Тема уроку. Вписані та описані призми і циліндри. Мета уроку

Знайдіть:

а) довжину хорди АВ; (2 бали)

б) діагональ перерізу циліндра, якщо відомо, що даний переріз — квадрат; (2 бали)

в) площу перерізу, якщо відомо, що даний переріз — квадрат; (2 бали)

г) площу осьового перерізу; (2 бали)

д) площу перерізу, паралельного площині основи; (2 бали)

е) кут нахилу діагоналі перерізу до площини основи, якщо висота циліндра дорівнює 2 см. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. а) 12 см; б) 12см; в) 144 см²; г) 240 см²; д) 100π см²; е) агсtg.

Варіант 2. а) 30 см; б) 30см; в) 900 см²; г) 1020 см²; д) 289π см²; е) агсtg.

Математичний диктант № 2

Уциліндрі проведено, паралельно осі циліндра, площину, яка відти­нає від кола дугу 2β. Січна площина перетинає основу по хорді, яка дорівнює а. Діагональ утвореного перерізу утворює кут α з:

варіант 1 — площиною основи (рис. 113);

варіант 2 — твірною циліндра (рис. 114). Знайдіть:

а) радіус основи циліндра; (2 бали)

б) площу основи циліндра; (2 бали)

в) висоту циліндра; (2 бали)

г) діагональ осьового перерізу; (2 бали)

д) площу перерізу; (2 бали)

е) кут нахилу діагоналі перерізу до площини основи. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. а) ; б) ; в) а·tgα; г) ; д) ;е) α.

Варіант 2. а) ; б) ; в) а·сtg α; г) ; д) ; е)

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Призма, вписана в циліндр

Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ ци­ліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра (рис. 115).

У цьому випадку циліндр називається описаним на­вколо призми.

Розв'язування задач

1. 
   Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб навколо неї можна було описати циліндр?
   
2. 
   У циліндр вписано чотирикутну призму. Доведіть, що сума протилежних двогранних кутів при її біч­них ребрах дорівнює 180°.
   
3. 
   У рівносторонній циліндр радіуса R вписана правильна трикутна призма. Знайдіть площу перерізу призми, проведеного через вісь циліндра і бічне ребро призми. (Відповідь. 3R².)
   
4. 
   Урівносторонньому циліндрі діагональ осьового перерізу дорівнює d. Знайдіть площу найменшого діагонального перерізу правильної шестикутної призми, вписаної в циліндр. (Відповідь. .)
   

Призма, описана навколо циліндра

Площиною, дотичною до циліндра, називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьо­вого перерізу, що містить цю твірну (рис. 116).

Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра (рис. 117).

При цьому циліндр називається вписаним в призму.

Розв'язування задач

1. 
   Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб в неї можна було вписати циліндр?
   
2. 
   Доведіть, що вісь циліндра, вписаного в призму, однаково віддале­на від всіх її бічних граней.
   
3. 
   Суми площ протилежних бічних граней прямої чотирикутної приз­ми рівні. Доведіть, що в цю призму можна вписати циліндр.
   
4. 
   Навколо рівностороннього циліндра радіуса r описано правильну трикутну призму. Знайдіть площу її грані. (Відповідь. 4r².)
   
5. 
   Навколо рівностороннього циліндра радіуса r описано правильну чотирикутну призму. Знайдіть площу її грані. (Відповідь. 4r².)
   

III. Домашнє завдання

§ 6, п. 54; контрольне запитання № 5; задачі № 7, 8 (с. 96).

IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу

1) У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Радіус циліндра R, висота циліндра Н (рис. 118). Укажіть, які з наведених твер­джень правильні, а які — неправильні:

а) всі бічні ребра призми збігаються з твірними циліндра;

б) кожна бічна грань призми є перерізом ци­ліндра площиною, яка паралельна осі;

в) площа бічної поверхні призми дорівнює 6RН;

г) площа осьового перерізу циліндра менша від пло­щі найбільшого діагонального перерізу призми.

2) У куб вписано циліндр радіуса R. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) висота циліндра дорівнює 2R;

б) площа осьового перерізу циліндра дорівнює 4R²;

в) площа діагонального перерізу куба дорівнює 4R²;

г) площа повної поверхні куба дорівнює 24R².

Роганін геометрія 11 клас, урок 21