Тема уроку. Комбінації многогранників. Мета уроку

У правильну чотирикутну піраміду вписано куб так, що чотири його вер­шини знаходяться на бічних ребрах, а останні чотири знаходяться в площи­ні її основи. Знайдіть ребро куба, якщо в піраміді сторона основи дорівнює а, а висота — h.

Розв'язання

Нехай SABCD — правильна чотири­кутна піраміда (рис. 183), у якої АВ = а, SO (ABC), SО = h; AO = = .

A₁B₁С₁D₁A₂B₂С₂D₂ — куб. Нехай А₁В₁ = х, тоді SO₁ = h - х , A₂О = А₁О₁ = .

ΔSАО ΔSА₁O₁ і, отже, ; ; ; ah – ax = hx;

ah = x (a + h); x = — шукане ребро куба.

Відповідь. .

Розв'язування задач

1. У правильному тетраедрі кожне ребро дорівнює а. У нього вписана правильна трикутна призма так, що одна основа її лежить на грані, а вершини другої основи — на ребрах тетраедра. Знайдіть ребро призми, якщо відомо, що її висота дорівнює стороні основи. (Відпо­відь. .)

2. Бічне ребро і висота правильної чотирикутної піраміди дорівнюють відповідно 12 і 4 см. У піраміду вписано куб так, що його чотири вершини лежать на основі піраміди, а чотири — на апофемах піра­міди. Знайдіть ребро куба. (Відповідь. см.)

3. Центри граней куба е вершинами правильного октаедра. Знайдіть відношення об'ємів куба і октаедра. (Відповідь. 6:1.)

4. Центри граней правильного тетраедра є вершинами нового тетраед­ра. Знайдіть відношення їх поверхонь і об'ємів. (Відповідь. 1:9, 1:27.)

5. Дана чотирикутна піраміда, основою якої е квадрат, а одно із бічних ребер перпендикулярне до площини основи. У цю піраміду вписано куб так, що його нижня основа лежить на основі піраміди, а сторони верх­ньої основи лежать на бічних гранях піраміди. Знайдіть об'єм піраміди, якщо дві її бічні грані нахилені до площини основи під кутом φ, а реб­ро куба дорівнює а. (Відповідь. а³ (1 + сtg φ)² (1 + tg φ).)

6. Рівносторонній трикутник із стороною а є основою прямої призми і правильної піраміди, які мають спільну висоту. Знайдіть різницю об'ємів призми і піраміди, якщо двогранний кут при основі піраміди дорівнює α. (Відповідь. .)
IV. Домашнє завдання

Розв'язати наступну задачу.

Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об'ємів октаедра і куба. (Відповідь. 9:2.)

Повторити п. 54 § 6 підручника.

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Який многогранник називається вписаним в інший многогранник?

2) Знайдіть сторону основи правильної чотирикутної піраміди, яка вписана в іншу правильну чотирикутну піраміду зі стороною осно­ви а.

Роганін геометрія 11 клас, урок 57