Дипломної педагогіческої освіти. Математична логіка
|
|
Скачати 0.83 Mb.
|
Ребуси з математики  Відповідь. Угол.  Відповідь. Задача.  Відповідь. Модуль  Відповідь Задача  Відповідь. Точка 1.5. ЗАДАЧІ НА РУХ . НАЗУСТРІЧ І НАВЗДОГІН 1. Старовинна задача. Відстань між столичним містом і селом 588 км. Подорожній, що йде з села до міста, проходить цю відстань за 21 день, а другий подорожній, який йде з міста в село, проходить її за 28 днів. Обидва  подорожні вийшли одночасно. На який день вони зустрінуться? 2. Сторона квадрата 20 см. У вершині М цього квадрата знаходяться дві мурашки. Вони одночасно по чали рухатися у різних напрямках помежі квадрата. Одна повзе із швидкістю 1 см за секунду, а друга в 2 рази швидше. Яка відстань буде між ними через 21 сек? 3. Катеру-розвіднику, який рухався в складі ескадри, дано завдання обстежити район моря на 120 км в напрямку руху ескадри. Швидкість ескадри — 36 км за годину, а швидкість катера — 60 км за годину. Через скільки годин катер повернеться до ескадри? 4. Михайлик і Віталій вийшли назустріч один одному із двох сіл, відстань між якими 20 км. Швидкість Михайлика 6 км/год, а Віталія — 4 км/год. Одночасно з Михайликом назустріч Віталію вилетіла муха, долетівши до Віталія, вона розвернулась і полетіла до Михайлика і так літала між ними доти, доки вони не зустрілися. Скільки кілометрів налітала муха, якщо її швидкість 11 км/год? Розв’язання: Звичайно, при розв'язуванні цієї задачі можна вдатися до підрахунку відстаней, які щоразу пролітала муха. Однак є більш зручний спосіб розв'язання, адже насправді муха літала стільки часу, скільки витратили наші герої, щоб зустрітися, тобто 20 : (6 + 4) = 2 години. Знаючи, що швидкість мухи становила 11 км/год, легко підрахувати, що відстань, яку вона пролетіла, дорівнює 2 * 11 = 22 км. 5. Якщо Маруся йде до школи пішки, а назад їде автобусом, то всього на дорогу вона витрачає 1,5 год. Якщо ж вона до школи і назад їде, то весь шлях займає в неї 30 хв. Скільки часу витратить Маруся на дорогу, якщо йтиме пішки до школи і назад? Відповідь: 2,5 години. 6. Катер долає шлях АВ проти течії за 4 год. 30 хв, а шлях ВА (за течією) — за 3 год. Скільки часу плистиме від В до А пліт? Відповідь: 18 годин. 7. Автомобіль проїхав від А до В зі швидкістю 40 км/год, а назад — зі швидкістю 60 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля. Вказівка: нагадуємо, що середня швидкість — це відношення загальної відстані до часу, що витрачено на рух. Відповідь: 48 км/год. 8. Якось Михайлик о шостій годині ранку вирушив у похід. О шостій годині вечора він дістався кінця свого маршруту, заночував і о шостій годині ранку наступного дня вирушив назад. Додому він повернувся о шостій годині вечора. Доведіть, що незалежно від швидкості руху, знайдеться таке місце на шляху Михайлика, де він був в один і той же час на прямому і зворотному шляху. Відповідь: Припустимо, що замість Михайлика, який йде туди і назад, у нас є два мандрівники, які вийшли назустріч один одному за тим же маршрутом о шостій ринку і прийшли до пунктів призначення одночасно — о шостій вечора. Зрозуміло, що вони обов'язково зустрінуться. Місце, де вони зустрі- нуться, і є шуканим. Зауважимо, що таке розв'язання дозволяє лише відповісти на питання про існування такого місця, але не дає змоги його відшукати. 9. Від Іванівки до Петрівки 15 кілометрів. З Іванівки до Петрівки о 9 год 30 хв вирушив пішохід, що йшов зі швидкістю 4 км/год. Наступного дня об 11 годині він вирушив назад зі швидкістю 5 км/год. Обидва рази він проходив по мосту, що знаходився на цій дорозі, в один і той же час. Визначте, о котрій годині він проходив міст. Відповідь: Першого дня до 11-ї години пішохід пройшов 4 × 1,5 = 6 км. Тепер можна вважати, що два пішоходи вийшли об 11-й ранку назустріч один одному з двох сіл, відстань між якими 9 км зі швидкостями 4 і 5 км/год. Вони зустрінуться через 9 : (4 + 5) = 1 год. На мосту вони будуть через годину після-11, тобто о 12-й годині. 10. За начальником одного з відділів зранку заїжджала машина і привозила його на роботу у визначений час. Якось начальник вирішив прогулятися. Він вийшов за годину до приходу машини і пішов пішки їй назустріч. Дорогою він зустрів машину і прибув на роботу на 20 хвилин раніше, ніж звичайно. Скільки часу тривала прогулянка? Розв’язання: 20 хвилин, які зекономив начальник, — це час, за який машина могла б доїхати від місця зустрічі з начальником і повернутися назад. Тобто зустріч відбулася на 10 хвилин раніше, ніж звичайно. Оскільки начальник вийшов на годину раніше, прогулянка тривала 50 хвилин. 11. Дорога від школи додому займає в Андрійка 20 хвилин. Одного разу, йдучи до школи, він згадав, що забув дома ручку. Якщо він тепер продовжуватиме йти до школи, то прийде за 3 хвилини до дзвоника, а якщо ж повернеться додому, то запізниться на 7 хв. Яку частину шляху пройшов Андрійко до того, як згадав про ручку? Відповідь: 0,25 шляху. 12. Мишці до нірки по прямій 20 кроків. Кішці до мишки по тій же прямій 5 стрибків. Поки кішка зробить один стрибок, мишка встигне пройти 5 кроків. При тому один котячий стрибок дорівнює 10 крокам мишеняти. Мишка знаходиться на прямій між кішкою і ніркою. Чи наздожене кішка мишку? Відповідь: не наздожене. 13. Лисиця знаходиться попереду собаки на 60 своїх стрибків, 3 стрибки собаки дорівнюють 7 стрибкам лисиці. За один і той же час собака робить 6 стрибків, а лисиця — 9. Через скільки стрибків собака наздожене лисицю? Відповідь: Через 72 стрибки. 14. Знайдіть швидкість і довжину поїзда, якщо він проходить уздовж платформи завдовжки 378 м за 25 секунд, а повз нерухомого пасажира — за 7 секунд. Розв’язання: Коли поїзд проїжджає уздовж платформи, він долає відстань, яка складається з довжини платформи і його власної довжини, а і коли поїзд проїжджає повз пасажира, він долає відстань, яка дорівнює власній довжині. Тобто довжину платформи він проїжджає за 25 –7 = 18 с. Тоді його швидкість 378 : 18 = 21 м/с, звідки і його довжина 21 × 7 = 147 м. 33. Поїзд проходить по мосту завдовжки 171 м за 27 секунд, а повз пішохода, що йде назустріч поїзду зі швидкістю 1 м/с, — за 9 секунд. Знайдіть швидкість і довжину поїзда. Відповідь: 9 м/с. 15. Пліт, що буксирується катером проти течії ріки, проходить уздовж пляжу завдовжки 960 м, за 1 год, а повз мене — за 20 хв. Тріска, що пливе по річці, пропливає 20 м за 25 сек. Обчисліть довжину плота і швидкість, з якою катер тягнув би пліт у стоячій воді. Відповідь: 240 м, 1м/с. 16. Два туристи, маючи один велосипед, повинні за півтори години подолати шлях 12 км. Відомо, що на велосипеді кожен із них може рухатися зі швидкістю 20 км/год, а пішки — 5 км/год. Чи зможуть туристи пройти маршрут без запізнення, якщо на велосипеді одночасно вдвох їхати не можна? Вказівка: переконайтеся, що загальний час зменшиться, якщо велосипедист не чекатиме на пішохода, а, проїхавши певну відстань, залишить велосипед і далі піде пішки. Спробуйте знайти таке розв'язання, яке дозволить меншу кількість разів ризикувати, залишаючи велосипед без нагляду. Відповідь: так. 17. Мандрівник повинен перейти пустелю. Його шлях — 80 км. За один день він проходить 20 км і може нести запас їжі та води на 3 дні. Тому він повинен робити проміжні станції і створювати на них запаси їжі та води. За яку найменшу кількість днів він зможе подолати свій шлях? Відповідь: За 6 днів. 18. Михайлик і Віталій їхали вниз ескалатором. Посередині ескалатора хуліган Михайлик зірвав з Віталія шапку і кинув на протилежний ескалатор. Потерпілий Віталій побіг назад угору ескалатором, щоб потім спуститися вниз і повернути шапку. Хитрий Михайлик побіг ескалатором униз, щоб потім піднятися вгору і встигнути швидше, ніж Віталій. Хто встигне раніше, якщо швидкості хлопців відносно ескалатору постійні і не залежать від напрямку руху? Відповідь: Два ескалатори, що рухаються у протилежні боки, утворюють рухоме кільце, на якому можна кататися, як на каруселі. Відносно цього кільця шапка нерухома. Станемо біля неї і спостерігатимемо за бігом хлопців. Ми побачимо, що хлопці одночасно побіжать до нас із діаметрально протилежних точок кільця з рівними швидкостями, але кожний зі свого боку. Тепер очевидно, що хлопці добіжать до шапки одночасно. У цьому доведенні суттєвим є те, що швидкість хлопців більша від швидкості ескалатора, бо інакше Віталій ніколи не підніметься ескалатором, який рухається вниз. 38. Батько та син пливуть на човні проти течії. У якийсь момент син скинув у річку батькового капелюха. Тільки за 15 хвилин батько помітив відсутність капелюха, розвернув човен, і вони попливли за течією з тією ж власною швидкістю. За скільки хвилин вони наздоженуть капелюх? Відповідь: За 15 хвилин. 19. Два пішоходи вийшли одночасно на світанку, один — з А до В, а другий — із В до А. Кожен ішов із постійною швидкістю. Вони зустрілися опівдні і, не зупиняючись, прийшли: перший у В — о четвертій вечора, а другий в А — о дев'ятій вечора. О котрій годині був світанок? Відповідь: О 6 год. ранку.  2. ОСНОВНІ ТИПИ ЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ 2.1. ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ З усіх дій арифметики найпримхливіша — це дія ділення. Вона має особливі властивості, можна сказати, особливу „вдачу”. Візьмемо хоча б оперування з нулем. Для всіх інших арифметичних дій нуль — рівноправне число. Його можна і додавати, і віднімати; він може бути множником у дії множення, але дільником ніколи. Поділити на нуль взагалі не можна жодне число, жодний алгебраїчний вираз. Це — важлива особливість ділення, і коли до неї поставитись неуважно, то не обійтися без несподіванок; можна, наприклад, „довести” будь-яке явно фальшиве твердження — „парадокс”. „Вдача” ділення проявляється не тільки щодо нуля. Математична теорія приділяє багато уваги властивостям цілих чисел і законам, які керують діями над ними. Так ось, якщо обмежитись множиною самих тільки цілих (додатних і від'ємних) чисел, то знов-таки „капризує” лише одна дія — ділення. Її, як ви знаєте, не завжди можна виконати в області цілих чисел. Прийнято вважати, що ціле число а ділиться на ціле число b, якщо серед цілих чисел знайдеться таке число с, добуток якого на b дає точно число а, а коли такого числа немає, то а не ділиться на b. Усі ці особливості ділення і сприяли виникненню таких понять, як прості числа, найбільший спільний дільник (НСД), найменше спільне кратне (НСК), ознаки подільності чисел, а поступовий розвиток теорії подільності чисел привів до глибокого розширення всієї теорії чисел. Робота над задачами цього розділу у деякій мірі збільшить запас уявлень про подільність чисел, а, можливо, й спонукатиме до систематичного вивчення всієї теорії чисел. Один з найважливіших способів розв'язування задач полягає в тому, що розв'язування даної задачі зводять до розв'язування іншої, простішої задачі. Нехай треба встановити, чи ділиться якесь многоцифрове число на друге дане число. Щоб відповісти на це запитання, в ряді випадків зовсім не треба вдаватись до безпосереднього ділення даного числа. Розв'язування поставленої задачі дуже часто можна звести до з'ясування подільності деякого іншого, не многоцифрового числа, складеного за тим чи іншим правилом з цифр даного числа. Так і виникають ознаки подільності чисел. ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 11 Якщо сума цифр даного числа через одну дорівнює сумі решти цифр через одну або різниця цих сум ділиться на 11, то й дане число ділиться на 11. А коли зазначені суми цифр через одну не дорівнюють одна одній і їх різниця не ділиться на 11, то й дане число не ділиться на 11. Приклад. Чи ділиться 3 528 041 на 11 ? Застосовуємо ознаку: 3 + 2 + 0 + 1= 6, 5 + 8 + 4 = 17, 17 – 6 = 11. 17 – 6 = 11, ділиться на 11. На підставі ознаки можна твердо сказати: число 3 528 041 обов'язково повинно ділитись на 11. Виконавши ділення безпосередньо, переконаєтесь у тому, що ознака працює. ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ НА 8 і 4 Якщо число, утворене останніми трьома цифрами даного числа, ділиться на 8, то й все дане число ділиться на 8. Отже, питання зводиться до подільності на 8 деякого трицифрового числа. Але при цьому нічого не сказано, як в свою чергу швидко дізнатись про подільність цього трицифрового числа на 8. Адже не завжди зразу видно, чи ділиться дане трицифрове число на 8, і доводиться перевіряти це безпосереднім діленням. Ознака подільності на 4 простіша. Тут треба, щоб ділилось на 4 число, яке складається тільки з двох останніх цифр випробовуваного числа. Природно виникає запитання: чи не можна спростити і ознаку подільності на 8? Можна, якщо доповнити її спеціальною ознакою подільності трицифрового числа на 8. На 8 ділиться кожне трицифрове число, в якого двоцифрове число, утворене цифрами сотень і десятків, додане до половини числа одиниць, ділиться на 4. Приклад. Дано число 592. Щоб розв'язати питання про подільність його на 8, відокремлюємо одиниці і половину їх числа додаємо до числа, утвореного цифрами десятків і сотень. Дістаємо 59 + 1 = 60. Число 60 ділиться на 4. отже, число 592 ділиться на 8. Зауваження 1. Зрозуміло, що число, яке закінчується непарною цифрою, не може ділитись на 8. Зауваження 2. У величезній більшості випадків сума двоцифрового числа, зазначеного в ознаці, і половини одиниць даного числа буде також двоцифровим числом. Сума буде трицифровою тільки для чисел у межах від 984 до 998, але навіть і в цих випадках вона не перевищуватиме числа 103 (99 + 4 = 103). ПРО ПОДІЛЬНІСТЬ НА 7 Чомусь числу 7 в народі приділяється особлива увага, і воно ввійшло у його пісні і прислів'я: -Сім раз примір, один раз відріж. -Сім погод на дворі: сіє, віє, мутить, крутить, рве, зверху ллє, знизу мете. -Краще сім раз горіти, аніж один раз вдовіти! -У семи няньок дитина без носа. -У кого дочок сім — то й щастя всім, а у мене одна — то й щастя нема. -Число 7 багате де тільки на прислів'я, а й на різні ознаки подільності. Є кілька індивідуальних ознак подільності на 7. Пропонуємо дві до розгляду. ПЕРША ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 7 Помножте першу зліва цифру випробовуваного числа на 3 і додайте наступну цифру; результат помножте на 3 і додайте наступну цифру і т. д. до останньої цифри. Для спрощення після кожної дії дозволяється від результату віднімати 7 або число, кратне 7. Якщо остаточний результат ділиться чи не ділиться на 7, то и дане ділиться чи не ділиться на 7. Приклад. Визначимо подільність числа 48 916 на 7. Помножимо першу зліва цифру на 3: 4 · 3 = 12. Для дальших розрахунків число 12 можна замінити числом 5, яке дістаємо, зменшивши 12 на 7. Заміняючи число а числом b, яке відрізняється від а на 7 або на число, кратне 7, ставитимемо між ними значок º. Тоді першу дію можна записати так: 4 · 3 = 12 º 5. Потім додаємо до 5 другу цифру 8 і знову робимо відповідну заміну: 5 + 8 = 13 º 6. Далі: 6 · 3 = 18 º 4, 4 + 9 = 13 º 6, 6 · 3 = 18 º 4, 4 + 1 = 5, 5 · 3 = 15 º 1, 1 + 6 = 7. Остаточний результат 7. Отже, число 48 916 ділиться на 7. ДРУГА ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 7 Подільність на 7 за цією ознакою визначають так само, як за попередньою, з тією лише відмінністю, що множення треба починати не з крайньої лівої цифри даного числа, а з крайньої правої і помножати не на 3, а на 5. Приклад. Чи ділиться на 7 число 37 184? 4 · 5 = 20 º 6, 6 + 8 = 14 º 0, 0 · 5 = 0, 0 + 1 = 1; 1 · 5 = 5; додавання цифри 7 можна пропустити;5 · 5 = 25 º 4, 4 + 3 = 7 º 0. Число 37 184 ділиться на 7. КУРЙОЗ ПОДІЛЬНОСТІ На закінчення розглянемо 4 цікавих десятицифрових числа: 2438 195 760 4 753 869 120 785 942 160 4 876 391 520 У кожному з них є всі цифри від 0 до 9, але кожна цифра тільки по одному разу і кожне з цих чисел ділиться на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 і 18. Розглянемо такі задачі. 1. Число на гробниці В одній з єгипетських пірамід вчені знайшли на кам'яній плиті гробниці вигравіруване ієрогліфами число 2520. Важко точно сказати, за що випала така честь цьому числу. Можливо, за те, що воно без остачі ділиться на всі без винятку цілі числа від 1 до 10. Справді, немає числа, меншого від 2520, яке б мало таку властивість. Неважко переконатись у тому, що це число є найменшим спільним кратним цілих чисел першого десятка. 2. Подарунки до Нового року. Готуючи подарунки дітям до Нового року, швидко розклали по пакетах цукерки і печиво. Але коли почали розкладати мандарини, то натрапили на таке утруднення: спочатку хотіли розкласти всі мандарини по 10 штук у пакет,— не вийшло: на один з пакетів лишилось 9 мандаринів; коли поклали по 9 мандаринів, лишилося 8 мандаринів на один з пакетів; спробували розкласти по 8 мандаринів, лишилось 7; почали розкладати по 7, лишилось 6; поклали по 6, лишилось 5. — Що за дивина! Невже так буде і далі? Взяли папір, олівець і почали обчислювати. І що б видумали: ділимо число мандаринів на 5, лишається 4; ділимо на 4, лишається 3; ділимо на 3, лишається 2; ділимо на 2, лишається 1. Ось яке дивне число мандаринів ми мали. А скільки ж все-таки? Відповідь. 25193. 3. Чи може бути таке число? Чи може бути таке число, яке при діленні на 3 дає в остачі 1, при діленні на 4 дає в остачі 2, при діленні на 5 дає в остачі 3 і при діленні на 6 дає в остачі 4? Відповідь. 58 4. Кошик яєць (із старовинного французького задачника) Жінка несла на базар кошик яєць. Перехожий ненароком штовхнув жінку, кошик упав, яйця побились. Винуватець нещастя, щоб відшкодувати збитки, запитав: —Скільки всього було яєць в кошику? —Точно не пам'ятаю,— відповіла жінка,— але знаю, що коли я виймала з кошика по 2, по 3, по 4, по 5 або по 6 яєць, у кошику лишалось одне яйце, а коли я виймала по 7, кошик був порожній. Скільки яєць було у кошику? Відповідь. 721. 5. Трицифрове число Якщо від задуманого мною трицифрового числа відняти 7, то воно поділиться на 7, якщо відняти від нього 8, то воно поділиться на 8, а якщо відняти від нього 9, то воно поділиться на 9. Яке число я задумав? Відповідь.504 6. Чотири теплоходи У порту пришвартувалось 4 теплоходи. Опівдні 2 січня 1953 року вони одночасно залишили порт. Відомо, що перший теплохід повертається до цього порту через кожні 4 тижні, другий — через кожні 8 тижнів, третій — через 12 тижнів, а четвертий — через 16 тижнів. Коли вперше теплоходи знов зустрінуться в цьому порту ? Відповідь. 48 тижнів. 7. Помилка касира Звертаючись до касира магазина, покупець сказав: — Візьміть, будь ласка, з мене за 2 пачки солі по 90 коп., за 2 куски мила по 2 грн. 70 коп., за 3 пачки цукру і за 6 коробочок сірників, але вартості пачки цукру і сірників я не пам'ятаю. Касир видав покупцеві чек на 29 грн. 17 коп. Подивившись на чек, покупець повернув його касирові і сказав: — Підраховуючи загальну суму, ви, безперечно, помилились. Касир перевірив і погодився. Довелось вибачитись і видати покупцеві другий чек. Як покупець знайшов помилку? Відповідь: сума цифр 2 + 9 + 1 + 7 = 19 не ділиться на 3. 2.2. ВЛАСТИВОСТІ ЦІЛИХ ЧИСЕЛ ЗАДАЧІ 1. Усі цілі числа, починаючи з 1, виписані підряд. Яка цифра стоїть на 1975-му  місці? Розв'язання. Одноцифрові числа займають 9 місць, 90 двоцифрових чисел – 180 місць. Залишається 1975 – 189 = 1786 місць. 1785 місць займуть 595 трицифрових чисел, останнім з яких буде число 694. Отже, на 1975-му місці стоятиме цифра 6. 2. Знайти найменше трицифрове число, кратне 3, одна з цифр якого 8. Відповідь. Шукане число 108. 3. Дано п'ятицифрове число 25 762. Яку цифру і на якому місці слід записати, щоб дістати число, яке ділиться на 36? Розв'язання. Число ділиться на 36 тоді, коли воно ділиться на 4 і 9. Шукане шестицифрове число поділиться на 4, якщо друга від кінця цифра в нього буде непарною або остання цифра кратна 4. Щоб це число поділилось на 9, слід Дописати цифру 5. Її можна дописати лише на місце десятків. Отже, шукане число 257 652. 4. Усі цілі числа від 1 до 100 написані підряд. Викреслити з утвореного числа 100 цифр так, щоб утворене число було найбільшим. Розв'язання. Треба, щоб в результаті викреслювання спереду залишилось якомога більше дев'яток. Перша цифра 9 буде після викреслювання 8 цифр, 4 інші дев'ятки дістанемо, викресливши 19 • 4 = 76 цифр. З 16 цифр, які ще можна викреслити, 15 витратимо на викреслювання цифр 505152535455565, щоб залишити найбільшу можливу цифру 7. Після цього викреслимо ще одну цифру 5 і дістанемо число 9999978596061...99100. 5. Знайти найменше п'ятицифрове число, кратне 360, всі цифри якого різні. Розв'язання. Остання цифра шуканого числа 0. Потрібно підібрати такі чотири різні цифри, сума яких дорівнює 18, щоб скласти з них мінімальне число, кратне 36. Шукане число 12 960. 2.3. ЗАДАЧІ НА ЗВАЖУВАННЯ ТА ПЕРЕЛИВАННЯ . Навряд чи комусь доведеться шукати серед однакових монет фальшиву за допомогою зважувань на талькових терезах без гир, але для тренування своєї думки візьмемо ці умови як вихідні для розв'язування таких задач «на міркування». |
Схожі:
|
Дипломної роботи магістра РОЗДІЛ ОЦІНЮВАННЯ ЗА МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЮ СИСТЕМОЮ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ |
Дипломної роботи магістра РОЗДІЛ ОЦІНЮВАННЯ ЗА МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЮ СИСТЕМОЮ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ |
|
Дипломної освіти педагогічних працівників Тема : «Шляхи реалізації профільної освіти» Нові підходи до організації освіти в старшій школі закладено в Національній доктрині розвитку освіти (2002 р.), Законі України «Про... |
Дипломної педагогічної освіти ТЕМАТИКА випускних робіт, творчих проектів... |
|
1. ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧІ І ЛОГІКА КУРСУ „ЕКОНОМІКА ПРАЦІ І СОЦІАЛЬНО ТРУДОВІ ВІДНОСИНИ” ТЕМА ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧІ І ЛОГІКА КУРСУ „ЕКОНОМІКА ПРАЦІ І СОЦІАЛЬНО – ТРУДОВІ ВІДНОСИНИ” |
Міністерство освіти та науки України ДОНЕЦЬКА СПЕЦІАЛІЗОВАНА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА... Вам щиру подяку за піклування про дітей та співробітників школи, увагу до потреб освіти м. Донецька. Реалізовано основні регіональні... |
|
Методичні рекомендації до написання розділу магістерської (дипломної... Методичні рекомендації до написання розділу магістерської (дипломної ) роботи “Охорона праці” |
Академія логіки Логіка, 5-6 класи (факультативний курс) Буковська О. І. кандидат педагогічних наук, заступник директора з науково-методичної роботи ліцею «Престиж» м. Києва, вчитель-методист... |
|
Математична регата №1 |
Школи(спортивні,музичні,художні) Риторика, логіка та комп'ютерні ігри. Гуртки: музичний, спортивної боротьби, хореографічний |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua