Дипломної педагогіческої освіти. Математична логіка
|
|
Скачати 0.83 Mb.
|
|
Вгадати вік Щоб різноманітити фокус, можна запропонувати помножити число років на 2, додати 5, а суму знову помножити на 5; попросити сказати результат. Остання цифра результату, очевидно, буде 5. Треба її відкинути, а від числа, яке лишилось, відняти 2. Різниця — шуканий вік. Приклад. Нехай вік 21 рік. Виконаємо такі дії: 21 – 2 = 42, 42 + 5 = 47, 47 – 5 = 235. Вгадуємо вік: 23 – 2 = 21. 3.3. СОФІЗМИ Арифметика — наче вхідна брама до всіх інших наук, бо без її пізнання ніхто не може зробити жодного кроку вперед до храму науки... ФЕОФАН ПРОКОПОВИЧ ПЕРША НЕСПОДІВАНКА 3 = 5? Знайдіть помилку у міркуваннях. Маємо очевидну рівність 25 — 15 — 10 =15 — 9 — 6, звідки 5(5 — 3 —2) = 3(5 — 3 —2), або 5 = 3 ЦІКАВІ ЗАДАЧІ  Не потрібно плутати те, що нам здається неймовірним і неприродним, з абсолютно неможливим. К. Ф. Гаусс 1. Переглядаючи науково-популярний журнал, учень натрапив на повідомлення про різні вдосконалення в роботі парової машини, кожне з яких, незалежно від інших, давало значну економію пального. Перше вдосконалення мало дати 40% економії, друге — 35%, третє — 25%. — Ура! — вигукнув учень.— Нарешті винайдено вічний двигун. Прийнявши всі три пропозиції, дістанемо 100% економії пального: 40% + 35% + 25% = 100%. А це означає, що парова машина працюватиме без використання пального, тобто стане вічним двигуном. Чи справді це так? Розв’язання. Нехай машина потребує 100 кг пального. Впровадження пропозиції першого раціоналізатора дасть 40 кг економії, і пального потрібно буде 100 – 40 = 60 кг. Впровадження другої пропозиції (незалежно від першої) дасть економії 21 кг (60 × 35% = 21 кг), і машина після цього потребуватиме 60 – 21 = 39 (кг) пального. Впровадження третьої пропозиції дало б 39 × 25% = 9, 75 (кг) економії пального, і для роботи машини після впровадження всіх трьох пропозицій потрібно було б витрачати 39 – 9,75 = 29,25 (кг) пального. Тому економія від впровадження всіх трьох пропозицій становитиме 70,75 %. 2. На складі є 100 кг ягід. Проведений аналіз показав, що в ягодах міститься 99% води. Через деякий час аналіз повторили. Виявилося, що кількість води в ягодах зменшилася до 98%. Яку масу тепер мають ягоди? 3. Підступний заповіт. Французька графиня Елізабет-Анжеліка де Боутвіль овдовіла в 20 років. Її люблячий чоловік — губернатор Сенліса залишив такий заповіт: за перший рік після його смерті вдові має виплачуватися 1 золота монета, а якщо вона не вийде знову заміж, кожного наступного року вона має одержувати вдвічі більше, ніж попереднього. Графиня прожила ще 69 років і не вийшла знову заміж. На яку суму грошей вона отримала право?Відповідь. На суму 147 573 952 314 798 506 112 золотих монет. Такої суми грошей не існує в усіх банках світу 4. Візьміть аркуш паперу завтовшки, наприклад, 0,1 мм. Складіть його пополам, потім ще раз пополам і т. д. Звичайно, виконати таку операцію ви зможете разів 8—10, не більше. Але якщо б вам вдалося зробити це, скажімо, 40 раз, якої товщини досяг би складений аркуш паперу? Розв’язання. Товщина стосу аркушів паперу буде в  разів більша ніж товщина взятого аркушу паперу, тобто становитиме1 ×  = 109 951 162 777,6 мм, близько 110 тис. км. Це трохи більше, ніж третина відстані від Землі до Місяця5. Куди поділася 1 копійка? (Із задач Л. М. Толстого). Дві селянки продавали яблука, кожна по 30 штук. Перша продавала за 1 Копійку 2 штуки, а друга за 1 копійку — 3 штуки. Перша вторгувала 15 копійок, друга — 10 копійок. Якось друга селянка не змогла піти на базар і попросила першу продавати її яблука. Та продавала 5 яблук за 2 копійки, оскільки вона за 1 копійку продавала свої 2 яблука, а її сусідка — за 1 копійку 3 яблука.У першої селянки було тепер 60 яблук. Вона зробила 12 купок по 5 яблук, продала кожну за 2 копійки і була здивована, що вторгувала не 25, а тільки 24 копійки. Куди поділася 1 копійка? Розв’язання. Першого разу селянка продавала свої яблука по 0,5 коп., а другого разу свої і сусідчині продавала по 0,4 коп., тому вона втратила на своїх яблуках (0,5 – 0,4) × 30 = 3 (коп.), але за яблука сусідки вона вторгувала більше, ніж вторгувала б сусідка на (0,4 – 1/3) × 30 = 2 (коп.). Отже, загальна втрата й становить 3 – 2 = 1 (коп.). 6. Де ще один франк? Ввечері до готелю французького міста приїхали три туристи. Господар повідомив, що нічліг буде коштувати кожному 10 франків. Але коли гості розрахувалися і розмістилися в кімнатах, господар вирішив, що йому буде досить 25 франків і доручив посильному повернути туристам 5 франків. Посильний, не знаючи, як розділити 5 франків між трьома туристами, вирішив для простоти обчислень залишити собі 2 монети, а туристам повернув по одній монеті, і всі були задоволені. Потім він підвів підсумок і був здивований, бо вийшло ось що: гості заплатили разом 9 • 3=27 франків, два франки посильний залишив собі. Отже, всього від подорожніх одержали 27 + 2=29 франків. Але ж господар одержав спочатку 30 франків? Куди ж подівся 1 франк? Розв’язання. Посильний був нечесний і погано знав арифметику. Коли господар готелю повернув 5 франків, у нього залишилося 25 франків. Але кожний турист одержав назад по 1 франку, тобто вони сплатили 27 франків, а це на 27—25 франки більше, ніж одержав господар готелю. Це і є ті 2 франки, які привласнив собі посильний. 3.4. МАТЕМАТИКА + ЛІТЕРАТУРА = ? Математику й письменство інколи ставлять на протилежних олюсах людського знання. Проте мости між літературою й точними науками ніколи не були розведеними. Бо не можна відділити людський інтелект від емоцій. І холодні формули не ізольовані від гарячого випромінювання людських почуттів. «Дедалі мистецтво стає науковим, а наука —художньою; розлучившись біля підніжжя, вони зустрінуться коли-небудь на вершині», — сказав Г. Флобер. З різних причин математика проникала в літературу, навіть тому, що осягнення драматичного змісту життя потребувало його логічного впорядкування. І тут, зрозуміло, йдеться зовсім не про математизацію літератури. Разом з тим кузен Жюля Берна математик Анрі Гарсе зробив на його прохання обчислення для його роману «Із Землі на Місяць», які обґрунтовували можливість міжпланетної подорожі, якщо відразу снаряду буде надано початкової швидкості 11 км/сек. Математичні викладки внесені в текст роману.Цей приклад не виняток у красному письменстві. Та хіба може бути інакше? Адже розв'язування задач — основа всього нашого існування. Великі й малі, вони атакують нас щоденно, щогодинно. Шерлок Холмс не стільки шукав злочинців, скільки обчислював їх за допомогою логічного аналізу наявних, як правило, досить незначних фактів. Вивчення математики в школі часто залишає сліди на все життя. І не завжди приємні. В «Автобіографії», відомому творі класика сербської літератури Бранислава Нушича, першому коханню відведено 7 сторінок, а шкільній математиці — 12. Наведеними далі прикладами освоєних письменниками островів безмежного океану математики прагнемо рівною мірою привернути увагу читачів до математики і до літератури — двох могутніх знарядь пізнання і перетворення навколишнього світу, частиною якого є й сама людина. Почнемо з часів майже апокрифічних. У IV ст. жив грецький епіграміст, автор праць з географії й астрономії Метродор. В історію математики й математичних головоломок він ввійшов як автор понад 30 цікавих задач, складених у віршованій формі. Задачі Метродора входили в рукописні збірники і в свій час були дуже поширеними. Дві епіграми із спадщини Метродора в перекладі українською мовою І. Я. Франка і відкривають цей розділ. 1. Учні Піфагора «Піфагоре благородний, Геліконських муз потомку, На моє скажи питання, Скільки учеників годних Маєш ти у своїм домі, Що, немов борці на площі, Раді премії добиться?» «Радо скажу, Полікрате. Бачиш, учнів половина Математику зглубляє, А натомість четвертина На безсмертную природу Свої досліди звертає. Сьома часть ніщо не робить, Лиш заховує мовчання, Лиш моє у душах своїх, Знай, ховаючи мовчання. Ще додай до них три жінки, Що встають не дуже рано,— Серед них найвизначніша Моя любая Теано. Ось і всі, яких по змозі Я до мудрості доводжу,— Може, муз їм пієрійських Позискаю ласку божу». Скільки ж учнів у Піфагора? Відповідь. 28 учнів. 2. Коли Санчо Панса вступав на високу посаду губернатора острова Бараторія, він заприсягнувся дотримувати всіх законів. Скоро його попросили порадити, як можна виконати один дуже дивний закон у не дуже дивній ситуації.Річка поділяє маєток на дві частини. Через річку перекинуто міст, тут же, скраю, стоїть шибениця і постійно засідає щось на зразок суду, який діє на основі суворого закону власника маєтку. Кожен, хто приходить до мосту, зобов'язаний сказати, куди й чого він іде. Хто скаже правду, наказано відпускати, того ж, хто збреше,— карати без усякої поблажливості. За час дії закону багато людей пройшло по мосту, говорили правду і простували далі в своїх справах. Та якось один пішохід заявив суду, що пройшов тільки тому, щоб його скарали на шибениці, яка стоїть поруч. Слова пішохода збентежили суддів. Якщо дозволити йому без перешкод іти далі, то це означатиме, що він сказав неправду і заслуговує покарання; якщо ж його скарати, то, оскільки він і казав, що прийшов саме тому, щоб його скарали, пішохода згідно із законом необхідно відпустити.Санчо Панса вважав, що в пішохода-дивака стільки ж шансів умерти, скільки й лишитися живим. Отже, є однакові підстави, щоб його скарати і виправдати. Оскільки ж робити добро завжди правильніше, ніж зло, то дивака варто відпустити. Чи буде при цьому дотримано закону власника помістя? Вказівка. Потрібно розрізняти намір пішохода-дивака і майбутню подію, незалежну від його наміру. Якщо йшлося про намір дивака закінчити своє життя на згаданій шибениці, то він міг сказати правду (тобто й справді міг хотіти розпрощатися з життям у такий спосіб). У цьому випадку його бажання не могли задовольнити судді, і ніякої суперечності тут не виникає. Закон власника помісти тут виконаний. Якщо ж висловлене диваком твердження стосувалося майбутньої події незалежно від його бажання, то воно стає парадоксом. Будь-який вирок суддів суперечитиме закону. Вміщені в «Мудрості вимислу» й цікаві задачі, які й сьогодні служать надійним знаряддям тренування кмітливості і винахідливості. 3. І. А. Крилов у байці «Бідний багач» розповів таку історію. До бідняка з'явився чорт і подарував йому чарівний гаманець з одним червінцем усередині. Як тільки З гаманця виймали червінець, у ньому з'являвся другий. Бідняк міг вийняти з гаманця скільки завгодно червінців з однією лише умовою: перш ніж почати витрачати їх, він повинен був кинути в річку гаманець.Бідняком оволоділа жадібність. Він діставав з гаманця червінець за червінцем. ...Проходит день, неделя, месяц, год... По чуть лишь день, а он опять за ту ж работу..,. Бедняк мой похудел... Он стал и слаб и хил... И чем же кончил он? На лавке, где своим богатством любовался, На той же лавке он скончался, Досчитывая свой девятый миллион. Скільки часу могла тривати така історія? Розв’язання. Припустимо, що бідняк дістав двісті червінців за годину й працював по 15 годин на день. Тоді він діставав 3000 червінців за день і близько 1 000 000 за рік.Отже, гаманець був у його руках понад дев'ять років. За цей час можна посивіти ... Крилов обґрунтував свою байку математично. Сучасники М. Ю. Лєрмонтова, які близько знали його, розповіли про математичні захоплення поета. Так, О. О. Лопухін, товариш Лєрмонтова по кавалерійському училищу, писав, що одного разу, приїхавши до нього в Москву, Лєрмонтов замкнувся в кабінеті і до пізньої ночі розв'язував якусь математичну задачу. Не розв'язавши її, змучений поет заснув. Задачу він розв'язував уві сні. Йому приснилося, що прийшов якийсь математик і підказав йому розв'язання задачі. Поет успішно демонстрував свою математичну вправність і в зовсім несподіваних ситуаціях. 4. На початку 1841 р. Тенгінський полк стояв у Анапі. Нудьгуючі офіцери, серед них і Лєрмонтов, збиралися один в одного. Якось мова зайшла про вченого кардинала, який міг розв'язувати в думці найскладніші математичні задачі. — Що ви скажете на це, Лєрмонтов? — звернувся до поета поважний командир, старий батальйонний з Георгієм. — Кажуть, ви теж добрий математик? — Нічого тут дивного немає, — відповів поет. — Я теж можу продемонструвати вам, якщо хочете, дуже цікавий приклад математичних обчислень. — Будь ласка. — Задумайте яке завгодно число, і я за допомогою простих арифметичних дій визначу це число. — Ну що ж, спробуйте, — розсміявся старий, який, мабуть, відчув сумнів. — Але яке ж велике має бути задумане число? — А це вже байдуже. Та на перший раз, щоб швидше обчислювати, обмежимося числом з двох цифр...Математична логіка Поет запропонував батальйонному додати до задуманого числа 25, потім ще 125, від суми відняти 37 і задумане число, різницю помножити на 5, добуток поділити на 2 і назвав остаточний результат: 282. Командир аж підскочив від здивування, назвавши поета ворожбитом. — Ворожбит не ворожбит, а математику вивчав,— усміхнувся Лєрмонтов. Старий ще раз випробував математичний хист Лєрмонтова. Після цього, де б поет не з'являвся, до нього зверталися з проханням відгадати задумане число. Через кілька днів, коли замовлення набридли поету, він розкрив таємницю своєї математичної ворожби. У чому полягала ця таємниця? Відповідь. Вона полягає в тому, що людина, яка задумала число, яке б воно не було, потім віднімає це число від суми того самого числа і деяких інших підказаних чисел. Тому демонстратору математичного фокуса легко підрахувати остаточний результат. Наприклад: ((х + 100 + 206 + 310 + 500 – х) : 2) × 3 = 174. 3.5. ГОДИННИК І КАЛЕНДАР 1. Чи може в деякому місяці бути 5 неділь? Розв’язання. Для того, щоб у місяці було 5 неділь, його початок повинен і припадати на неділю (якщо в місяці 28 днів), або на суботу чи неділю (якщо в місяці 29 днів), або на п'ятницю, суботу чи неділю (якщо в місяці 31 день). 2. Чи може місяць одночасно мати п'ять неділь і п'ять серед? 3. Яка найбільша кількість п'ятниць може бути у році? 4.У липні деякого року було чотири п'ятниці і чотири понеділки. Яким днем тижня було 22 число цього місяця? 5. У деякому місяці було чотири понеділки, п'ять четвергів та чотири суботи. Яким днем тижня було 20 число цього місяця? Розв’язання. Якщо в місяці 29 днів, то вівторком; якщо в місяці 30 днів, —понеділком або вівторком; якщо в місяці 31 день, — неділею. 6. Михайлик каже: «Позавчора мені було ще тільки 10 років, а наступного року буде 13». Коли у Михайлика день народження? Розв’язання. Якщо Михайликові 31 грудня виповниться 11 років, то 1 січня він дійсно зможе сказати, що позавчора, тобто 30 грудня, йому було тільки повних 10 років. 31 грудня поточного року йому виповниться 12, а наступного року 13. 7. Якось перший вівторок місяця я провів у Києві, а перший вівторок після першого понеділка — у Львові. У наступному місяці я перший вівторок провів у Одесі, а перший вівторок після першого понеділка — у Миколаєві. Якого числа і якого місяця я був у всіх цих містах? Розв’язання. 1 лютого — у Києві, 8 лютого — у Львові; 1 березня -— в Одесі, 8 березня — в Миколаєві. 8. Зараз Михайликові 11 років, а Андрійкові 1 рік. Скільки років буде Михайликові та Андрійкові, коли Михайлик буде втричі старший від Андрійка? Розв’язання. Оскільки Михайлик буде втричі старший від Андрійка, то різниця у їхньому віці дорівнюватиме подвоєному віку Андрійка. Вікова різниця не змінюється з часом, тобто вона дорівнює 11 – 1 = 10. Отже, Андрійкові буде 5, а Мишкові — 15 років. 9. Батькові стільки років, скільки синові та доньці разом. Син удвічі старший від сестри і на 20 років молодший від батька. Скільки років кожному? 10. Батько старший від сина у 4 рази. Через 20 років він буде удвічі старший від сина. Скільки років зараз батькові? 11. Усім членам однієї родини разом зараз 73 роки. До складу сім'ї входять: чоловік, дружина, донька та син. Чоловік старший від дружини на 3 роки, донька старша від сина на 2 роки. Чотири роки тому їм разом було 58 років. Скільки зараз років кожному? Зміст Вступ 2
3.2 Математичні фокуси. 43 3.3. Софізми 45 3.4. Математика + література = ? 47 3.5. Годинник і календар 50 Використана література 1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів: Математика. 5–11 класи. К., 2012. 2. Буковська О.І. Математична логіка. 5-9 класи. – Х.: Основа, 2005. 3. Басанько А.М., Романенко А.О. За лаштунками підручника з математики. 5-7 клас. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2005. 4. Богданович М. Математичне джерельце. – К.: Веселка, 1988. 5. Коба В.І., Хмура О.О. Позакласна робота з математики в школі. – К.: Радянська школа, 1968. 6. Кордемський Б.А. Математична кмітливість. – К.: Радянська школа, 1958. 7. Конфорович А.Г. Добрий день, Архімеде. – К.: Молодь, 1988. 8. Конфорович А.Г. Математичні софізми і парадокси. – К.: Радянська школа, 1983. 9. Лукавецький В.І., Маланюк М.П. Олімпіади юних математиків. – К.: Радянська школа, 1985. 10.Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. 11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1986. 12. Підручна М. В., Янченко Г. М. Позакласна робота з математики. - Тернопіль, 2001
|
Схожі:
|
Дипломної роботи магістра РОЗДІЛ ОЦІНЮВАННЯ ЗА МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЮ СИСТЕМОЮ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ |
Дипломної роботи магістра РОЗДІЛ ОЦІНЮВАННЯ ЗА МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЮ СИСТЕМОЮ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ |
|
Дипломної освіти педагогічних працівників Тема : «Шляхи реалізації профільної освіти» Нові підходи до організації освіти в старшій школі закладено в Національній доктрині розвитку освіти (2002 р.), Законі України «Про... |
Дипломної педагогічної освіти ТЕМАТИКА випускних робіт, творчих проектів... |
|
1. ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧІ І ЛОГІКА КУРСУ „ЕКОНОМІКА ПРАЦІ І СОЦІАЛЬНО ТРУДОВІ ВІДНОСИНИ” ТЕМА ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧІ І ЛОГІКА КУРСУ „ЕКОНОМІКА ПРАЦІ І СОЦІАЛЬНО – ТРУДОВІ ВІДНОСИНИ” |
Міністерство освіти та науки України ДОНЕЦЬКА СПЕЦІАЛІЗОВАНА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА... Вам щиру подяку за піклування про дітей та співробітників школи, увагу до потреб освіти м. Донецька. Реалізовано основні регіональні... |
|
Методичні рекомендації до написання розділу магістерської (дипломної... Методичні рекомендації до написання розділу магістерської (дипломної ) роботи “Охорона праці” |
Академія логіки Логіка, 5-6 класи (факультативний курс) Буковська О. І. кандидат педагогічних наук, заступник директора з науково-методичної роботи ліцею «Престиж» м. Києва, вчитель-методист... |
|
Математична регата №1 |
Школи(спортивні,музичні,художні) Риторика, логіка та комп'ютерні ігри. Гуртки: музичний, спортивної боротьби, хореографічний |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua