Іноді говорять так: алгебра тримається на чотирьох китах рівняння, число, тотожність, функція

Скачати 382.28 Kb. Назва Іноді говорять так: алгебра тримається на чотирьох китах рівняння, число, тотожність, функція Сторінка 2/4 Дата 11.12.2013 Розмір 382.28 Kb. Тип Документи bibl.com.ua > Математика > Документи

Раціональні алгебраїчні рівняння. а) біквадратне рівняння ах4+вх2+с =0 внаслідок заміни х2 = t, t > 0 зводиться до системи . Взагалі, рівняння зводиться до квадратного рівняння , де t =хn Рівняння виду , називають тричленним рівнянням, де m і n - цілі невід'ємні числа, а коефіцієнти a, b, c - числа, відмінні від нуля. Приклад 1. Розв'язати рівняння . Розв'язання: Позначимо тоді рівняння запишемо так: , звідки і . Таким чином, дане рівняння еквівалентне сукупності рівнянь , розв’язуючи яку знаходимо . В Справжній математик завжди великою мірою художник, архітектор або й поет А.Прінгсгейм ідповідь: . Рівняння більш загального вигляду , де задана функція від невідомого х, розв'язується замінною . Приклад 2. Розв'язати рівняння . Розв'язання: Позначимо , отримуємо рівняння , звідки Таким чином, вихідне рівняння еквівалентне сукупності рівнянь Перше рівняння цієї сукупності коренів не має, так як при будь-якому х. Із другого рівняння одержуємо , aбo . Коренями даного рівняння є числа і Відповідь: , . б) Алгебраїчні рівняння n-гo степеня. Відомо, що алгебраїчне рівняння n-гo степеня де має не більше коренів. Зауважимо, що дане рівняння завжди має хоча б один дійсний корінь, якщо , і може не мати дійсних коренів, якщо . У Поет слідує своїм почуттям, у той же час він незримо керується законами математики М.Лобачевський загальному випадку при розв’язуванні рівняння використовуються різноманітні методи (виділення повного квадрата, групування, підстановка та ін.), а також властивості многочлена Мають місце наступні твердження: Якщо рівняння має раціональний корінь , то є дільником числа . Зокрема його цілими коренями можуть бути тільки числа . Я М.І.Лобачевський кщо рівняння (1) має корінь х=а, то многочлен (2) можна розкласти на множники: , де - деякий многочлен степеня . Якщо на кінцях деякого відрізка значення многочлена мають різні знаки, то на інтервалі існує принаймі один корінь цього многочлена Методи розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів. Лінійні і квадратні рівняння можна розв’язати, тобто корені цих рівнянь можна виразити через їх коефіцієнти за допомогою скінченої кількості дій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня. У цьому разі прийнято говорити, що рівняння розв’язується в радикалах. Будь-яке кубічне та рівняння четвертого степеня також можна розв’язати в радикалах. Так, для коренів рівняння відомою є формула, що носить ім'я італійського математика Дж. Кардано (1501-1576 рр.): Формулу розв'язування рівнянь четвертого степеня винайшов учень Кардано Л.Феррарі (1522-1565 рр.). Д Елементарні знання з математики або вміння користуватися буквеними формулами необхідні майже кожному майстру або кваліфікованому робітнику А.М.Колмогоров ля алгебраїчних рівнянь вищих степенів не існує єдиного загального методу розв'язування. Методи розв'язування алгебраїчних рівнянь базуються на загальному підході, коли дане рівняння поступово замінюється простішим. Для побудови ланцюжка рівносильних рівнянь суттєвою є транзитивна властивість відношення рівносильності: якщо перше рівняння рівносильне другому рівнянню, а друге - третьому, то останнє рівносильне першому. Серед основних методів розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів виділимо методи розкладання на множники та заміни змінної. А.М.Колмогоров а) метод розкладання на множники. З З покликання ми насправді поети, тільки обов’язок наш – усе, що вільно творимо, пильно після доводимо Л.Кронекер агальний спосіб розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом розкладання на множники базується на основній теоремі алгебри та застосуванні теореми Безу і теореми Вієта. Використання методу невизначених коефіцієнтів, схеми Горнера або ділення многочлена „кутом" дає можливість послідовно понижувати степінь многочлена, що стоїть у лівій частині алгебраїчного рівняння. Зрештою, будь-який многочлен степеня n > 1 з коефіцієнтами з кільця цілих чисел розкладається на добуток лінійних двочленів і квадратних тричленів з дійсними коефіцієнтами та від'ємними дискримінантами, і задача розв'язування квадратних і лінійних рівнянь вирішується. Суттєвою в обґрунтуванні цього методу є така теорема. Теорема. Нехай задано рівняння: (1) Якщо функцію f можна подати у вигляді добутку функцій , кожна з яких має ту саму область визначення А, то множина розв'язків рівняння (1) є об'єднанням розв'язків рівнянь . Доведення: Нехай - корінь рівняння (1). Тоді . (2) Це можливо, коли один з множників дорівнює нулю. Тому один з коренів рівняння (1) є коренем одного з рівнянь (2). Справджується й обернене твердження. Справді, якщо - корінь одного з рівнянь (2) та , тобто корінь довільного з рівнянь (2) є одночасно і коренем рівняння (1). Теорему доведено. Розв'яжемо рівняння. Розв'язання: Оскільки а3 =10; а0 =1, то раціональні корені рівняння можуть бути лише серед чисел ± 1, ± 2, ± 5, ± 10. Аналіз значень коефіцієнтів показує, що рівняння додатних коренів не має. Залишилось випробувати числа -1, -2, -5, -10. Серед них корінь многочлена. Тоді Відповідь: Треба було повністю забути історію науки, аби не згадати, що прагнення пізнати природу мало самий постійний і самий щасливий вплив на розвиток математики А.Пуанкаре Розв'язання: Оскільки за теоремою Вієта, добуток коренів зведеного рівняння дорівнює вільному членові, то цілочислові корені будемо шукати серед дільників вільного члена : ± 1; ± 2; ± 3; ± 6. Нехай 1., тоді, отже не є коренем; 2. , тоді , отже, є корінь рівняння. Ділимо , маємо . Прирівнюючи до нуля частку , одержимо ще два корені: , отже відповідь Розв'язання: Запишемо Відповідь: . б) метод невизначених коефіцієнтів. Існують різні способи розкладання многочленів на множники. Одним з таких способів є метод невизначених коефіцієнтів. Його ідея міститься у визначенні тотожної рівності двох многочленів. Два многочлени можуть бути тотожно рівними тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х рівні між собою, тобто при , маємо Н Найвище призначення математики – знаходити порядок у хаосі, який нас оточує! Н.Віннер ехай відомо, що в результаті деяких перетворень утворюється деякий многочлен, коефіцієнти якого невідомі. Ці коефіцієнти позначають буквами і розглядають як невідомі. Далі для визначення цих невідомих коефіцієнтів складається система рівнянь. Пояснимо на прикладі. При яких значеннях і многочлен ділиться без остачі на тричлен? Розв'язання: Подамо многочлен четвертого степеня у вигляді добутку двох квадратних тричленів: або після перетворення маємо . Прирівнюючи коефіцієнти при і вільні члени, дістаємо систему: , Звідки . Відповідь:

---

Схожі:

Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові...	З використанням тестових технологій. Алгебра 7-10 Розділ: Рівняння Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповіді, якщо два корені – запишіть їх суму
Самостійна робота №5 Рівняння. Кут. Позначення кутів. Види кутів. Вимірювання кутів Варіант 1 ...	8-й клас. Алгебра Цілі вирази. Тотожні вирази. Тотожність. Степінь з натуральним показником і його властивості. Одночлени і многочлени та дії над ними....
ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ Вивчати, пізнавати, приховувати, сприймати різницю// тотожність чого-небудь. Різниця в поглядах, у ставленні до кого-небудь. //Тотожність...	АЛГЕБРА Самостійні і контрольні роботи складені за посібником “А. Капіносов. Алгебра. 7 клас. Систематичний курс”, рекомендованим Міністерством...
АЛГЕБРА Самостійні і контрольні роботи складені за посібником “А. Капіносов. Дидактичні матеріали. Алгебра, 8 клас”, рекомендованим Міністерством...	Профілактика професійного вигорання В останні роки в Україні, так само як і в розвинених країнах, все частіше говорять не тільки про професійний стрес, але і про синдром...
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; по­глибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...	«Математика розум до порядку приводить» ці слова належать великому... Це дійсно так. Адже однією з найбільш важливих характеристик мислення є його логічність, можливість робити правильні висновки, аналізуючи...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання Портал навчання

---