ЗМІСТ
Вступ
Раціональні вирази з однією змінною
Розклад многочлена на множники. Теорема Вієта
Многочлени від однієї змінної
Раціональні алгебраїчні рівняння
а) лінійне і квадратне рівняння;
‘ б) біквадратне, тричленне рівняння;
в) алгебраїчні рівняння n-го степеня
Методи розв’язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів.
а) метод розкладання на множники;
б) метод невизначних коефіцієнтів;
Штучні прийоми розв'язування рівнянь вищих степенів.
a) розкладання лівої частини рівняння на множники;
б) метод заміни змінних;
в) розв'язування симетричних рівнянь;
г) розв'язування зворотних рівнянь;
д) розв’язування зворотно-симетричних рівнянь.
Висновки
Список використаної літератури
Додатки:
Історія в рівняннях (факультативне заняття для учнів 8-9 кл.)
Вступ
В шкільному курсі алгебри розв'язують задачі шляхом складання рівнянь, вивчають самі рівняння, вивчають зв'язки між величинами. При цьому використовуються букви, а вирази з буквами підлягають різним перетворенням. Але за всіма цими буквами частіше всього приховуються числа.
Іноді говорять так: алгебра тримається на чотирьох китах - рівняння, число, тотожність, функція.
Почнемо з рівнянь. Хто і коли придумав перше рівняння? Бо люди намагалися їх розв’язати з моменту осмислення свого існування.
Перший серйозний крок в напрямку розв'язування рівнянь зробив видатний Олександрійський вчений Діофант, який використав у своїй творчості досягнення єгиптян, вавілонян і греків. Жив Діофант у III ст. н.е.
С
Математика цікава тоді, коли живить нашу винахідливість і здатність міркувати
Д.Пойа
 аме цікаве у Діофанта — розв'язування невизначених рівнянь. Друге, не менш цікаве — Діофант придумав позначення для невідомих. Придумав Діофант і два основних способи розв'язування рівнянь - перенесення невідомих в одну сторону рівняння і зведення подібних членів. Люди на той час навчилися розв'язувати рівняння не тільки першого степеня і не тільки з одним невідомим. Настала черга рівнянь другого степеня. Найпростіші із них люди вміли розв'язувати ще в Стародавньому Єгипті.
Евклід (IIIст.н.е.) розв'язував квадратні рівняння, застосовуючи геометричний спосіб.
Значно спростив розв'язування квадратних рівнянь Аль-Хорезмі (787-850 рр.) із Халіфата. Основний твір, який написав Аль-Хорезмі, по-арабські звучить так "Китаб аль-джебр валь-мукабала". Цей твір дуже вплинув на розвиток математики в Європі, а саме слово "аль-джебр", поступово стало назвою науки — алгебра.
Для математиків, які вміли розв'язувати лінійні і квадратні рівняння, найбажанішим було навчитися розв'язувати рівняння третього степеня (кубічні).
Відповідь на це питання дав відомий таджикський поет і вчений Омар Хайям (близько 1048-1123 рр.). В своїх математичних працях Омар Хайям без буквеної символіки і від’ємних чисел описав всі можливі види рівнянь третього степеня і розглянув геометричний спосіб їх розв’язання. Але геометричний спосіб не мав перспективи. Він не давав можливості розв’язання рівнянь четвертого, п’ятого степенів. Потрібно шукати справжній алгебраїчний шлях. З часів Омар Хайяма вчені майже 400 років шукали формулу для розв’язання рівнянь третього степеня.
В кінці XV ст. іспанський математик Паоло Вальмес умів розв'язувати рівняння навіть четвертого степеня, але не встиг розповісти нікому про своє відкриття.
Проте ні трагічна доля одних, ні невдачі інших не можуть зупинити прогрес - це відноситься не тільки до алгебри.
В XVI ст. спосіб розв'язування рівнянь третього степеня був відкритий. Це вдалося зробити італійському математику Сципіону Даль Ферро (1465-1525 рр.) Він не опублікував свого способу, але деякі його учні знали про це відкриття, і згодом один із них, Антоніо Фіор, вирішив цим способом скористатися.
В ті роки були розповсюджені публічні диспути по різного роду науковим питанням. Переможці таких диспутів отримували винагороди. Антоніо Фіор розраховував на перемогу, бо він вмів те, чого не вміли інші.
В цей самий час в італійському місті Верона жив вчитель математики Нікколо Тарталья (1499-1557 рр.). Він зумів заново відкрити способи, які знайшов Сципіону Даль Ферро.
Відбувся поєдинок між Фіором і Тарталья. Перемога прославила Тарталья на всю Італію, але питання до кінця розв'язане не було.
У се це вдалося зробити Джероламо Кардано (1501-1576 рр.).
Д. Кардано був видатним лікарем, філософом, математиком і механіком. Він написав велику працю, присвячену алгебрі. Головною прикрасою цієї праці і була „формула Кардано", як її називають тепер. Це та сама формула, яку відкрив Сципіон Даль Ферро і перевідкрив Нікколо Тарталья. I так, по формулі Кардано
можна знайти корені рівняння 
Ф ранцузький математик Франсуа Вієт (1540-1603 рр.) встановив залежність між коренями рівняння і його коефіцієнтами. Вієт першим здогадався позначити буквами не тільки невідомі, але і коефіцієнти при них. Недарма Вієта називають „батьком алгебри".
Одержані Вієтом системи рівностей, які зв'язують окремі рівняння довільного степеня з їх коефіцієнтами, тепер називають теоремою Вієта.
І
Два крила, якими підноситься людський дух у безкраї простори, - це віра і наука
Йосип Сліпий
з теореми Вієта можна використати таке: якщо корені рівняння цілі числа, то вони повинні бути дільниками „безформульного" розв'язування деяких рівнянь
Постає питання: а чи не можна знайти якийсь загальний спільний спосіб розв'язування рівнянь? Знайти спільну формулу, яка була б придатна для розв'язування будь-яких рівнянь, таку, щоб вона включала в себе і часткові випадки, і формулу  , і формулу Кардано,  - і способи розв'язування рівнянь четвертого степеня і т.д? Чи таку формулу шукати не потрібно?
Знайти формулу розв'язування рівнянь - це значить вказати, в якому конкретно порядку і які конкретно алгебраїчні дії потрібно провести з коефіцієнтами, щоб отримати корені. Ось так просто. Але не завжди це все так просто виконати.
Ц я задача по-іншому формулюється так: чи існують розв'язки рівнянь будь-якого степеня в радикалах? Щоб розв’язати цю задачу, людям потрібно було не мало часу і сил.
П ерші кроки в цьому напрямку були зроблені італійським вченим Паоло Гуффіні (1765-1822рр.) і французьким вченим Жозефом Луї Лагранжем (1736-1813рр.). Гуффіні намагався довести неможливість алгебраїчного розв'язування загальних рівнянь степеня вищого за чотири. Лагранж був одним із найвидатніших математиків і механіків того часу, почесним членом Петербурзької Академії. Лагранж був впевнений, існують якісь надійні ознаки, з допомогою яких можна вказати, чи має дане конкретне рівняння розв'язки в радикалах чи ні. Він неодноразово брався за пошуки таких ознак, але відшукати їх йому не вдалося.
Знадобилось багато часу, знадобилось ще зусилля великого німецького математика Гауса для рішучого кроку вперед. Цей крок було зроблено, і навіть не одним вченим. Рішуче продовжив справу, початку Гуффіні, норвежець Нільс Генрік Абель (1802-1829рр.).
I так же рішуче продовжив справу, розвинув ідеї Лагранжа і Гауса француз Еварист Галуа( 1811-1832рр.).
Долі цих двох різних людей дуже схожі. В 1824 p. Абель опублікував бездоганне доведення того, що рівняння п'ятого степеня не має розв'язків в радикалах. В 1929 p. Галуа подав у Паризьку Академію наук дві алгебраїчні роботи, в яких провів дослідження про те, в яких випадках рівняння мають розв'язки в радикалах.
Отже, для рівнянь п'ятого степеня неможливо записати формулу коренів, неможливо з допомогою скінченого числа алгебраїчних операцій виразити корені рівнянь через їх коефіцієнти. Але, це не завжди так.
Бо розв'язки рівняння  , корінь його  при будь-якому n.
Отже, при певних умовах рівняння степеня вищого за чотири, можуть бути розв'язані. А при яких же „певних умовах?" Ось на це питання, які умови повинні задовольняти коефіцієнти рівняння, щоб воно все-таки розв'язувалось в радикалах, і відповів Галуа.
Т
Математика – це мова плюс міркування, це наче мова і логіка вкупі
Ричард Фейман
 е, що було відкрито Галуа і Абелем, дало сильний поштовх для розвитку нових сучасних областей математики. Це прекрасно, але формули то не має? Бо спочатку ми сказали собі: давайте розв'яжемо рівняння тільки в радикалах, тобто самі встановили для себе визначенні межі: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня (обчислення радикалів).
Але виявилось, що при цих обмеженнях не все виходить гладко. Тоді приходимо до висновку, що потрібно шукати способи розв'язання рівнянь не в радикалах, а в десяткових дробах.
Такі способи - їх називають методами наближеного розв'язання рівнянь - існують. Вони дозволяють розв'язувати і ті рівняння, які в радикалах не розв'язувалися, дозволяють одержати значення кореня рівняння з будь-якою точністю і зручні до застосування в ПК.
Методи наближеного розв'язування рівнянь вивчаються в математичному аналізі.
Сьогодні в багатьох вищих навчальних закладах вивчається розділ математики, який називається аналітична геометрія.
А
Математика вчить мислити й разом з тим вселяє віру в безмежні сили людського розуму. Вона виховує волю, характер
В.О.Сухомлинський
 щоб зрозуміти цю назву, пригадаємо, що в Європі далеко не всі математики в середні віки визнавали слово "алгебра" і частіше говорили про „аналітичне мистецтво", тобто мистецтво аналізувати, досліджувати задачі з допомогою рівнянь.
Розмірковуючи про рівняння, прослідковуються прагнення математиків до узагальнення, до пошуків виходів у нові області математики, до нових ідей.
Крокуючи етапами розвитку історії про рівняння, розглянемо типи рівнянь вищих степенів та способи їх розв'язання детальніше і розпочнемо роботу із раціональних виразів з однією змінною.
Раціональні вирази з однією змінною.
У курсі елементарної алгебри поняття раціонального виразу із змінною відіграє суттєву роль. У понятті раціонального виразу узагальнюються відомі нам поняття одночлена, многочлена, алгебраїчного дробу.
Областю існування (визначення) раціонального виразу із змінною називають множину всіх значень змінної, при яких цей вираз має певне числове значення (має зміст).
Множину всіх числових значень раціонального виразу в області його існування називають областю його значень.
Приклад. Знайдемо область існування раціональних виразів
 та 
В ідповідь:  та 
Ц
Математика є кращий і навіть єдиний можливий вступ до вивчення природи
Д.І.Писарєв
ілі раціональні вирази P(x) і Q(x) називають тотожно рівними, якщо вони набувають однакових значень при одних і тих самих значеннях змінної x, і записують
P(x) = Q(x).
Приклад. Доведемо що цілі раціональні вирази
 і  тотожно рівні.
Розв'язання. Маємо Д(Р) = Д(Q) = R a6o  .
Крім того,  ,  .
Отже, P(x) = Q(x).
Тотожні перетворення раціонального виразу дають змогу звести його до простішого, так званого канонічного вигляду, якими є:
а) одночлен  ;
б) многочлен  ;
в) нескоротний раціональний дріб 
 .
Приклад. Запишемо многочлен  в канонічному вигляді:
 ,
тобто
а0 = 1; a1 = 0; а2 = 0; а3 = 27.
Цілком зрозуміло, що два многочлени одного степеня, записані в канонічному вигляді, тотожно рівні тоді і тільки тоді, коли рівні коефіцієнти при однакових степенях змінної. Наприклад, многочлени  і  будуть тотожно рівними, якщо а = 0, b = 3, с = 1, d = 7.
Розклад многочлена на множники. Теорема Вієта.
Квадратний тричлен  що має дійсні і різні корені  та , розкладається на множники: 
Залежності між коренями рівняння та його коефіцієнтами визначаються формулами Вієта. Для многочлена другого степеня  формули Вієта мають вигляд:
Для кубічного многочлена  такі:
Взагалі для многочлена  го степеня
маємо відповідні залежності
При розкладі многочлена на множники перевірку наявності у нього дійсних коренів доцільно проводити за наступними правилами, що ґрунтуються на формулах Вієта за умови неперервності:
1. Якщо степінь многочлена непарний, а коефіцієнти дійсні числа, то він має хоча б один чи непарну кількість дійсних коренів. У випадку парного степеня многочлен може мати парну їх кількість, або ж зовсім їх не мати.
2. Якщо зведений (а0 =1) многочлен з цілими коефіцієнтами має цілі корені, то всі вони є дільниками вільного члена .
3. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь  і дріб нескоротний, то  є дільником ;  - дільником а0
4. Якщо на кінцях деякого відрізка  значення многочлена мають різні знаки, то на інтервалі  існує принаймні один корінь цього многочлена.
Якщо доручити двом людям, один з яких математик, будь-яку незнайому йому роботу, то результат завжди буде однаковим: математик зробить краще
Г.Штейнхаус
|