КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ

Скачати 0.59 Mb. Назва КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ Сторінка 3/6 Дата 08.04.2013 Розмір 0.59 Mb. Тип Документи bibl.com.ua > Інформатика > Документи

Означення 2.1.1 Поле будемо називати полем комплексних чисел, а його елементи комплексними числами. Крім запису для елементів з будемо користуватись позначенням а для спряженого – позначенням Число будемо називати алгебраїчною нормою комплексного числа. Вияснимо, як пов'язана побудована алгебраїчна структура з полем звичайних комплексних чисел. Теорема 2.1.1 Поле ізоморфне полю , зокрема з точністю до позначень Доведення. Щоб переконатись в ізоморфізмі двох полів, досить побудувати таке відображення , яке є бієкцією, і показати, для довільних елементів з виконуються рівності Означимо відображення у такий спосіб: де Очевидно, що означено скрізь на . Покажемо, що це відображення ін'єктивне, тобто що з того що, випливає, що Припустимо, що у множині існують такі два елементи що проте 3 того що дістаємо або А оскільки то , а, отже, Звідси випливає, щощо суперечить припущенню. Отримане протиріччя і доводить ін'єктивність відображення. Якщо то по ньому побудуємо елемент з образом якого при відображенні є відображення є сюр'єкцією. Цим бієктивність відображення доведено. Переконаємось, що мають місце рівності (2.1.5). Справді, візьмемо два довільних елементи з Тоді Цим доведення теореми завершено. ■ Очевидно, що підмножина є підполе поля причому воно ізоморфне полю дійсних чисел , тому ми точно так саме як у полі ототожнимо підполе з полем , тобто замість будемо писати просто . Якщо взяти квадратний тричлен то і ми отримаємо поле . На завершення зазначимо, що поле можна розглядати і як лінійний простір над полем , і 2.2 Тригонометрична форма комплексних чисел. Щоб подати комплексні числа у тригонометричній формі , треба зробити дві речі. Насамперед, обрати найбільш підходящу систему координат, а після цього сконструювати відповідний апарат, подібний до звичайних тригонометричних функцій. З цією метою на множині означимо білінійну форму у такий спосіб: де Неважко перевірити , що (2.2.1) задовольняє всі чотири аксіоми скалярного добутку , тобто маємо: а) б) в) г) причому тоді і тільки тоді, коли Отже, (2.2.1) наділяє поле структурою евклідового простору над полем дійсних чисел . Позначати скалярний добуток будемо у такий спосіб : Скалярний добуток породжує норму квадрат якої збігається з (2.6), і поле є нормованим, більше того банаховим, простором. У нормованому просторі у стандартний спосіб задається відстань Зауваження. Білінійну форму можна було ввести і у такий спосіб: яка теж породжує скалярний добуток, проте тоді, взагалі кажучи, Оскільки є лінійний простір над полем дійсних чисел розмірності два, то цілком природно за базисні обрати комплексні числа тобто і Очевидно, що для цих чисел Зрозуміло, що кут буде задовольняти умови якщо якщо У базисі елементи поля можна розглядати, як координатне подання елементів лінійного простору над полем , тобто у базисі є пара дійсних чисел Тепер уже ясно, у який спосіб можна інтерпретувати комплексні числа. На площині візьмемо дві прямі, які перетинаються під кутом тобто є кут між базисними елементами у лінійному просторі і на них два вектори, які у базисі мають координати і (на осі вектор довжини 1, на осі вектор довжини ) так, щоб мати праву систему координат. Будемо зображати елементи поля на обраній координатній площині у такий спосіб: образом комплексного числа є точка (щоб зобразити слід на осі відкласти відрізок довжини вправа від якщо і вліво від нуля, якщо а на осі - відрізок довжини вгору, якщо і вниз, якщо ). Очевидно, що відстань між початком координат і точкою ( декартові координати точки ), що зображає комплексне число , обчислюється за теоремою косинусів і дорівнює і збігається з нормою (топологічною) елемента (2.2.3), а квадрат цієї відстані збігається з алгебраїчною нормою (2.1.6). Тому природно назвати число модулем комплексного числа Будемо записувати для будь - якого комплексного числа Теорема 3.1. Для будь-яких комплексних і якщо то Доведення. Перша нерівність безпосередньо випливає з означення норми. Друга нерівність перевіряється безпосередньо. Справді З другого боку Для доведення третьої рівності переконаємось, що Справді, Тоді остання рівність отримується з того, що Теорема доведена. ■ У полі рівняння одиничного кола з центром у точці має вигляд де На координатній площині (рис. 5) множина точок подається як множина точок відстань яких до початку координат дорівнює , тобто коло з центром у початку координат. Рівняння цього кола має вигляд (декартові координати): або, має вигляд Нарешті, якщо виконати заміну тобто перейти до декартових прямокутних координат, то дістанемо рівняння одиничного кола у прямокутній декартовій системі координат. У першому розділі (у декартовій системі координат кут між осями координат) було означено тригонометричні функції а у роботі [10] вказано, що можна означити тригонометричні функції і у системі координат (реалізована в дипломній роботі «тригономе-тричні функції»). У зв'язку з цим означимо (Тут на відміну від [9] ми скористаємось не рискою, а хвилькою, бо риска взята для позначення спряженого комплексного числа). Насамперед відмітимо декілька очевидних властивостей. Якщо тобто то Тоді Неважко переконатись, що Для нас важливими будуть такі результати. Теорема 3.2. Для будь-якого Доведення. Теорему доведено. ■

---

Схожі:

Відгук на дипломну роботу студента ОКР «бакалавр» Солодюка Олега... Солодюк О. В. виконав досить великий обсяг роботи, опрацював серйозну монографічну і журнальну літературу, що стосувалось досліджень...	Дипломного дослідження на тему «комплексні числа як узагальнення комплексних чисел» Предметом нашого дослідження є узагальнення комплексних чисел, а основним завданням – побудова основних трансцендентних функцій узагальненої...
РЕЦЕНЗІЯ На дипломну роботу студента ОКР «бакалавр» Солодюка Олега... Дипломна робота студента Солодюка О. В. присвячена узагальненню поля комплексних чисел, яке за своїми властивостями дуже близьке...	Уроку Тема уроку Множина та її елементи. Числові множини. Множина комплексних чисел. Порожня множина. Спосо­би задання множини
Урок в 6 класі Тема. Найбільший спільний дільник кількох чисел ( НСД) Мета: сформулювати поняття спільного дільника кількох чисел, найбільшого спільного дільника, взаємно простих чисел; домогтися засвоєння...	Порівняння чисел у межах Порівняння чисел у межах Послідовність чисел у межах Складання і розв'язування прикладів
Теорія чисел в програмуванні Алгоритм знаходження всіх простих чисел, що не перевищують деякого заданого натурального числа n. («Решето Ератосфена») 4	Урок №6 Тема. Найменше спільне кратне кількох натуральних чисел Мета: на основі знань про кратне число сформувати уявлення учнів про поняття спільного кратного кількох натуральних чисел, НСК, а...
ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ “Математика ” Натуральні числа і нуль. Читання та запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами	Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад Натуральні числа і нуль. Читання і запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання Портал навчання

---