного розв’язування деяких видів квадратних рівнянь та рівнянь з параметрами
Виконала: Холява Віра Павлівна вчитель математики Уманської загальноосвітньої школи І – ІІІ ступенів № 14.


По завершенні вивчення у 8 класі теми «Формула коренів квадратного рівняння» та «Теорема Вієта» можна запропонувати учням перевірити правильність розв’язків квадратних рівнянь, які вчитель записує разом з умовою.

Наприклад:

  1. 16х2–3х–13=0;

х1=1; х2= –0,8125

  1. 5х2+4х–9=0;

х1= –1,8; х2=1

  1. 7х2+х–8=0;

х1=1; х2= –1

  1. х2–7х+6=0;

х1=6; х2=1

  1. 2х2+7х–9=0;

х1= –4,5; х2=1

  1. 12х2–х–11=0;

х1=1; х2= –

  1. 5х2–7х+2=0;

х1=0,4; х2=1

  1. 8х2–9х+1=0;

х1=1; х2=0,125

Після того, коли учні переконуються у правильності розв’язків, їм можна запропонувати самостійно відшукати залежність коренів від коефіцієнтів квадратного рівняння:

ax2+bx+c=0.

Спостережливі учні помітять, що в кожному з рівнянь, запропонованих учителем сума коефіцієнтів квадратного рівняння дорівнює нулю

a+b+c=0.

Отже, один із коренів має обов’язково дорівнювати 1.

Кожне з рівнянь (за винятком рівняння 4) можна перетворити на зведене шляхом ділення правої та лівої частин рівняння на перший коефіцієнт.

Рівняння приймає вигляд:

x2+x+=0.

Врахувавши те, що один із коренів такого квадратного рівняння дорівнює 1, та теорему, обернену до теореми Вієта, приходимо до висновку, що корінь такого квадратного рівняння має дорівнювати .

Після цього учні можуть самостійно складати квадратні рівняння, які не обов’язково є зведеними, і тут же записувати їх корені.

Якщо квадратні рівняння будуть зведені, використовуючи попередні міркування, можна швидше відшукати їх корені,ніж за теоремою,оберненою до теореми Вієта.
Наприклад:

  1. х2+4х–5=0;

х1=1; х2= –5

  1. х2+13х–14=0;

х1=1; х2= –14

  1. х2–17х+16=0;

х1=1; х2=16

  1. х2–9х+8=0;

х1=1; х2=8

  1. х2–11х+10=0;

х1=1; х2=10

  1. х2+7х–8=0;

х1=1; х2= –8

  1. х2–15х+14=0;

х1=1; х2=14

  1. х2+6х–7=0;

х1=1; х2= –7

Правильним будуть і такі твердження :

Якщо змінити знак другого коефіцієнта квадратного рівняння ax2+bx+c=0 на протилежний і сума цих коефіцієнтів буде дорівнювати нулю, то коренями такого рівняння відповідно будуть числа:

х1= –1; х2= –.
Наприклад:

  1. 3х2+7х+4=0;

х1= –1; х2= –1

  1. 4х2–7х–11=0;

х1= –1; х2= 2,75

  1. 6х2–5х–11=0;

х1= –1; х2=1

  1. –7х2+х+8=0;

х1= –1; х2=1

  1. –2х2+7х+9=0;

х1= –1; х2=4,5

  1. 6х2+7х+1=0;

х1= –1; х2= –

  1. –10х2+х+11=0;

х1= –1; х2=1,1

  1. 19х2+11х–8=0;

х1= –1; х2=

Такі закономірності доречно застосовувати на уроках, коли вивчається формула коренів квадратного рівняння для того щоб учитель міг швидко перевірити рівень засвоєння даної теми кожним учнем.

В подальшому вивченні математики, при розв’язуванні тригонометричних, показникових та логарифмічних рівнянь, які зводяться до квадратних, дуже зручно використовувати саме ці знання, особливо тоді, коли утворене рівняння не є зведеним. Розв’язуючи завдання ЗНО, учні значно скоротять час якщо користуватимуться міркуваннями, викладеними в даній темі. Але слід пам’ятати, що твердження правильне лише для квадратних рівнянь, сума коефіцієнтів яких дорівнює нулю, або сума коефіцієнтів дорівнює нулю при зміні знака другого коефіцієнта на протилежний.

Рівняння з параметрами.

При яких значеннях параметра одним з коренів рівняння

3х2–(52–6)х–4=0

дорівнює 1?

Розв’язання

Дане рівняння є квадратним де =3; = –52+6; = –4.

Його корінь дорівнює 1 тоді, коли сума коефіцієнтів квадратного рівняння дорівнює нулю. Маємо рівняння:

3+(–52+6)+(–4)=0

3–52+6–4=0

–52–4+9=0

1=1; 2= –1,8

Відповідь: при =1, = –1,8 число 1є коренем рівняння.

Тренувальні вправи

При яких значеннях параметра один з коренів рівняння дорівнює 1?

  1. 5х2+(7+4)х–4=0;

  2. х2–(3х–2)х+3=0;

  3. 9х2+(4+7)х–2=0;

  4. 7х2–(32+2)х–2=0;

  5. 12х2–(52+2)х–5=0;

  6. (52–4)х2–2х+1=0;

  7. (2+7)х2+42х–12=0;

  8. (+3)х2–92х+5=0.

Відповіді:

  1. = –3;

  2. =2;

  3. = –8;

  4. 1=1, 2= –1;

  5. 1=1, 2= –1,4;

  6. 1=1, 2=0,2;

  7. 1=1, 2= –2,4;

  8. 1=1, 2= –.

При яких значеннях параметра одним з коренів рівняння

х2–(22+3)х+6=0

дорівнює –1?

Розв’язання

Рівняння х2–(22+3)х+6=0 є квадратним де

=1; = –22–3; =6.

Оскільки один з коренів квадратного рівняння тоді дорівнює –1, коли сума коефіцієнтів дорівнює нулю за умови зміни знака другого коефіцієнта на протилежний, то маємо рівняння:

1+22+3+6=0

22+3+6=0

2+3+2=0

1= –1, 2= –2.

Відповідь: при = –1, = –2 число –1 є коренем рівняння.

Тренувальні вправи

При яких значеннях параметра один з коренів рівняння дорівнює –1?

  1. 7х2+(3–1)х+5=0;

  2. 4х2–(3+2)х–+5=0;

  3. 5х2+7х+2+1=0;

  4. (2+3)х2+8х+4=0;

  5. (32–1)х2–7х–9=0;

  6. (2+5)х2+3х–3=0;

  7. (2+7)х2–72х–16=0;

  8. х2+4х+72–4=0.

Відповіді:

  1. = –4;

  2. = –6;

  3. =1;

  4. 1=1, 2=7;

  5. 1=1, 2= –3;

  6. 1=1, 2=2;

  7. 1=1, 2= –1;

  8. 1=1, 2= –.

Література:

1. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 8: підручник для класів з поглибленим вивченням математики. – х. : Гімназія, 2008

2. Нелін Є.П. Алгебра в таблицях: Навчальний посібник для учнів 7 – 11 класів – Х.: Світ дитинства, 2002

3. Шарко В.Д. Сучасний урок – К., 2005

4. Апостолова Г. В., Ясінський В.В. перші зустрічі з параметрами. Х. , Факт, 2004

5. О.В. Лукаш, Е.М. Пресс, Розв’язуємо задачі з параметрами , Х.,

Видавнича група «Основа» 2006

Схожі:

Тема. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ Заняття 1
Розв'язування рівнянь виду (х+а)(х+b)(х+с)(х+d) = А за умови, що а + b = с + d, або а + с = b + d, або а + d = b + с, де А Розв'язування...
 Урок №63 Тема
Тема. Підсумковий урок з теми «Квадратний тричлен. Розв'язування рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь та їх використання для...
УРОК №32 Тема уроку
Вієта*; продовжити роботу із формування вмінь розв'язувати си­стеми, у яких одне з рівнянь є рівнянням першого степеня, способом...
 Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та...
Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; ви­роблення...
Тема уроку: Розв’язування тригонометричних рівнянь
Навчальна: ознайомити учнів з іншими способами розв'язування тригонометричних рівнянь; навчити раціонально вибирати метод їх розв'язування;...
 Урок з алгебри та географії у 7 класі. Тема уроку
Освітня: узагальнити та систематизувати знання учнів про системи рівнянь, способи їх розв’язування, формувати навички  розв’язувати ...
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
Мета: Повторити властивості тригонометричних функцій та загальні розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь, розвивати вміння...
 Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...
УРОК №71 Тема уроку. Системи рівнянь
Мета уроку: формування понять: «система рівнянь з двома змінними»; «розв'язки системи лінійних рівнянь з двома змінними»; «ознайомлення...
 Урок №105 Тема. Розв'язування задач за допомогою рівнянь
Раціональні числа і дії над ними Тема Рівняння. Розв’язування рівнянь з однією змінною
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання

При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Уроки
Конспекти лекцій
Довідники
Документи

Історія
Філософія
Фінанси
Економіка
Фізика

Головна сторінка