Іноді говорять так: алгебра тримається на чотирьох китах рівняння, число, тотожність, функція

Скачати 382.28 Kb.

Назва	Іноді говорять так: алгебра тримається на чотирьох китах рівняння, число, тотожність, функція
Сторінка	3/4
Дата	11.12.2013
Розмір	382.28 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4

Розв'язання: Це рівняння не має раціональних коренів. Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Подамо многочлен лівої частини рівняння у вигляді добутку двох квадратних тричленів:

, де

- невідомі коефіцієнти.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х зліва і справа:

О

Алгебра щедра, вона часто дає більше, ніж у неї просять

Ж.Л.Д’Аламбер

скільки множники в останньому рівнянні системи рівноправні, і ми шукаємо розв'язки системи у цілих числах, то

a6o

.

Якщо

, то

;

. Дістаємо, що або

. або

. Третє рівняння задовольняє лише друга пара.

Якщо

, то

;

- цілих розв’язків не має.

У

результаті дістаємо:’

.

Відповідь:

Розв'язання:

(1)
Оскільки множники в останньому рівнянні системи рівноправні, і ми шукаємо розв'язки системи у цілих числах, то q (як для c ) можливі слідуючі цілі значення: ± 1, ± 2, ± 7, ± 14.

Нехай

, тоді

. В цьому випадку друге і третє рівняння в системі (1) дають систему

звідки для

одержуємо рівняння

, не має цілих розв'язків. Отже, якщо

, то система цілих розв'язків не має.

Нехай

; тоді

. В цьому випадку друге та третє рівняння в системі (1) дають слідуючу систему

Виключаючи

, одержимо для

рівняння

, корінь рівняння

, тоді

. Перше рівняння системи (1) задовольняється при

.

I так, маємо:

Таким чином, дане рівняння еквівалентне сукупності квадратних рівнянь

розв’язуючи яку знаходимо числа

які є коренями рівняння.

Відповідь:

Тим, хто не знає математику, важко збагнути справжню глибоку красу природи

Р.Фейнман

Штучні прийоми розв'язування рівнянь.

а) розкладання лівої частини рівняння на множники.

Наведемо деякі найбільш вживані підстановки при розв'язанні деяких алгебраїчних рівнянь вищих степенів: наступний приклад ілюструє застосування штучних прийомів для розкладання лівої частини рівняння на множники.

Приклад 1.

Розв'язання:

Відповідь:

б) метод заміни змінних

Метод заміни змінних дає змогу раціоналізувати розв'язування багатьох видів алгебраїчних рівнянь вищих степенів, зокрема так званих симетричних та зворотних.

в
Математика – наука молодих. Заняття математикою – це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і вся витривалість молоді

Н.Віннер
) розв'язування симетричних рівнянь

Симетричним називають рівняння виду

, в якому

.

Розв'яжемо симетричне рівняння парного степеня

.

П

оділимо обидві частини рівняння на x², дістанемо рівносильне йому (якщо

) рівняння:

В
Н.Віннер
раховуючи, що

згрупуємо члени з однаковими коефіцієнтами. Дістанемо:

Введемо позначення

. Тоді

Дістанемо рівняння відносно нової змінної у:

Степінь рівняння вдалося змінити з четвертого до другого.. Розв'язавши утворене квадратне рівняння, зведемо розв'язання вихідного рівняння до двох р
Формули – великі, але сліпі

Фелікс Клейн

івнянь:

та

Приклад 1.

Розв'язання:

, або

;

Тоді

ідповідь:

Приклад 2.

Розв'язання: Це біквадратне рівняння. Підстановкою x² = t,

рівняння зводиться до системи

звідси

. Отже,

Відповідь:

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розв'язання: Зауважимо, що

; зробимо заміну х²+2х = t. Розв'язання зводиться до квадратного

,

або t² - t - 56 = 0. Його корені t = 8, t = -7.

Розв'яжемо квадратні рівняння

. Перше з них має розв'язки

, а друге на множині дійсних чисел не має розв'язків, оскільки

.

В
Математика є найдосконаліший винахід, який може задовольнити цікавість, полегшити ремесла і зменшити працю людей.

Рене Декарт
ідповідь:

Приклад 4. Розв'язати рівняння

Розв'язання: Скористаємося підстановкою

звідси

, тобто

.

В результаті отримаємо

.

Розв'язуємо квадратні рівняння

, або

. Перше з них дійсних розв’язків не має, а для другого

Відповідь:

Приклад 5. Розв'язати рівняння

Розв'язання: Рівняння такого типу можна звести до квадратного. Якщо до обох його частин додати або відняти подвоєний добуток чисел, квадрати яких входять у рівняння, тобто виділити квадрат суми або різниці. В нашому випадку

. В результаті заміни

це рівняння зводиться до квадратного

.

Його корені

. Далі розв'язуємо рівняння

. Їх розв'язками є числа

та

. Відповідь:

.

Приклад 6. Розв'язати рівняння 6x⁴ - 35x³ + 62x² - 35x + 6 =0.

Розв'язання: Можна показати , що x ≠ 0, оскільки при x = 0 з рівняння маємо 6 = 0. Отже, можна розділити ліву і праву частину на x², тоді одержимо:

Знаходимо

Враховуючи заміну, маємо:

Відповідь:

Приклад 7. Розв'язати рівняння

Розв'язання: Оскільки

, то після заміни (x+1)² = t маємо:

До царини математики належать тільки ті науки, що розглядають або порядок, або міру, - байдуже, в чому саме: чи то в числах, у фігурах, у зірках, у звуках, чи чомусь іншому

Рене Декарт

.

Легко перевірити, що ліва частина рівняння є повним квадратом:

Отже,

. Відповідь:

Приклад 8. Розв'язати рівняння

.

Розв'язання: Оскільки

, то маємо:

Відповідь:

Ми розглянули симетричні рівняння, які є окремим випадком зворотного. Термін «зворотне рівняння» ввів Л.Ейлер у 1733p.

г) розв'язування зворотних рівнянь

Зворотним називають рівняння виду:

(1)

, (2)

де

- деяке фіксоване число і

. Якщо

, з рівнянь (1) і (2) дістаємо симетричне відносно парного та непарного степенів. Прикладами зворотних рівнянь є:

Очевидно, що зворотне рівняння непарного степеня завжди має корінь

, оскільки

. Після виділення множника

розв'язування зворотного рівняння непарного степеня зводиться до розв'язування зворотного рівняння парного степеня.

Приклад. Знайти раціональні корені рівняння.

2x⁸ - 9x⁷ + 20x⁶ - 33x⁵ + 46x⁴ - 66x³ + 80x² - 72x + 32 = 0

Розв'язання: Дане рівняння зворотне восьмого степеня,

; оскільки його можна переписати у вигляді

Яка радість особлива велика? Коли вдається досягти бажаного

Фалес Мілетський

Поділивши обидві частини рівняння на x⁴ (x=0 не є його коренем) та згрупувавши члени, дістанемо рівняння, рівносильне даному:

Введемо нову змінну:

, тоді

Дістанемо рівняння: 2t² - 9t³ + 4t² + 21t - 18 = 0 Застосовуючи метод знаходження раціональних коренів дістанемо:

Отже, дане рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь:

звідки і знаходимо шукані корені:

.

Відповідь:

.

д) розв'язування зворотно-симетричних рівнянь

Зворотно-симетричним рівнянням четвертого степеня назвемо рівняння виду

,

в якому виконується залежність між коефіцієнтами

Приклад

Розв'язання: Поділимо обидві частини рівняння на x² і згрупуємо перший член рівняння з п'ятим, другий - з четвертим:

(1)

Вводимо допоміжне невідоме

. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату і виділимо квадрат першого і квадрат другого виразу

(2)

Підставивши значення у і (2) в рівняння (1) дістанемо рівняння

. яке і розв'язуємо. Потім повертаємось до підстановки.

Приклад. Розв'язати рівняння 4x⁴-16х³+7х²+32х+16=0.

Розв'язання: Переконаємося, що рівняння зворотне:

.

Рівність виконується. Поділимо обидві частини рівняння на х² . Після групування дістанемо:

. Позначимо

, звідки

. (1)

П

Розум полягає не лише в знаннях, але й у вмінні застосовувати ці знання.

Аристотель

ідставивши (1) у рівняння дістанемо

, або

.

Звідси

.

Отже, розв'язуємо сукупність рівнянь

Відповідь:

Приклад Розв'язати рівняння

.

Розв'язання: Це є рівняння зворотно-симетричне шостого степеня. Перевіримо, чи виконуються співвідношення між коефіцієнтами:

.

Поділимо обидві частини рівняння на x³:

.

З

групуємо перший з сьомим, другий - з шостим, третій - з п’ятим членами рівняння

Позначимо

.

Знайдемо із цієї підстановки

та

. Підставимо ці вирази в рівняння, маємо:

Звідси

. Розв'яжемо сукупність рівнянь

Відповідь: 2; 1.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Р

Математика – це мова

В.Гіббс
озв'язання: Поділимо обидві частини рівняння на

,

отримаємо

,

або

,

звідки знаходимо

.

Якщо

, то

, або

;

.

Якщо

, то

, або

;

Відповідь:

Приклад. Розв'язати рівняння

Розв'язання: Виконується умова

, a6o 25=25, то обидві частини рівняння ділимо на x²;

отримаємо

, або

.

Позначимо

; тоді

і відносно t рівняння прийме вигляд

, якщо

, то

,

звідки

.

Якщо

, то

,

звідки

.

Відповідь:

.

Не досить мати гарний розум, головне – раціонально його використовувати

Рене Декарт

Висновок

Р

озв'язуючи рівняння вищих степенів можна зробити такі короткі підсумки у вигляді схеми.

Для набуття навичок при розв'язуванні часткових випадків рівнянь вищих степенів, розв'язування яких зводиться до розв'язування квадратних рівнянь, необхідна значна кількість тренувальних вправ.

А

також, розв'язування нестандартних алгебраїчних рівнянь вищих степенів вимагає уважного аналізу особливостей даного рівняння та рівнянь, які утворюються в результаті тотожних перетворень, встановлення асоціативних зв'язків із способами розв'язування розглянутих раніше рівнянь. Звичайно при цьому доводиться вибирати кілька основних методів у їх доцільному поєднанні.

Розв'язуючи рівняння вищих степенів, кожний раз не тільки застосовуються знання законів і формул математики, а й винахідливість, кмітливість, можна навіть сказати - майстерність та мистецтво.

Рівняння та нерівності – золотий ключ, що відкриває всі математичні сезами

С.Ковалевська

Список використаної літератури

Барановська Г. Г., Ясінський В. В. „Практикум з математики", К., 1997.М.

Вавилов В. В., Мельников И .И. „Задачи по математике", М., „Наука", 1987.

Грималюк В. П. „Математика для вступників до вузів", К., 1998.

Завало С. Т. „Практикум з роз'язуванням задач", К., „Вища школа" 1975.

Пичурин Л.Ф. „За страницами учебника алгебри", М., „Просвещение", 1990.

Суконник Я. Н. „Математические задачи повышенной трудности," К., " Радянська школа", 1985.

Фридман Л. М., Турецький E.H. „Как научиться решать задачи" М., „Просвещение", 1984.

Худобин А. Н„ Худобин Н. Н., Шуршалов М. Ф „Сборник задач по алгебре и элементарным функциям", М„ „Просвещение", 1973.

Шкіль I., Колесник Т. В. „Алгебра і початок аналізу", Київ „Освіта", 2000.

Яремчик Р. П., Рудченко П. А. „Алгебра и элементарные функции", К., „Наукова думка", 1976.

Ясінський В. В. „Алгебра", К. "Вирій", 1999.

1 2 3 4

Схожі:

Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові...	З використанням тестових технологій. Алгебра 7-10 Розділ: Рівняння Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповіді, якщо два корені – запишіть їх суму
Самостійна робота №5 Рівняння. Кут. Позначення кутів. Види кутів. Вимірювання кутів Варіант 1 ...	8-й клас. Алгебра Цілі вирази. Тотожні вирази. Тотожність. Степінь з натуральним показником і його властивості. Одночлени і многочлени та дії над ними....
ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ Вивчати, пізнавати, приховувати, сприймати різницю// тотожність чого-небудь. Різниця в поглядах, у ставленні до кого-небудь. //Тотожність...	АЛГЕБРА Самостійні і контрольні роботи складені за посібником “А. Капіносов. Алгебра. 7 клас. Систематичний курс”, рекомендованим Міністерством...
АЛГЕБРА Самостійні і контрольні роботи складені за посібником “А. Капіносов. Дидактичні матеріали. Алгебра, 8 клас”, рекомендованим Міністерством...	Профілактика професійного вигорання В останні роки в Україні, так само як і в розвинених країнах, все частіше говорять не тільки про професійний стрес, але і про синдром...
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; поглибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...	«Математика розум до порядку приводить» ці слова належать великому... Це дійсно так. Адже однією з найбільш важливих характеристик мислення є його логічність, можливість робити правильні висновки, аналізуючи...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання