Рис. 1.6. Динамічна характеристика наповнення резервуара
За наявності в моделі випадкових факторів виникає необхідність статистичного оцінювання результатів моделювання, що виконується за допомогою методу статистичного моделювання (методу Монте-Карло). Статистичне моделювання є самостійним видом моделювання, яке включається в імітаційне моделювання тільки за необхідності моделювання ймовірнісних систем і процесів.
Побудуємо більш реальну модель системи, яка розглядалась вище. Припустимо, що рівень споживання води на підприємстві має імовірнісний характер і змінюється згідно з рівномірним розподілом імовірності в межах VП VП. Тоді значення VП у деякий момент часу ti будемо визначати як
2VПri + VП – VП,
де ri — випадкове число, рівномірно розподілене в інтервалі [0, 1].
Результати роботи імітаційної моделі наведено на рис. 1.7. У цьому випадку після кожного прогону моделі отримаємо випадкові значення Tj, де j – кількість прогонів, j = 1, 2, 3 …
Для кожного прогону потрібно задавати свою послідовність випадкових чисел ri. Як видно на рис. 1.7, отримані значення Tj будуть відрізнятись від середнього значення Т, знайденого за допомогою детермінованої моделі. Таким чином, щоб оцінити час Т наповнення резервуара, потрібно задати точність оцінювання = T і рівень довіри . Звичайно = 0,95, тобто є гарантія, що в 95 випадках із 100 середнє значення часу Т буде знаходитись у межах Т T.
Рис. 1.7. Графік реалізації стохастичної моделі
Із вищенаведеного прикладу видно, що стохастичне моделювання використовується під час імітаційного моделювання тільки за необхідності врахування випадкових факторів.
1.7. Декомпозиція систем і простір станів
Як правило, під час побудови моделі система спрощується, тобто провадиться її декомпозиція, або розкладення на підсистеми. Якщо систему задати множиною відношень n-го порядку R[х1, х2, ..., хn], то загальний метод декомпозиції можна описати за допомогою операції добутку відношень. Відношення R є добутком відношень R1 і R2, якщо виконується умова
де X, Y, Z — деякі множини.
Завдання дослідника полягає у визначенні відношень R1 і R2. Якщо ці відношення знайдені, то систему можна подати як сукупність двох підсистем:
R1[х1, х2, ..., хj, Z] і R2[Z, хj+1, х j+2, ..., хn], де xj X, j = 1, 2, …, n.
У літературі [42] зазначено, що відношення n-го порядку можна розкласти на n – 2 тримісних відношення. З огляду на дослідження систем найважливішим є наслідок цієї теореми, пов'язаний з уведенням поняття стану системи. Розглянемо систему, яка задається відношенням
|
(1.4)
|
Другий елемент відношення, X(t), є функцією часу, тобто деякою множиною. Припустимо, що множина X(t) скінченна і містить n елементів.
Згідно з наслідком теореми відношення (1.4) має порядок n + 1 і не може бути розкладене на відношення нижче третього порядку. Нехай елементи X(t) упорядковані в часі:
Тоді відношення (1.4) має вигляд
Розглянемо підмножину всіх елементів x(t) з індексом, більшим за j:
Відношення (1.4) буде еквівалентне відношенню
де  складається з членів x(t), які залишились:
Якщо подати відношення R у вигляді добутку відношень R1 і R2, то система складатиметься з двох підсистем:
 і 
|
(1.5)
|
Терм Y залежить тільки від проміжного терму  і не залежить від елементів x(tj), в яких індекс менший за j. Можна стверджувати, що елемент описує стан системи. Якщо систему поділено на дві відповідно до виразу (1.5), то терм Y залежить тільки від стану системи в момент  та всіх майбутніх елементів х і не залежить від усіх попередніх елементів. Стан системи в момент часу називається початковим і позначається через z0(). Наведені міркування правильні й для нескінченних множин.
Таким чином, під час моделювання системи або процесу немає необхідності запам'ятовувати всі стани системи до моменту часу , тобто алгоритм моделювання «забуває», що було раніше. Якщо реалізувати алгоритм за допомогою комп'ютера, то не потрібно зберігати всі стани в пам'яті. Винятком є необхідність анімаційного або графічного відтворення станів системи в часі та можливість її «програвання» у прямому й зворотному напрямках.
Якщо потрібно зменшити порядок відношення системи шляхом усунення залежності від будь-яких елементів певної підмножини Xr, то нове відношення має бути хоча б тримісним, три терми його є входами X, виходами Y і станами Z. Рівняння
|
(1.6)
|
будемо називати рівнянням станів системи, а функцію z — перехідною функцією станів системи. Таким чином, вхідні впливи X перетворюються у виходи системи Y за допомогою рівняння станів (1.6), і саму систему S можна подати у вигляді «чорного ящика», зображеного на рис. 1.8, де зовнішні відношення пов'язують елементи системи із зовнішнім середовищем за допомогою входів системи. Під час проведення досліджень системи можна впливати на її входи та спостерігати за її виходами. Вхідні змінні, які дослідник може змінювати, проводячи експерименти, називаються змінними, якими керують, а ті, що неможливо змінювати, - змінними, за якими спостерігають. Під час моделювання звичайно можна змінювати всі вхідні змінні.
Рис. 1.8. Кібернетична модель системи
Розглядаючи простір станів, або фазовий простір, і зміни станів системи в часі, можна описати її поведінку (функціонування). Поняття стану вже давно є одним з найважливіших у техніці. У теорії систем стан системи визначається як точка фазового простору, який містить всю інформацію про передісторію системи, суттєву для визначення її поведінки в майбутньому. Через стани системи можна пов'язати виходи системи з її входами.
У разі введення множини T як певної впорядкованої множини позитивних дійсних чисел t, які визначають плин часу, пару елементів  , де t Т, z Z, називають станом або фазою системи S, а множину ТZ — простором станів або фазовим простором системи, де — декартовий добуток. Перехідна функція z або її графік у просторі станів визначав поведінку системи або її траєкторію руху у фазовому просторі на певному проміжку часу t [, t). Поняття простору станів не повинне викликати труднощів. Можна уявити звичайний простір, в якому не три, а довільна кількість осей координат, а стан — це точка в цьому просторі, що характеризує об'єкт у поточний або довільний момент часу подібно тому, як координати звичайного простору характеризують просторове розташування. Під фазовим простором розуміється простір, в якому визначено не тільки статичні координати точки, координати її положення, але й міститься вся інформація, потрібна для визначення її поведінки в майбутньому.
Важливість поняття стану полягає в можливості, використовуючи його як деякий параметр, пов'язати з кожною вхідною змінною єдину вихідну змінну. Якщо зміна станів системи відбувається неперервно в часі, то динамічна система належить до класу неперервних систем. Якщо ж функцію (1.6) визначено на дискретній множині моментів часу t, то розглядають клас дискретних динамічних систем. В окремому випадку дискретні моменти часу можуть задаватись у момент настання деяких подій, які призводять до зміни станів системи. Отже, щоб відтворити функціонування системи або, іншими словами, її траєкторію у фазовому просторі, потрібно задати рівняння станів системи (1.6). Під час моделювання системи таке рівняння називають також функцією дії. Цю функцію можна задати в явному вигляді, наприклад за допомогою диференціального рівняння, або у вигляді алгоритму моделювання, який визначає стан системи в кожний момент часу t, або шляхом задания таблиці станів, як це виконується, наприклад, для дискретних автоматів.
Таким чином, процес, який під час моделювання системи описує її функціонування, визначається послідовністю станів, зв'язок між якими задається функцією дії та початковим станом системи. Отже, послідовність розташованих у порядку збільшення часу пар  визначає процес і описує поведінку системи.
У разі побудови моделей динамічних систем ці системи описуються у вигляді множини деяких реалій (рис. 1.9), які можна описувати та моделювати за допомогою властивостей, що змінюють стани системи. Зміна станів системи викликає події, яким відповідають певні умови. Виникнення певних умов приводить до дій, які утворюють конкретні процеси.
Рис. 1.9. Схема опису динамічних систем
Процес можна також розглядати як послідовність взаємопов'язаних дій за умовами визначення початку і закінчення дії.
1.8. Формальні методи побудови моделей
Розглядаючи сфери застосування моделей, можна констатувати, що за допомогою моделі можна досягти двох основних цілей [67]:
описової, якщо модель призначена для пояснення і кращого розуміння об'єкта,
або приписуючої, коли модель дає змогу передбачити або відтворити характеристики об'єкта або визначити його поведінку.
Таким чином, модель є описовою, якщо вона призначена зображувати поведінку (функціонування) або властивості існуючої або типової системи (наприклад, масштабна модель або письмовий опис, що дає змогу знайомити потенційних покупців із фізичними і робочими характеристиками комп'ютера). Протилежність — приписуюча модель, яка відображає необхідну поведінку або властивості запропонованої системи (наприклад, масштабна модель або письмовий опис, представлений постачальнику комп'ютерів, з фізичними і робочими характеристиками потрібного замовнику комп'ютера).
Приписуюча модель може бути описовою, але не навпаки. Тому існує різний ступінь корисності моделей, які використовуються в технічних і соціальних науках. Це значною мірою залежить від методів, і засобів, застосовуваних під час побудови моделей, а також від кінцевої мети. У соціальних науках моделі призначено для пояснення існуючих систем, а в техніці вони є допоміжними засобами для створення нових або більш досконалих моделей. Модель, що придатна для досягнення цілей розроблення системи, має також пояснювати її.
Під час побудови моделей застосовуються фундаментальні закони природи, варіаційні принципи, аналогії, ієрархічні ланцюжки. Процес створення моделі включає такі етапи.
Словесно-смисловий опис об'єкта або явища – формулювання описової моделі, призначеної для сприяння кращому розумінню об'єкта моделювання.
Числове вираження модельованої реальності для виявлення кількісної міри і границь відповідних якостей; з цією метою провадиться математико-статистична обробка емпіричних даних, пропонується кількісне формулювання якісно встановлених фактів і узагальнень.
Перехід до вибору або формулювання моделей явищ і процесів (варіаційного принципу, аналогії тощо) і його запису у формалізованій формі; це рівень структурних теоретичних схем, таких як системи масового обслуговування, мережі Петрі, скінченні або ймовірнісні автомати, діаграми фонд – потік тощо.
Завершення формулювання моделі її «оснащенням» — задания початкового стану і параметрів об'єкта.
Вивчення моделі за допомогою доступних методів (у тому числі із застосуванням різних підходів і обчислювальних методів).
У результаті дослідження моделі досягається поставлена мета. У цьому разі має бути встановлена всіма можливими способами (шляхом порівняння з практикою, порівняння з іншими підходами) її адекватність — відповідність об'єкта сформульованим припущенням.
1.8.1. Кібернетичний підхід
Систему можна вивчати та аналізувати, змінюючи вхідні впливи і спостерігаючи за виходами. Це кібернетичний підхід, згідно з яким система розглядається як «чорний ящик». Метод «чорного ящика» широко використовується під час моделювання систем, коли для дослідника важливо отримати інформацію про поведінку системи, а не про її будову. Дослідник не може зробити однозначний висновок про структуру «чорного ящика», спостерігаючи тільки за його входами та виходами, бо поведінка модельованої системи нічим не відрізняється від поведінки ізоморфних їй систем.
Для побудови моделі використовуються методи теорії ідентифікації. У загальному випадку завдання ідентифікації формулюється так: на основі результатів спостереження за вхідними та вихідними змінними системи потрібно побудувати оптимальну в деякому розумінні математичну модель. Основними етапами ідентифікації є такі:
Вибір класу і структури моделі та мови її опису.
Вибір класу і типів вхідних впливів X.
Обгрунтування критеріїв подібності системи та моделі.
Вибір методу ідентифікації та розроблення відповідних алгоритмів оцінювання параметрів системи.
Перевірку адекватності отриманої в результаті ідентифікації моделі.
Залежно від обсягу апріорної інформації про клас і структуру системи вирізняють завдання ідентифікації в широкому та вузькому розумінні [43]. Завдання ідентифікації у широкому розумінні виконується в умовах апріорної невизначеності структури моделі системи («чорний ящик»). Клас і структура математичної моделі вибираються на основі результатів теоретичного аналізу з використанням загальних закономірностей процесів, які протікають у системі, або на основі загальної інформації про подібні системи. У цьому випадку для побудови математичної моделі можна використовувати непараметричні методи.
х розроблено для тих ситуацій, які досить часто виникають на практиці, коли дослідник нічого не знає про параметри досліджуваної системи (звідси і назва методів — непараметричні).
|