КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ

Скачати 0.59 Mb. Назва КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ Сторінка 2/6 Дата 08.04.2013 Розмір 0.59 Mb. Тип Документи bibl.com.ua > Інформатика > Документи

Теорема 1.2 Означення 1.3 Відповідність, яка кожному відносить число називається функцією косинус (- косинус спряжений) і позначається Означення 1.4 Відповідність, яка кожному відносить число називається функцією синус (- синус спряжений) і позначається Зауважимо, що графічне зображення цих функції розглядається у - системі координат. 1.2 комплексні числа Нехай на площині обрано - систему координат (рис. 4). Кожній точці поставимо у відповідність символ , який будемо називати комплексним числом, пов’язаним з - системою координат, або числом. Множину будемо називати множиною чисел і позначати По аналогії із звичайними комплексними числами число назвемо модулем, а величину кута між додатним напрямом осі і прямою (проти годинникової стрілки) аргументом числа Очевидно, що мають місце співвідношення: Введемо у множині операції додавання і множення. Для довільних означимо Легко перевірити, що відносно введеної операції абелева група, візьмемо число і будемо вимагати, щоб і або Приведені міркування з’ясовують техніку виконання множення чисел, яке ми означимо у такий спосіб: Так введена операція є комутативною, асоціативною і дистрибутивною відносно додавання. Для прикладу переконаємось, що вона асоціативна, тобто, що Дійсно Щоб у множині ввести операцію ділення, покажемо, що для кожного числа існує число таке, що Дійсно, з того, що Маємо лінійну систему рівнянь яка для має єдиний розв’язок число будемо називати числом, спряженим до Якщо то Зокрема, Отож є поле. ПРИКЛАД 1. Довести, що поля і - ізоморфні. РОЗВЯЗАННЯ. Побудуємо відповідність за правилом Насамперед очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Очевидно також, що Нарешті покажемо, що Дійсно З другого боку, Досить продуктивним при побудові комплексного аналізу є тригонометричне подання комплексного числа. В аналогічній формі можна подати і числа, скориставшись при цьому числами. А саме, якщо позначити через - модуль числа а через - його аргумент, то ПРИКЛАД 2. Довести, що і мають місце рівності РОЗВЯЗАННЯ. Дійсно Оскільки І то ЗАУВАЖЕННЯ. Метод математичної індукції дозволяє обґрунтувати такий результат (узагальнена формула Муавра), яка очевидно справедлива і для від’ємних На завершення розглянемо добування кореня з числа. При добуванні кореня можна виходити з того, що коли то де Таким чином, розв’язавши систему дістанемо значення кореня. При добуванні кореня з числа можна скористатись узагальненою формулою Муавра. Дійсно, якщо подати у тригонометричній формі , а у формі де і поки-що невідомі, то очевидно, що має місце рівність Звідси або Таким чином 1.3 Тригонометричні функції - комплексної змінної Продовжимо - тригонометричні функції на всю - комплексну площину, причому так, щоб при одержувались відомі формули З цією метою, врахувавши, що узагальнимо формули Ейлера. А саме візьмемо корені з -1 у полі і означимо Таким чином, у полі маємо (узагальнені формули Ейлера) З формул (1.3.1) одержуємо або, провівши заміну на , маємо Виходячи з того. Що маємо Звідси або Нарешті, врахувавши. Що , знаходимо Тепер уже можна означити основні тригонометричні функції - комплексної змінної. А саме РОЗДІЛ II ПОЛЕ - КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ 2.1 - комплексні числа Нехай маємо квадратний тричлен , у якого і нехай корінь цього тричлена , тобто За базисну множину візьмемо множину Наділимо цю множину двома операціями у такий спосіб: і вияснимо , яку алгебраїчну структуру має множина (2.1.2) з операціями (2.1.3). Насамперед очевидно, що операція додавання є комутативною і асоціативною, а за нейтральний (нульовий) елемент слід взяти елемент . Легко перевірити, що для кожного елемента маємо протилежний елемент такий, що . Отже, відносно додавання є абелевою групою. Операція множення означена з врахуванням умови (2.1.1), тобто множення двох елементів з виконується як множення двочленів з врахуванням того, що У зв'язку з цим перевіримо, чи володіє ця операція груповими властивостями. Очевидно, що коли у добутку на місце поставити і навпаки, а на місце поставити і навпаки, то він не зміниться. Це означає, що множення комутативне. Далі для будь-яких трьох елементів з маємо: з другого боку, тобто асоціативність має місце. Далі, тобто елемент є нейтральним (одиничним) елементом відносно множення. Щоб у множині ввести операцію ділення покажемо, що для кожного елемента з існує такий елемент , що є дійсне число, а саме число (Чому саме таке число стане ясно, коли ми сконструюємо подання на координатній площині). Виходячи з рівності складаємо систему рівнянь: визначник якої для будь-якої пари Якщо то Якщо ж то І з рівності маємо Отже, для кожного з існує єдиний елемент такий, що Будемо називати цей елемент спряженим до і позначати тобто і Зокрема, а, отже, Крім того А для елементів вигляду маємо: і Нехай довільний елемент з відмінний від нульового елемента Тоді тобто існує обернений елемент. Таким чином, множина (без нульового елемента) є абелевою групою відносно множення. Нарешті, неважко перевірити, що операція множення є дистрибутивною відносно додавання, тобто для довільних з має місце рівність Підсумовуючи зроблене, робимо висновок, що математична структура є полем з нульовим елементом і одиничним елементом У ньому для кожного елемента існує єдиний елемент протилежний а для кожногоіснує єдиний обернений У цьому полі для кожного елемента означено спряжений елемент такий, що є невідоме число. Поняття спряженого елемента дозволяє досить просто записати результат ділення двох елементів з А саме, для довільних елементів Неважко також переконатись , що

---

Схожі:

Відгук на дипломну роботу студента ОКР «бакалавр» Солодюка Олега... Солодюк О. В. виконав досить великий обсяг роботи, опрацював серйозну монографічну і журнальну літературу, що стосувалось досліджень...	Дипломного дослідження на тему «комплексні числа як узагальнення комплексних чисел» Предметом нашого дослідження є узагальнення комплексних чисел, а основним завданням – побудова основних трансцендентних функцій узагальненої...
РЕЦЕНЗІЯ На дипломну роботу студента ОКР «бакалавр» Солодюка Олега... Дипломна робота студента Солодюка О. В. присвячена узагальненню поля комплексних чисел, яке за своїми властивостями дуже близьке...	Уроку Тема уроку Множина та її елементи. Числові множини. Множина комплексних чисел. Порожня множина. Спосо­би задання множини
Урок в 6 класі Тема. Найбільший спільний дільник кількох чисел ( НСД) Мета: сформулювати поняття спільного дільника кількох чисел, найбільшого спільного дільника, взаємно простих чисел; домогтися засвоєння...	Порівняння чисел у межах Порівняння чисел у межах Послідовність чисел у межах Складання і розв'язування прикладів
Теорія чисел в програмуванні Алгоритм знаходження всіх простих чисел, що не перевищують деякого заданого натурального числа n. («Решето Ератосфена») 4	Урок №6 Тема. Найменше спільне кратне кількох натуральних чисел Мета: на основі знань про кратне число сформувати уявлення учнів про поняття спільного кратного кількох натуральних чисел, НСК, а...
ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ “Математика ” Натуральні числа і нуль. Читання та запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами	Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад Натуральні числа і нуль. Читання і запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання Портал навчання

---