Дипломної педагогіческої освіти. Математична логіка
|
|
Скачати 0.83 Mb.
|
22. «Вовк,козел і капуста» "З одного берега на іншій треба перевезти вовка, козу і капусту. Одночасно не можна ні перевозити, ні залишати разом на березі вовка і козу, козу і капусту. Можна перевозити тільки вовка з капустою чи ж кожного "пасажира" окремо. Можна робити скількох завгодно рейсів. Як перевезти вовка, козу і капусту, щоб усе обійшлося благополучно?"  2.5. ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ У своїй доповіді «Про професію математика» академік А. М. Колмогоров підкреслив, що навіть довести, що у хвойному лісі з восьмисот тисяч ялинок, на кожній з яких не більше 500 000 глиць, принаймні на двох ялинках число хвоїнок однакове, викликає труднощі у багатьох учнів. У олімпіадних задачах, які пропонувались за останні роки, логічний наголос ставився саме на таких запитаннях. Подібні задачі можна умовно назвати задачами на принцип Діріхле. Під цим принципом розуміють таке твердження: «Якщо п + 1 об'єктів розміщати на п місцях, то знайдеться принаймні два об'єкти, які розмістяться на одному і тому самому місці». Цей принцип допоміг німецькому математикові П.Діріхле (1805—1859) досягти значних успіхів у своїх дослідженнях з теорії чисел. У жартівливій формі принцип Діріхле часто формулюють так: «П'ять кроликів не можна посадити у чотири клітки так, щоб кожний з них сидів в окремій клітці». Розглянемо деякі задачі, які розв'язуються за допомогою принципу Діріхле. 1.У школі 740 учнів. Довести, що принаймні троє з них в один і той самий день святкують свій день народження. Доведення. Якби щодня двоє учнів святкували свій день народження, то в школі було б 732 учні. 2. Довести, що серед 101 цілого числа можна вибрати два, різниця яких ділиться на сто. Доведення. Нагадаємо, що при діленні числа на 100 може бути 100 остач: 0, 1, 2, ..., 99. Серед 101 остачі, які ми дістаємо від ділення даних в умові 101 числа на 100, принаймні дві однакові. Різниця цих двох чисел і ділиться на 100. 3. У школі 30 класів і 1000 учнів. Доведіть, що у школі є клас, в якому не менше 34 учнів. Доведення. Якби такого класу не було, то в школі було б не більше ніж 30·33=990 учнів. 2.6. КОЛА ЕЙЛЕРА  Розглянемо таку задачу. Із 52 школярів 23 збирають значки, 35 — марки, а 16 — і значки, і марки. Інші не займаються колекціонуванням. Скільки школярів не колекціонують нічого? В умові цієї задачі не так просто розібратися. Щоб легко розв'язати цю задачу, зобразимо її дані так, як показано на рисунку. Велике коло — всі школярі, про яких ідеться. Два менших кола — це значки, тобто школярі, які колекціонують значки (усього їх 23), та марки, тобто школярі, що колекціонують марки (усього їх 35). Ці кола перетинаються, бо сказано, що 16 школярів колекціонують значки і марки. Тому тільки значки збирають 23 – 16 = 7 школярів, тільки марки збирають 35 – 16 = 19 школярів. Усього марки і значки збирають 19 + 7 + 16 = 42 школярів. Залишається 52 – 42 = 10 школярів, що не займається олекціонуванням. Це число можна вписати у вільне поле великого круга. Такі схеми називаються колами (або діаграмами) Ейлера. ЗАДАЧІ 1. 35 учнів класу 12 брали участь у конкурсі декламаторів віршів, 10 — у конкурсі на найкращий малюнок, 4 брали участь в обох конкурсах. Скільки учнів не брали участі в конкурсах взагалі?  2.У групі з 80 туристів, що приїхали на екскурсію в Москву, 52 хочуть піти у театр, 30 — до музею, 12 хочуть піти у театр та у музей, інші в театр та музей йти не хочуть. Скільки туристів не збираються до театру та музею? 3. Олексій та Борис разом важать 82 кг, Олексій та Володя 83 кг, Борис та Володя 85 кг. Скільки разом важать Олексій, Борис та Володя? 4. Три качечки та чотири гусеняти разом важать 2 кг 500 г, а чотири качечки і три гусеняти 2 кг 400 г. Скільки важить одне гусенятко? Скільки важить одна качечка? 5.На склад доставили вантаж. На І і II склади доставлено 400 т, на II і ІІІ — 300 т, а на І і III — 440 т. Скільки тонн вантажу доставлено на кожний склад? 6.Серед студентів, присутніх у кімнаті, 6 знають англійську мову, стільки ж — німецьку і 7 студентів — французьку. Один студент знає всі ці три мови, чотири студенти знають німецьку й англійську, два — французьку і англійську і 3 студенти знають німецьку і французьку мови. Скільки присутніх у цій кімнаті, якщо кожний з них знає хоча б одну мову?  2.7. КОМБІНАТОРНІ ЗАДАЧІ Під час математичних змагань часто пропонуються різноманітні задачі, які вимагають уміння підраховувати кількість елементів заданої сукупності. Наводимо окремі задачі цього типу. 1. Скільки існує цілих додатних чисел, менших від 100, які: · діляться на 2 і 3; · діляться на 2, але не діляться на 3; · діляться на 3, але не діляться на 2; · діляться на 3 або на 2; · не діляться ні на 2, ні на 3? Розв'язання. Числа, які одночасно діляться на 2 і на 3, діляться на 6. Серед перших 99 додатних чисел є лише 16, кратних 6, або 6 · 16 + 3 = 99. Отже, чисел, які одночасно діляться на 2 і на 3, буде 16.Щоб знайти числа, які діляться на 2, визначимо кількість парних чисел, більших від 1 і менших від 99. Таких чисел буде 49, бо 49 · 2 + 1 = 99. Але серед цих парних чисел є і такі, які діляться на 3. Вище ми підрахували, що їх 16. Тому чисел, які діляться на 2, але не діляться на 3, буде 49 – 16 = 33. Чисел, які діляться на 3, буде 33. Оскільки 33 – 16 = 17, то цілих одатних чисел, менших від 100, які діляться на 3, але не діляться на 2, буде 17. Чисел, що діляться на 3 або на 2, буде 49 + 33 – 16 = 66. Якщо від 99 відняти попередній результат: 99 – 66 = 33, то дістанемо ті числа першої сотні, які не діляться ні на 2 ні на 3. 2. Скільки існує цілих додатних чисел, менших від 100, цифри яких ідуть: а) у зростаючому порядку; б) у спадному порядку; в) у не зростаючому порядку? Розв'язання. 1-й спосіб. Цифри додатного двоцифрового числа ідуть у зростаючому порядку тоді, коли перша цифра менша за другу. Однак незрозуміло, як бути з числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Перетворимо ці числа в двоцифрові, ставлячи перед кожним з них нуль: 1 = 01; 2 = 02; ..., 9 = 09. Випишемо підряд усі такі числа: 01, 02, 03, ..., 09, 12, 13, ..., 19, 23, ..., 29, 34, ..., 89 і перелічимо їх. Помічаємо, що в першому десятку їх 9, у другому — 8, у третьому — 7 і т. д. У дев'ятому десятку — 1, а в десятому їх взагалі не буде. Тому треба додати числа 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45. У випадку б) можна зробити такий самий підрахунок, як і у випадку а). Тоді відразу стане відомо, що відповідь така сама, як і у випадку а), бо якщо в кожному числі, цифри якого ідуть у зростаючому порядку, поміняти ці цифри місцями, дістанемо число, цифри якого йдуть у спадному порядку. До таких чисел, цифри яких ідуть у незростаючому порядку, відносяться числа, цифри яких ідуть у спадному порядку, і числа, обидві цифри яких однакові. Кількість чисел із зростаючим порядком цифр ми вже знаємо. Чисел з однаковими цифрами — 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Відповідь: 54 числа 2-й спосіб. Двоцифрових чисел, обидві цифри яких різні, 90, а чисел, менших від 100, цифри яких однакові — 9. Двоцифрові числа з двома різними цифрами діляться на два класи, що складаються з чисел із зростаючим порядком і чисел із спадним порядком цифр, причому кількість перших і других однакова. Отже, чисел із зростаючим порядком цифр буде 90/2 = 45. 3. Скільки існує натуральних трицифрових чисел, цифри яких записані в зростаючому порядку? Розв'язання. З трьох різних цифр можна утворити шість різних трицифрових чисел, серед яких лише в одному цифри йтимуть у зростаючому порядку. Тому шукані числа становитимуть шосту частину всіх трицифрових чисел з різними цифрами, тобто 120. 4. Скільки існує трицифрових чисел, перша цифра яких більша від двох інших, а друга — менша від третьої? Розв'язання. Таке число дістаємо з кожного трицифрового числа, цифри якого йдуть у спадному порядку, якщо в ньому переставити місцями другу і третю цифри. Таких чисел буде 120. 5. Чи існує дев'ятицифрове число, записане цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, з якого не можна викреслити жодних п’яти цифр так, щоб чотири цифри, які залишаться, були записані у зростаючому чи в спадному порядку? Розв'язання. Існують такі числа. Одним з них буде число 321 654 987. Якщо будь-які з цифр записані в спадному порядку, то вони обов'язково містяться в першій, або в другій, або в третій трійці. Тому в цьому числі неможливо вибрати більш як три цифри, записані у спадному порядку. Аналогічно доводиться, що неможливо вибрати більш як три цифри, записані у зростаючому порядку. 6.Скільки різних добутків, кратних 10, можна утворити з чисел 2, 3, 5, 7, 9? Розв'язання. Щоб добуток вибраних чисел ділився на 10, серед співмножників мають бути числа 2 і 5. З трьох чисел, що лишились, можна скласти 8 груп. Одна з них містить три числа, три містять по два числа і три — по одному числу. Восьма група не містить жодного з цих чисел. Отже, з цих п'яти чисел можна скласти 8 шуканих добутків. 7. Знайти суму цифр усіх шестицифрових чисел, які можна утворити за допомогою цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 (цифри в числах не повторюються). Розв'язання. Знайдемо всі шестицифрові числа, які можна записати за допомогою зазначених цифр, На перше місце можна поставити будь-яку з шести цифр, на друге — будь-яку з п'яти, що залишились після того, як вибрали першу цифру. Міркуючи так, визначимо, що всіх чисел буде 720. Сума цифр кожного з них одна і та сама — 27. Отже, сума цифр усіх чисел буде 19 440. 8. На площині 10 точок. Скільки існує відрізків, що сполучають ці точки? Розв'язання. Відповідь у цій задачі 45 відрізків. Щоб переконатись в цьому, позначимо 10 точок цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Розглянемо тепер будь-який відрізок, що сполучає ці точки.На кінцях відрізка стоять дві різні цифри. Поставивши їх у порядку зростання, дістанемо двоцифрове число із зростаючим порядком цифр.Отже, двом різним відрізкам відповідають два: різних: числа і двом різним числам – два різних відрізки. 9. Чи можна організувати такий турнір, щоб у ньому брало участь 40 команд і кожна команда зіграла рівно 3 матчі? Розв'язання. Позначимо кожну команду точкою, а кожний матч, зіграний двома командами, - дугою, яка сполучає пі точки. Тоді з кожної точки має виходити три дуги. Всіх матчів буде (40 · 3) / 2 = 60. 10. Чи можна організувати такий турнір, щоб у ньому брали участь 13 команд, і кожна команда зіграла рівно 5 матчів? Розв’язання. Як і в попередній задачі, підрахуємо кількість дуг, які відповідають зіграним матчам: (13 · 5) / 2 = 32,5. Кількість дуг не виражається цілим числом, тому такий турнір не можна провести. 3. МАТЕМАТИЧНА МОЗАЇКА 3.1. МАТЕМАТИЧНІ ІГРИ  Є ігри, успішне проведення яких залежить не від випадкового збігу сприятливих обставин, а від власної кмітливості і попереднього розрахунку. Той, хто вміє зробити розрахунок, що лежить в основі гри, стає володарем „секрету” гри, що забезпечує. йому перемогу над партнерами, які ще не опанували її математичної основи. Такі ігри мають властивості задач. З другого боку, елементи гри властиві майже кожній задачі типу „математичних розваг”. Одинадцять предметів На столі — одинадцять однакових предметів, наприклад сірників. Перший учасник гри бере собі з цієї кількості на свій розсуд 1, 2 або 3 предмети, потім другий учасник гри бере собі з числа предметів, які лишилися, також на свій розсуд, 1, 2 або 3 предмети. Потім знов бере перший і т. д. Так по черзі обидва гравці беруть щоразу не більш як по 3 предмети. Програє той, кому доведеться взяти останній предмет. Чи може гравець, який починає гру, поставити свого партнера перед необхідністю взяти останній предмет? Як треба вести гру, щоб виграти тоді, коли початкове число предметів 30? Розв’язання. Може. Попередній розрахунок зручніше починати „з кінця”. В останньому турі перший гравець повинен залишити для другого один предмет. Скільки предметів він повинен залишити другому гравцеві в передостанньому турі? Очевидно, 5. Справді, якщо тепер другий гравець візьме 1, 2 або 3 предмети, то перший гравець може взяти відповідно 3, 2 чи 1 предмет, і в усіх випадках для другого гравця залишається 5 – 4 = 1 предмет. Міркуючи аналогічно, знайдемо, що ще раніше перший гравець повинен залишити другому 9 предметів. Чи візьме тепер другий гравець 1, 2 або 3 предмети, перший гравець може взяти відповідно 3, 2 або 1 предмет і в усіх випадках для другого гравця залишається 9 – 4 = 5 предметів. Всього предметів 11. Отже, той, хто починає гру, повинен взяти 2 предмети, щоб залишити другому 9; у другому турі він повинен залишити другому 5 предметів, тоді в третьому турі він зможе залишити своєму партнерові 1 предмет і виграти гру. Кількості предметів, які перший гравець залишає другому (з кінця): 1, 5, 9, утворюють ряд чисел, в якому перше число 1, а кожне наступне більше від попереднього на 4. Продовжуючи цей ряд чисел далі, дістанемо ключ до виграшу гри у випадку ЗО предметів: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29. Отже, при ЗО предметах гравець, що починає гру, повинен взяти 1 предмет, залишивши своєму партнерові 29, і в кожному наступному турі залишати йому відповідно 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1 предметів. Взяти сірники останнім Змінимо основну умову попередньої гри. Нехай тепер гравець, який взяв сірники останнім, не програє, а виграє гру. Грають двоє і беруть по черзі, кожний на свій розсуд, будь-яку кількість сірників у межах від одного до шести. Як треба вести гру, щоб узяти сірники останнім, якщо спочатку на столі лежало 30 сірників? Розв’язання. Виграє той, хто на кінець гри залишить своєму партнерові 7 сірників. Справді, всі 7 сірників партнер взяти не може, а скільки б він не взяв у межах від одного до шести сірників, він сірники з стола візьме не останнім. У свою чергу, щоб мати можливість залишити партнерові 7 сірників, треба перед цим залишити йому 14 сірників, а ще раніше 21 і 28. Той гравець, що починає гру, повинен взяти 2 сірники, і тоді, додержуючи надалі зазначеного правила, він буде переможцем. Ви берете, наприклад, 2 сірники, а ваш «противник» 4 або 2 (парне число). Залишається 27 — 6 = 21 сірник або 27 — 4 = 23 сірники. Згідно з правилом ви берете2 сірники або 4, щоб залишити «противникові» 19. А коли «противник» взяв 3 сірники (непарне число), то залишилося 27— 5 = 22 сірники. Через те що до 17 сірників довести остачу ви не можете (не можна взяти 5 сірників), то вам треба взяти 4 сірники, щоб остача становила 18. Якщо «противник» взяв один сірник, то й вам треба взяти один сірник, щоб остача становила 27 — 4 = 23 сірники, і т. д. Хто перший скаже „сто”? Грають двоє. Перший учасник гри називає довільне ціле число, яке не перевищує десяти, тобто він може назвати 10 і будь-яке менше число. Другий гравець додає до цього числа своє ціле число, яке також не перевищує 10, і говорить суму. До цієї суми перший додає ціле число, яке знов-таки не перевищує 10, і говорить нову суму. До нової суми другий додає число, яке не перевищує 10, і т. д. доти, доки остаточна сума не дорівнюватиме 100. Перший може назвати, наприклад, 7, другий 12, перший 22 і т. д.Виграє той, хто перший скаже 100.Як перемогти? Знайшовши ключ до перемоги, обдумайте план ведення гри в інших умовах, наприклад, коли найбільша величина доданка дорівнює не 10, а якому-небудь іншому числу, і найбільша сума дорівнює не 100, а іншому наперед заданому числу. Розв’язання. Якщо ви хочете першим досягти 100, то вам першому треба досягти і 89. Справді, коли названу вами суму відокремлюватиме від 100 число 11, то, яке б число (десять чи менше) не додав ваш партнер, ви відразу знайдете доданок, який доповнює до 100 суму, названу партнером. Але для того щоб першим досягти 89, треба віддалити партнера і від цього числа на 11, тобто зуміти першим сказати 78. Продовжуючи ці міркування, ми дістанемо ряд таких чисел, називаючи які ви прийдете до фінішу першим. Починається цей ряд чисел з одиниці: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89-Тепер зрозуміло, що коли ви скажете 1, то, хоч би яке число (одинадцять чи менше) сказав ваш партнер, він не перешкодить вам сказати 12, потім 23, 34 і т. д. Запам'ятати цей ряд «ключових» чисел легко: в кожному десятку по одному числу, в якого число одиниць на одиницю більше від числа десятків.(Якщо партнер не знає «ключа» до гри, то він, звичайно, додаватиме числа, які випадково спали йому на думку, тому ви, повторюючи з ним гру, можете рискнути в межах першої половини сотні «замести сліди», не додержуючи «ключових» чисел). Гру можна різноманітити, змінивши граничний доданок і граничну суму. Нехай, наприклад, граничний доданок буде, як і раніше, 10, але гранична сума не 100, а 120. Віднімаючи послідовно від 120 по 11, знайдемо такі «ключові» числа: 10, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98, 109. Обізнаний з цим «секретом» виграє, якщо почне з числа 10. Нехай тепер граничною сумою буде 100, а граничним доданком буде не 10, а 8. Тоді «ключові» числа знайдемо відніманням по 9 від 100 і від кожної утвореної різниці: 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91. І у даному випадку виграє той, хто починає гру і знає її «секрет».Але коли взяти як граничний доданок число 9, то числами, які треба мати на увазі, будуть 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10. У цьому випадку бажаючий виграти не повинен починати гру, якщо, звичайно, партнер знає «секрет» перемоги.  3.2. МАТЕМАТИЧНІ ФОКУСИ Велике враження на учнів справляє демонстрування того або іншого математичного фокуса. Основною темою арифметичних фокусів є вгадування задуманих чисел або результатів над ними. „Секрет” цих фокусів в тому, що „відгадник” знає й уміє використати особливі властивості чисел, а той, що задумує, цих властивостей не знає.Математичний інтерес кожного фокуса і полягає у „викритті” його теоретичних основ, які здебільшого бувають дуже прості, але хитро замасковані.Здійсненність кожного фокуса можна перевірити на будь-якому прикладі, але для обґрунтування більшості арифметичних фокусів найзручніше вдатись до алгебри. На перших порах ви можете проминути „доведення” фокусів, а обмежитись лише засвоєнням їх змісту, щоб показати їх своїм товаришам. Проте й доведення не перевантажать тих, хто любить міркувати й обізнаний з початками алгебри. Фокус 1. Задумайте число. Відніміть 1. Остачу подвойте і додайте 20 число. Скажіть результат. Я вгадаю задумане число. Фокус 2. Задумайте яке-небудь число (менше 100, щоб не ускладнювати обчислень) і піднесіть його до квадрата. До задуманого числа додайте будь-яке число (тільки скажіть, яке) і знайдену суму також піднесіть до квадрата. Знайдіть різницю знайдених квадратів і скажіть результат. Щоб вгадати задумане число, досить половину цього результату поділити на число, додане До задуманого, а від частки відняти половину дільника.  Приклад. Задумано 53,  =2809 До задуманого числа додано 6: 53 + 6 = 59  = 3481, 3481 — 2809 = 672. Цей результат сказано. Вгадуємо: 672 : 12 = 56, 6 : 2 = 3, 56 – 3 = 53. Задумане число 53.Наступні два фокуси ілюструють це положення. Ці фокуси можна проводити як з одним учасником, так і з групою учасників. Фокус3. Запропонуйте помножити задумане число на довільно вибране вами число, а до знайденого добутку додати число, також довільно вами вибране. Суму запропонуйте поділити на третє намічене вами число. Ви в цей час поділіть у думці перше з названих вами чисел на третє і, діставши в частці якесь число, запропонуйте учасникові фокуса стільки ж разів відняти від знайденої ним частки задумане число. Цей останній результат ви і вгадаєте. Він дорівнюватиме частці від ділення другого з запропонованих вами чисел на третє. Приклад. Припустимо, що задумано 6. Ви пропонуєте помножити задумане число на 4 (запам'ятайте для себе це число, як перше). Виходить 24. Пропонуєте додати 15 (друге число); виходить 39. Пропонуєте поділити на 3 (третє число); виходить 13. Обчислення в думці: 4 : 3 = 1 1/3. Пропонуєте учасникові фокуса відняти від знайденої ним частки (від 13) задумане число та ще одну третину його. Він віднімає 6 та ще 2 — всього 8 і дістає 13 — 8 = 5. Ви в цей час в думці ділите друге з запропонованих вами чисел (15) на третє (на 3) і також дістаєте число 5, яке й говорите як очікуваний результат.. Фокус 4. Напишіть яке-небудь число між 1 і 50 на клаптику паперу і заховайте його, не показуючи учасникам фокуса. Нехай кожний учасник в свою чергу напише будь-яке число, більше 50, але менше 100, і, не показуючи вам, виконає такі дії: 1) додасть до свого числа 99—х, де х—число, написане вами на клаптику паперу (цю різницю ви в думці підрахуйте і скажіть учасникам фокуса тільки готовий результат); 2)закреслить у знайденій сумі крайню ліву цифру і цю саму цифру додасть до числа, яке лишилося; 3)знайдене число відніме від числа, яке він спочатку написав. В результаті всі учасники дістануть одне й те саме число, саме те, яке ви написали спочатку на клаптику паперу. Приклад. Число, яке ви написали і заховали, 18; число, яке написав один з учасників, 64. Пропонуєте додати 99 — 18 = 81. Виходить: 64 + 81 = 145. Цифру 1 закреслюють і додають її до числа, яке залишилось, 45 + 1 = 46. Різниця між задуманим числом (64) і знайденим (46), 64 – 46 = 18, якраз і дає заховане вами число (18). Як і завжди, ви, звичайно, насамперед намагатиметесь зрозуміти математичну основу можливості передбачення результату виконання зазначених дій.Хто скільки взяв, я взнав Нехай перший учасник фокуса візьме будь-яку кількість предметів (сірників, монет і т. д.), кратну 4. Другий нехай візьме стільки разів по 7 предметів, скільки перший взяв по 4. А третього учасника попросіть взяти стільки ж разів по 13 предметів.Тепер нехай третій учасник з числа взятих ним предметів віддасть першому і другому стільки, скільки в кожного з них вже є. Потім нехай другий учасник віддасть третьому і першому стільки предметів, скільки в кожного тепер є. Нарешті, і перший нехай зробить те саме.Запитайте у будь-якого з цих учасників фокуса, скільки предметів у нього тепер. Число, яке він вам назве, поділіть на 2. Частка покаже, скільки предметів спочатку взяв перший учасник. Число предметів, взятих першим, поділіть на 4 і помножте на 7. Це буде число предметів, взятих другим учасником. А третій взяв стільки разів по 13 предметів, скільки другий взяв по 7. |
Схожі:
|
Дипломної роботи магістра РОЗДІЛ ОЦІНЮВАННЯ ЗА МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЮ СИСТЕМОЮ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ |
Дипломної роботи магістра РОЗДІЛ ОЦІНЮВАННЯ ЗА МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЮ СИСТЕМОЮ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ |
|
Дипломної освіти педагогічних працівників Тема : «Шляхи реалізації профільної освіти» Нові підходи до організації освіти в старшій школі закладено в Національній доктрині розвитку освіти (2002 р.), Законі України «Про... |
Дипломної педагогічної освіти ТЕМАТИКА випускних робіт, творчих проектів... |
|
1. ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧІ І ЛОГІКА КУРСУ „ЕКОНОМІКА ПРАЦІ І СОЦІАЛЬНО ТРУДОВІ ВІДНОСИНИ” ТЕМА ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧІ І ЛОГІКА КУРСУ „ЕКОНОМІКА ПРАЦІ І СОЦІАЛЬНО – ТРУДОВІ ВІДНОСИНИ” |
Міністерство освіти та науки України ДОНЕЦЬКА СПЕЦІАЛІЗОВАНА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА... Вам щиру подяку за піклування про дітей та співробітників школи, увагу до потреб освіти м. Донецька. Реалізовано основні регіональні... |
|
Методичні рекомендації до написання розділу магістерської (дипломної... Методичні рекомендації до написання розділу магістерської (дипломної ) роботи “Охорона праці” |
Академія логіки Логіка, 5-6 класи (факультативний курс) Буковська О. І. кандидат педагогічних наук, заступник директора з науково-методичної роботи ліцею «Престиж» м. Києва, вчитель-методист... |
|
Математична регата №1 |
Школи(спортивні,музичні,художні) Риторика, логіка та комп'ютерні ігри. Гуртки: музичний, спортивної боротьби, хореографічний |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua