Теорема 3.3. Для будь-яких 
Доведення. Скориставшись (2.2.5), маємо
з другого боку
Теорему доведено.
Нехай маємо  комплексне число  На координатній площині (декартова система координат,  кут між осями) воно зображується точкою  )
З трикутника  маємо, що
де  тобто координати точки  можна подати у вигляді
а, отже, комплексне число подається у вигляді
Таким чином, для будь - якого комплексного числа  маємо подання
де 
 визначається з рівняння
Якраз (2.2.10) і є тригонометричною формою комплексного числа.
Теорема 3.4. Якщо для комплексних чисел  і  має місце
то
Доведення. Справді
Врахувавши, що
 маємо першу рівність.
Далі отримуємо
Оскільки
то, враховуючи знайдене, дістанемо другу рівність.
Наслідок (узагальнена формула Муавра).
Для будь - якого  комплексного числа  і
2.3 Основні цілі трансцендентні функції  комплексної змінної
Продовжимо тригонометричні функції
на всю комплексну площину так, щоб при  отримувались відомі формули
З цією метою узагальнимо спочатку формули Ейлера
Врахувавши, що
і те, що на звичайній комплексній площині елемент  подається у вигляді
де 
маємо такі подання
Звідси
Означимо тепер такі дві функції дійсної змінної із значеннями у полі  :
Таким чином, у полі маємо такі узагальнені формули Ейлера:
З (2.3.1) отримуємо (розв'язуємо систему відносно  )
Провівши заміну  на  , маємо:
Виходячи з того, що  , маємо
Звідси
або з врахуванням (2.3.2)
знову, провівши заміну на , маємо:
Нарешті, скориставшись
маємо:
або
Таким чином, тригонометричні функції можуть бути поданні у вигляді:
Означення 2.3.1 Показниковою функцією комплексної змінної будемо називати функцію, яка для кожного  означається так:
Теорема 2.3.1 Для довільних  виконується рівність
Доведення. 
З другого боку
Врахувавши, що
 
Маємо
Теорему доведено. ■
Тепер уже можна означити основні тригонометричні функції комплексної змінної. А саме для будь - якого 
Теорема 2.3.2 Для кожного
Доведення. Щоб зменшити громіздкість виразів, позначимо  тоді
Теорему доведено. ■
Теорема 2.3.3 Функція  періодична з періодом
Доведення. Справді, скориставшись (2.3.1) маємо:
Теорему доведено. ■
Теорема 2.3.4 тригонометричні функції (2.3.6) періодичні з періодом  .
Доведення.
А оскільки
 то 
[Враховуючи те, що  ]
[Враховуючи те, що ]
[Враховуючи те, що ]
Теорему доведено. ■
Теорема 2.35 Для будь-яких комплексних чисел 
Доведення. Для зручності позначимо  Тоді
З другого боку
Для того, щоб довести третю і четверту рівності доведемо що:
а) 
б) 
в) 
Перевіримо це безпосередньо:
для спрощення записів позначимо  тоді
а) 
Враховуючи те, що  або  стає очевидно, що перший доданок лівої частини рівності дорівнює першому доданку правої частини рівності, аналогічно другий доданок лівої частини рівності дорівнює другому доданку правої частини рівності. Отже, 
б) 
Враховуючи те, що або стає очевидно, що перший доданок лівої частини рівності дорівнює першому доданку правої частини рівності, аналогічно другий доданок лівої частини рівності дорівнює другому доданку правої частини рівності. Отже,
в) 
Враховуючи те, що або стає очевидно, що перший доданок лівої частини рівності дорівнює першому доданку правої частини рівності, аналогічно другий доданок лівої частини рівності дорівнює другому доданку правої частини рівності. Отже,
Доведемо третю рівність:
Доведемо четверту рівність:
Теорему доведено. ■
РОЗДІЛ ІІI
АНАЛІЗ ІНФОРМАЦІЙНОГО СЕРЕДОВИЩА І МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ АНАЛІТИЧНИХ МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
3.1. Інформаційне середовище навчання. Технології навчання
3.1.1. Поняття ІС.
В основі моделювання освітньо-інформаційного середовища майбутнього має лежати ієрархічна модель особистості як дитини, так і педагога, у якій чітко б окреслювалась організаційна структура та елементний склад. Освітній процес, у певному спрощенні, можна розглядати як процес суб’єкт-суб’єктного та суб’єкт-об’єктного інформаційного обміну. З огляду на це, навчальне середовище (НС), тобто середовище, в якому безпосередньо розгортається навчальна подія, можна розглядати як інформаційне середовище (ІС), а джерела інформації – як складові цього середовища Сьогодні основними складовими, які, поряд з іншими, формують ІС навчального закладу, залишається слово педагога. [35],[27]
"Інформаційне середовище" (за визначенням І.В.Роберт [40]) становить у сучасному суспільстві динамічну систему полів діяльності, що охоплюють комп’ютеризацію інформаційних процесів. Динамізм середовища позначається у взаємовпливові його на розвиток виробничих сил та інтелектуалізацію діяльності членів освітнього середовища. Це зумовлює розширення інформаційного середовища, зокрема й освітнього.
В інформаційному суспільстві головним ресурсом є інформація – обмін даними між будь-якими об’єктами (реальними або віртуальними), заснований на взаємодії між ними. Інформаційні ресурси в інформаційному суспільстві – це ідеї людства і настанови щодо реалізації ідей, накопичених у формі, що дозволяє їх відтворювати.
Виходячи з [41] навчальне середовище – це штучно побудована система, структура і складові якої створюють необхідні умови для досягнення цілей навчально-виховного процесу. Структура НС визначає його внутрішню організацію, взаємозв’язок і взаємозалежність між його елементами. Елементи (об’єкти, складові, елементи – неподільні частки) НС виступають, з одного боку, як його атрибути чи аспекти розгляду, що визначають змістовну й матеріальну наповненість НС, а, з іншого боку, як ресурси НС, що включаються в діяльність учасників навчально-виховного процесу, набуваючи при цьому ознак засобів навчання і виховання .
Сьогодні основними складовими, які, поряд з іншими, формують ІС навчального закладу, залишаються слово вчителя і підручник. Віддаючи належне всім іншим джерелам навчальної інформації, ми зупинимося на проблемах, які характерні для періоду модернізації системи освіти в Україні, однією з ознак якої є поява можливості відбору та використання у навчальному процесі кожного окремого навчального закладу альтернативних підручників. Змістовно це конкретизується в множинності запропонованих підручників, структурно – в множинності нових програм для середніх закладів освіти.
В запропонованому підході навчальні програми та підручники розглядаються нами не відокремлено, а як взаємозв’язані складові одного i того ж явища – iнформацiйної насиченості i структури процесу навчання. Характерною ознакою інформації, яка циркулює у навчальному процесі, є те, що вона опановується суб'єктом навчання нерiвномiрно. Ця нерiвномiрнiсть, вочевидь, залежить вiд багатьох обставин як об'єктивних, так i суб'єктивних. Серед об’єктивних обставин можна виділити тi, що пов’язані з кiлькiстю навчальної iнформацiї, якою повинен (згідно запланованої мети навчання, яка вiдображена у навчальних планах, програмах та підручниках) оволодіти учень за певний період, який умовно можна назвати «одиниця навчального часу». Помітний надлишок навчальної iнформацiї, який утворюється внаслідок незбалансованості навчальних планів та складу підручників, приводить до того, що деяка її частина не набуває ознак актуальності для суб'єкту навчання, залишається на потенційному рiвнi в процесі iнформацiйного обміну, яким по суті є навчально-виховний процес.
Проблема також полягає в одночасному (паралельному) використанні різних пiдручникiв з різних предметів, які використовує суб'єкт навчання у своїй дiяльностi. В умовах альтернативних підходів до вибору пiдручникiв може існувати деяка множина їх наборів (сполук) завдяки чому формуються рiзнi iнформацiйнi рiвнi та структури iнформацiйної насиченості навчального середовища.
Отже, інформаційно-навчальне середовище – це освітня система, основу якої складають інформаційні та психолого-педагогічні технології, комп’ютерні засоби і спеціальне програмне забезпечення, як інструментарій формування й управління організаційно-педагогічними та дидактико-психологічними процесами. |