КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ
|
|
Скачати 0.59 Mb.
|
|
ЗМІСТ ВСТУП.........................................................................................................................2 РОЗДІЛ I ПОЛЕ  - КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ…………………………….61.1  тригонометричні функції…………………………………………….61.2 комплексні числа……………………………………………………121.3 Тригонометричні функції комплексної змінної………………......18РОЗДІЛ II ПОЛЕ  -КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ2.1  комплексні числа …………………...…………………………....212.2. Тригонометрична форма комплексного числа ………………..272.3. Основні цілі трансцендентної функції комплексної змінної та їх властивості…………………………………………………………...39РОЗДІЛ ІІI АНАЛІЗ ІНФОРМАЦІЙНОГО СЕРЕДОВИЩА І МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ АНАЛІТИЧНИХ МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ……………….51 3.1. Інформаційне середовище навчання. Технології навчання…………51 3.1.1. Поняття ІС……………………………………………………..51 3.1.2. Поняття та класифікація технологій навчання……………...53 3.1.3. Інтерактивні технології навчання…………………………....56 3.2. Аналіз інформаційного середовища, що забезпечує навчання учнів аналітичним методам розв’язування геометричних задач………...65 3.2.1. Аналітичні методи розв’язування геометричних задач…....65 3.2.2. Навчальна програма і шкільні підручники про аналітичні методи…………………………………………………………71 ВИСНОВКИ……………………………………………………………………...74 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………..77 ВСТУП Початок XIX століття у математиці ознаменувався тим, що комплексні числа посіли важливе місце в науці. Як виявилось, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичних моделей, що застосовуються в математичній фізиці і в природничих науках. Актуальність теми дослідження. Останнім часом спостерігається активізація досліджень, пов’язаних з різними узагальненнями комплексних чисел, які при розв’язанні певних задач можуть бути більш зручними, ніж звичайні. Кожну задачу, яка розв’язується координатним методом, можна сформулювати мовою прямокутної системи координат, проте не варто цього робити, коли більш природною є косокутна система координат. На нашу думку причиною того, що Яглом І. М. [12] не побудував теорію узагальнення комплексних чисел є те, що не було одержано зручного геометричного зображення таких чисел і не було створено зручного апарату їх аналітичного подання. У 1994 р. Томусяк А. А. у посібнику [9] запропонував тривіальне узагальнення перпендикуляра до прямої, а саме  - перпендикуляром до даної прямої, яка перетинається з даною під кутом . За рахунок цього крім звичайних декартових координат були введені спряжені координати і вперше була спроба узагальнити тригонометричні функції, а саме були введені три функції    зв’язані з обраною декартовою системою координат (з кутом між осями).Далі в роботі [9] апарат  тригонометричних функцій було удосконалено, а саме була добавлена ще одна - тригонометрична функція  і побудовано основи -тригонометрії. Новий матеріал було застосовано до класифікації кривих другого порядку. Крім того було побудоване поле  так званих  чисел, тобто було узагальнено поняття комплексного числа таким чином, що у символі  через  позначався виділений елемент такий, що  . Тут уже було означено також основні функції  змінної. Однак це ще був частинний випадок того узагальнення, яке розглядалось у [12], точніше розглядався частинний випадок квадратного тричлена  з від’ємним дискримінантом, коренем якого було  , а саме це корінь квадратного тричлена  Головним виявилось знайти ефективну геометричну інтерпретацію таких чисел.Об’єктом дослідження нашої дипломної роботи є алгебраїчні структури. Предметом дослідження є поле комплексних чисел, тобто множина  , де - це корінь квадратного тричлена  з від’ємним дискримінантом, наділена операціями додавання і множення у такий спосіб: (при множенні врахували, що  ).Мета нашого дипломного дослідження – вивчити основні властивості  чисел і побудувати елементи аналізу функцій  змінної.Відповідно до поставленої мети було висунуто наступні завдання:
Для виконання цих завдань при проведенні досліджень використовувалися методи класичної лінійної алгебри, функціонального і комплексного аналізу. Наукова новизна: побудова узагальнення поля комплексних чисел і функцій від комплексної змінної.Вихідними даними для нашого дослідження були результати науково-дослідної роботи професора Томусяка А. А. в області узагальнення тригонометричних функцій, пов’язаних із косокутною системою координат, і узагальнення комплексних чисел, які він пізніше назвав  комплексними числами. В нашій роботі ці ідеї отримали подальший розвиток, і було побудовано ще одне узагальнення комплексних чисел, а саме комплексні числа,і означено основні елементарні функції такої змінної.Апробація результатів дипломної роботи. Результати даного дипломного дослідження було представлено у виступах на науково-практичній конференції нашого університету і на засіданні кафедри математики та методики вивчення математики. Є публікація збірнику «Актуальні проблеми математики, фізики та технологічної освіти» за 2012 рік. Структура дипломної роботи. Перший розділ присвячено побудові і дослідженню множини  чисел, яку здійснив у своїх роботах Томусяк А. А.У першому параграфі висвітлено питання узагальнення тригонометричних функцій та досліджено їх основні властивості. У другому параграфі першого розділу введене поняття  - комплексних чисел і одержані усі основні результати, які мають місце для комплексних чисел. У третьому – побудовано основні елементи функцій комплексної змінної.Другий розділ роботи присвячений безпосередньо новому об’єкту дослідження, а саме полю комплексних чисел.У першому параграфі другого розділу означуємо множину  , досліджуємо її алгебраїчні і топологічні властивості. Виявилось, що поле ізоморфне полю  , а при  і   . Наділивши нормою, породженою скалярним добутком, одержали евклідовий простір.У другому параграфі одержали тригонометричну форму комп-лексного числа, і це дало можливість отримати узагальнену формулу Муавра.І у третьому параграфі другого розділу побудовано основні елементарні функції комплексної змінної (тригонометричні і показникову) і досліджено їхні основні властивості.У третьому розділі провели аналіз інформаційного середовища і методики викладання аналітичних методів розв’язування геометричних задач. Робота над написанням дипломної в цілому дала можливість одержати перший досвід у проведенні наукових досліджень в галузі математики. Її результати можуть бути використані для підвищення професійного рівня учителя математики, а також для розв’язання конкретних задач, де перехід до узагальнених комплексних чисел є більш зручним. А найпростіші результати можна викласти і учням середніх шкіл на гурткових заняттях або у класах з поглибленим вивченням математики. Особливу подяку за допомогу при написанні дипломної роботи висловлюю своєму науковому керівнику Вотяковій Л. А. РОЗДІЛ I ПОЛЕ -КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ1.1  - тригонометричні функціїПротягом століть не піддавався сумніву той факт, що у переліку основних елементарних функцій степенева, показникова функції і подаються як представники цілого класу функцій, а функції  в одному екземплярі. І природно є постановка питання про те, чи можливо побудувати тригонометричні функції при різних основах, як це має місце, наприклад, для показникової або логарифмічної функції. У 1990р. Томусяк А. А. розв’язав цю задачу, пов’язавши означення тригонометричних функцій з косокутною системою координат.Нехай на площині задано косокутну декартову систему координат (рис. 1)  Кожній точці площини поставимо у відповідність крім пари координат  пару  де  - абсциса точки перетину прямої, проведеної через точку  під кутом  до осі  з цією віссю,  - ордината точки перетину прямої, проведеної через точку під кутом до осі  з цією віссю. Пару чисел  будемо називати спряженими координатами точки в обраній системі координат. Очевидно, що при  координати і спряжені координати збігаються.В очевидний спосіб можна переконатись, що відстань  обчислюється за формулою а відстань між точками  і  з координатами  ,  і спряженими координатами   за формулами Домовимося на дальше косокутною декартову систему координат, з кутом  між осями, називати  системою координат (точніше правою системою координат). На координатній площині із заданою системою координат побудуємо одиничне коло із центром у початку координат (рис. 2). Нехай  є образ точки  при повороті навколо точки  на кут  і нехай  координати точки , а спряжені координати цієї точки (на рис. 2  - абсциси точок  і  ,  - ординати точок  і  ).Означення 1.1 Абсцису  точки одиничного кола системі координат будемо називати косинусом і позначати  , а спряжену абсцису точки будемо називати спряженим косинусом і позначати  Означення 1.2 Ординату  точки одиничного кола системі координат будемо називати синусом і позначати  , а спряжену абсцису точки будемо називати спряженим синусом і позначати  Скориставшись теоремою синусів легко виразити - синуси і - косинуси через звичайні синуси і косинуси. А саме мають місце такі рівності: Теорема 1.1   Доведення. У справедливості формул (1.1.4) можна переконатись, скориставшись поданням (1.1.3). Візьмемо одиничне коло з центром у початку системи координат і на ньому відмітимо точки     де   точки, які є образами  при повороті останньої відповідно на кути  (Рис. 3). Тоді, врахувавши, що точки мають координати відповідно    і що відстані між точками і  і між точками  і рівні, отримуємо, скориставшись формулами (1.1.2),   Врахувавши (1.1.4) і те, що    дістанемо або  На підставі останньої рівності висунемо гіпотезу, що   Перевіримо ці рівності. Скориставшись формулами (1.1.3), маємо         Таким чином теорема доведена. ■ |
- комплексних чисел;Схожі:
| Відгук на дипломну роботу студента ОКР «бакалавр» Солодюка Олега... Солодюк О. В. виконав досить великий обсяг роботи, опрацював серйозну монографічну і журнальну літературу, що стосувалось досліджень... |
Дипломного дослідження на тему «комплексні числа як узагальнення комплексних чисел» Предметом нашого дослідження є узагальнення комплексних чисел, а основним завданням – побудова основних трансцендентних функцій узагальненої... |
| РЕЦЕНЗІЯ На дипломну роботу студента ОКР «бакалавр» Солодюка Олега... Дипломна робота студента Солодюка О. В. присвячена узагальненню поля комплексних чисел, яке за своїми властивостями дуже близьке... |
Уроку Тема уроку Множина та її елементи. Числові множини. Множина комплексних чисел. Порожня множина. Способи задання множини |
| Урок в 6 класі Тема. Найбільший спільний дільник кількох чисел ( НСД) Мета: сформулювати поняття спільного дільника кількох чисел, найбільшого спільного дільника, взаємно простих чисел; домогтися засвоєння... |
Порівняння чисел у межах Порівняння чисел у межах Послідовність чисел у межах Складання і розв'язування прикладів |
| Теорія чисел в програмуванні Алгоритм знаходження всіх простих чисел, що не перевищують деякого заданого натурального числа n. («Решето Ератосфена») 4 |
Урок №6 Тема. Найменше спільне кратне кількох натуральних чисел Мета: на основі знань про кратне число сформувати уявлення учнів про поняття спільного кратного кількох натуральних чисел, НСК, а... |
| ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ “Математика ” Натуральні числа і нуль. Читання та запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами |
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад Натуральні числа і нуль. Читання і запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua