Урок 3 Тема уроку

Демонструємо опуклі і неопуклі многогранники. Многогранники в оточуючому середовищі зустрічаються дуже часто. Цеглина, коробка, шафа, стілець, дошка, кристал — все це моделі многогранників. Знання властивостей многогранників необхідне багатьом фахівцям.

Столяр має справу з многогранниками, вистругуючи бруски, видов­буючи в них прямокутні отвори або заглибини. Муляр кладе стіни, спо­руджуючи будівлі, у формі многогранників. І тесляри, що зводять гори­ща над будівлями, і екскаваторники, що риють котловани, і мінералоги, кристалографи, гранильники — всі мають справу з многогранниками.

Розв'язування задач

1. Наведіть приклади предметів побуту, що є геометричними тілами.

2. Які із фігур, зображених на рис. 20, є геометричними тілами?

3. Які із зображених на рис. 21 тіл є многогранниками?

4. Наведіть приклади предметів побуту, які мають форму многогранника.

5. Наведіть приклади речовин, вивчених у курсі хімії, кристали яких мають форму многогранника.



Рис. 20

6. Скільки вершин, ребер, граней має:

а) тетраедр; б) куб?

7. Яке найменше число ребер може мати многогранник?

(Відповідь. 6.)

8. Побудуйте многогранник, який має 4 грані. Скільки ребер і скіль­ки вершин він має? (Відповідь. Ребер — 6, вершин — 4.)



Рис. 21

9. Скільки ребер може сходитися у вершині многогранника?

(Відповідь. Довільне число, але не менше трьох.)

10. Побудуйте многогранник, у якого число вершин і число граней од­накові.

11. Якщо поверхню многогранника розрізати по кількох його ребрах і розкласти на площині, то дістанемо розгортку даного многогран­ника. На рис. 22 подані деякі розгортки куба. Побудуйте розгортку куба, відмінну від поданих. (Відповідь, Рис. 23.)

12. На рис. 24 зображено розгортки многогранників. Визначте, скільки у цих многогранників вершин, граней, ребер. (Відповідь, а) Вершин — 8; граней — 6; ребер — 12; б) вершин — 5, граней — 5, ребер — 8.)

13. Побудуйте многогранник, який має: а) 8 ребер; б) 9 ребер; в) 11 ре­бер. (Відповідь. Рис. 25.)

Рис. 24

14. Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 5 вершин. Скільки ребер він має? (Відповідь, 8 ребер.)

15. Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 6 вершин. Скільки ребер він має? (Відповідь. 9 ребер.)

16. Доведіть, що число плоских кутів многогранника вдвічі більше від числа ребер.

17. Многогранник має 12 ребер. Скільки в нього плоских кутів?

(Відпо­відь. 24 кути.)

Призма

Можна провести пояснення нового матеріалу згідно з п. 40 § 5 під­ручника. Можна дати пояснення нового матеріалу по-іншому.

Многогранник, дві грані якого — рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші n граней — паралелограми, на­зивається n-кутною призмою (рис. 26).

Демонструємо моделі призм.

Її рівні n-кутники називаються основами призми, а паралелогра­ми — бічними гранями, сторони основи — ребрами основи, інші реб­ра — бічними ребрами.

Завдання

Укажіть на моделях призми основи, бічні грані, ребра основи, бічні ребра.

З означення призми випливає, що основи призми рівні, а також ле­жать в паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні. Поверх­ня призми складається з основ і бічної поверхні.

Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то: S_пр = S_{біч.пов} ⁺ 2S_ocн,

де S_пр — площа поверхні призми;

S_{біч.пов} — площа бічної поверхні призми;

S_осн – площа основи.

Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній і рані, називається діагоналлю призми.

Розв'язування задач

1. 
   Скільки граней має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 грань?
   

(Відповідь. n+2;так.)

2. 
   Скільки ребер має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 реб­ро?
   

(Відповідь. 3n; ні.)

3. 
   Скільки вершин має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 вершину?
   

(Відповідь. 2n; ні.)

4. 
   Призма має 20 граней. Який многокутник лежить в ЇЇ основі?
   

(Від­повідь. 18-кутник.)

5. 
   Назвіть предмети побуту, які мають форму призми.
   
6. 
   а) Скільки діагоналей можна провести в чотирикутній; п'ятикут­ній; n-кутній призмі?
   

б) Чи існує призма, яка не має діагоналей?

(Відповідь, а) 4; 10; (n - 3)n; б) існує: трикутна призма.)

7. 
   Знайдіть суму всіх плоских кутів n-кутної призми.
   

(Відповідь. 720° (n – 1).)

8. 
   Знайдіть суму всіх двогранних кутів n-кутної призми.
   

(Відповідь. 360° (n – 1).)

9. 
   Три грані призми — квадрати зі стороною 2 см, а дві інші — три­кутники. Накресліть цю призму та її розгортку. Знайдіть площу поверхні призми.
   

(Відповідь. Рис. 27, 12 + 2см².)

10. 
    Висота призми дорівнює Н, а бічне ребро нахилене до площини ос­нови призми під кутом α . Знайдіть довжину бічного ребра призми.
    

(Відповідь..)

11. 
    АВСА₁B₁С₁ — призма, A₁K(ABC), AKВС (рис. 28). Доведіть, що ΒΒ₁C₁C — прямокутник.
    

Ρ о з в ' яз а н н я

Оскільки A₁K(ABC) і AKВС, то за теоремою про три перпен­дикуляри А₁АВС. Оскільки СС₁ || АА₁ і А₁АВС, то СС₁ВС.

Оскільки ΒΒ₁C₁C — паралелограм і 1CB = 90°, то ΒΒ₁C₁C — прямокутник.

12. 
    Основа призми— рівносторонній трикутник, одна з вершин верх­ньої основи проектується в центр нижньої основи. Доведіть, що одна з граней призми — прямокутник.
    
13. 
    Основа призми — правильний трикутник АВС. Бічне ребро АА₁ утворює рівні кути зі сторонами основи АС і АВ. Доведіть, що:
    

а) ВСАА₁; б) СС₁B₁В — прямокутник.
III. Домашнє завдання

§ 5, п. 39, п. 40; контрольні запитання № 6-12; задачі № 9, 11 (с. 77).
IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Дайте означення опуклого многогранника.

2) Скільки граней має 15-кутна призма?

3) Скільки діагоналей можна провести в семикутній призмі?

Роганін геометрія 11 клас, урок 3