Рис. 1.2. Схематичне зображення відношень між системою та моделлю
Отже, аналогія, абстракція та спрощення – це основні поняття, які використовуються під час моделювання систем. Розглянемо відношення між системою та моделлю, враховуючи, що ці відношення відповідають цілям моделювання та обмеженням досліджуваної системи. Під час використання поняття множини можливих станів системи Zs і моделі Zm розрізняють такі типи відношень.
Детерміновані відношення, коли стан системи однозначно визначає стан моделі:
де P — ймовірність; Zsi, Zmj — конкретні стани відповідно системи та моделі для скінченної множини значень і, j.
У цьому разі розглядається детермінована дискретна модель зі скінченною множиною можливих станів. Прикладом реалізації такої моделі може бути скінченний автомат або мережа Петрі.
Імовірнісні відношення зі скінченною множиною станів. У цьому випадку стан системи однозначно визначає стан моделі, але стан моделі визначає стан системи лише з деякою ймовірністю. Зазначені відношення для конкретних станів Zsi, Zmj можна подати в такому вигляді:
тобто розглядається дискретна стохастична модель зі скінченною множиною можливих станів. Прикладом реалізації подібної моделі може бути ймовірнісний автомат.
Імовірнісні відношення з нескінченною множиною станів, коли стани системи та моделі визначають стани одне одного лише з деякою ймовірністю:
Це так звані стохастичні моделі, до яких, наприклад, належать марківські моделі та моделі систем масового обслуговування.
1.4. Класифікація моделей
Для того щоб визначити види моделей, перш за все потрібно окреслити ознаки класифікації. У сучасній літературі описано сотні визначень поняття «модель» та їх класифікацій. Одну з перших, досить повних, класифікацій моделей було запропоновано Дж.Форрестером [65] у 1961 році. Інші класифікації наведено у працях [43, 54, 55], але в жодній з них немає відомостей про ознаки, за якими їх складено.
Якщо враховувати, що моделювання — це метод пізнання дійсності, то основною ознакою класифікації можна назвати спосіб подання моделі. За цією ознакою розрізняють абстрактні та реальні моделі (рис. 1.3). Під час моделювання можливі різні абстрактні конструкції, проте основною є віртуальна (уявна) модель, яка відображає ідеальне уявлення людини про навколишній світ, що фіксується в свідомості через думки та образи. Вона може подаватись у вигляді наочної моделі за допомогою графічних образів і зображень.
Рис. 1.3. Основні типи моделей
Наочні моделі залежно від способу реалізації можна поділити на дво- або тримірні графічні, анімаційні та просторові. Графічні та анімаційні моделі широко використовуються для відображення процесів, які відбуваються в модельованій системі. Графічні моделі застосовуються в системах автоматизованого проектування (computer-aided design, CAD). Для відтворення тримірних моделей за допомогою комп'ютера існує багато графічних пакетів, найбільш поширені з яких Corel DRAW, 3D Studio Мах і Maya. Графічні моделі є базою всіх комп'ютерних ігор, а також застосовуються під час імітаційного моделювання для анімації.
Щоб побудувати модель у формальному вигляді, створюють символічну, або лінгвістичну, модель, яка відповідала б найвищому рівню абстрактного опису, як це було зазначено вище. На базі неї отримують інші рівні опису.
Основним видом абстрактної моделі є математична модель. Математичною називається абстрактна модель, яка відображає систему у вигляді математичних відношень. Як правило, йдеться про систему математичних співвідношень, що описують процес або явище, яке вивчається; у загальному розумінні така модель є множиною символічних об'єктів і відношень між ними. Як відзначає Г.І.Рузавін у праці [51], «до сих пор в конкретных приложениях математики чаще всего имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними. Эти взаимосвязи описываются с помощью уравнений и систем уравнений», через що математична модель звичайно розглядається як система рівнянь, в якій конкретні величини замінюються математичними поняттями, постійними і змінними величинами, функціями. Як правило, для цього застосовуються диференціальні, інтегральні та алгебричні рівняння. Розвиток нових розділів математики, пов'язаних з аналізом нечислових структур, досвід їх використання під час проведення досліджень свідчать, що потрібно розширювати уявлення про мову математичних моделей. Тоді математична модель визначатиметься як будь-яка математична структура, де об'єкти, а також відношення між ними можна буде інтерпретувати по-різному, наприклад як функції або функціонали.
На відміну від абстрактних, реальні моделі існують у природі, й з ними можна експериментувати. Реальні моделі — це такі, в яких хоча б один компонент є фізичною копією реального об'єкта. Залежно від того, в якому співвідношенні знаходяться властивості системи та моделі, реальні моделі можна поділити на натурні та макетні.
Натурні (фізичні) моделі — це існуючі системи або їх частини, на яких провадяться дослідження. Натурні моделі повністю адекватні реальній системі, що дає змогу отримувати високу точність і достовірність результатів моделювання. Суттєві недоліки натурних моделей — це неможливість моделювання критичних і аварійних режимів їх роботи та висока вартість.
Макетні моделі — це реально існуючі моделі, які відтворюють модельовану систему в певному масштабі. Іноді такі моделі називаються масштабними. Параметри моделі та системи відрізняються між собою. Числове значення цієї різниці називається масштабом моделювання, або коефіцієнтом подібності. Ці моделі розглядаються в рамках теорії подібності, яка в окремих випадках передбачає геометричну подібність оригіналу й моделі для відповідних масштабів параметрів. Найпростіші макетні моделі – це пропорційно зменшені копії існуючих систем, які відтворюють основні властивості системи або об'єкта залежно від мети моделювання. Макетні моделі широко використовуються під час вивчення фізичних та аеродинамічних процесів, гідротехнічних споруд і багатьох інших технічних систем.
За можливістю змінювати в часі свої властивості моделі поділяються на статичні та динамічні. Статичні моделі, на відміну від динамічних, не змінюють своїх властивостей у часі. Динамічні моделі також називаються імітаційними.
Залежно від того, яким чином відтворюються в часі стани моделі, розрізняють дискретні, неперервні й дискретно-неперервні (комбіновані) моделі.
За відношеннями між станами системи й моделі розрізняють детерміновані й стохастичні моделі. Останні, на відміну від детермінованих моделей, враховують імовірнісні явища й процеси.
1.5. Вимоги до моделей
У загальному випадку під час побудови моделі потрібно враховувати такі вимоги:
незалежність результатів розв'язання задач від конкретної фізичної інтерпретації елементів моделі;
змістовність, тобто здатність моделі відображати істотні риси і властивості реального процесу, який вивчається і моделюється;
дедуктивність, тобто можливість конструктивного використання моделі для отримання результату;
індуктивність — вивчення причин і наслідків, від окремого до загального, з метою накопичення необхідних знань.
Оскільки модель створюється для вирішення конкретних завдань, розробник моделі має бути впевненим, що не отримає абсурдних результатів, а всі одержані результати відображатимуть необхідні для дослідника характеристики та властивості модельованої системи.
Модель повинна дати можливість знайти відповіді на певні запитання, наприклад: «що буде, якщо ...», оскільки вони є найбільш доцільними під час глибокого вивчення проблеми. Не варто забувати, що системні аналітики використовують модель для прийняття рішень і пошуку найкращих способів створення модельованої системи або її модернізації. Завжди потрібно пам'ятати, що користувачем інформації, отриманої за допомогою моделі, є замовник. Недоцільно розробляти модель, якщо її не можна буде використовувати. Більш того, робота з моделлю має бути автоматизованою для замовника до такого ступеня, щоб він міг працювати з нею в межах своєї предметної області. Таким чином, між моделлю і користувачем повинен бути розвинутий інтерфейс, який звичайно створюється за допомогою системи меню, налагодженої на застосування моделі в певній галузі.
Ступінь деталізації моделі потрібно вибирати з огляду на цілі моделювання; можливості отримання необхідних вхідних даних для моделі; з урахуванням наявних ресурсів для її створення. Відсутність кваліфікованих фахівців може звести роботи зі створення моделі нанівець. З іншого боку, чим детальніше розроблено модель, тим вона стійкіша до вхідних впливів, які не були передбачені під час проектування, і на більшу кількість запитань може дати правильні відповіді.
1.6. Основні види моделювання
Єдина класифікація видів моделювання неможлива через багатозначність поняття моделі в науці, техніці, суспільстві. Широко відомими видами моделювання є комп'ютерне, математичне, імітаційне та статистичне.
Комп'ютерне моделювання визначимо як реалізацію моделі за допомогою комп'ютера. Особливістю комп'ютерного моделювання є його інтерактивність, що дає змогу користувачу втручатися в процес моделювання та впливати на результати завдяки узгодженості дій користувача і моделі, яка відтворює об'єкти реальногосередовища або гіпотетичні події та процеси. Під час комп'ютерного моделювання може бути задіяно реальні об'єкти (наприклад, кабіна пілота), віртуальні об'єкти, згенеровані комп'ютером, які відтворюють реальні об'єкти (наприклад, потоково-конвеєрна лінія для збирання автомобілів). Інтерактивне комп'ютерне моделювання широко застосовується в навчальних системах, наприклад для побудови тренажерів і в ситуаційних іграх.
Що стосується математичних моделей, або математичного моделювання, то слід відзначити, що під час їх використання багато чого залежить від способу подання як моделі, так і результатів моделювання. Розглянемо простий приклад. Нехай на деякому підприємстві для водопостачання використовується резервуар, об'єм якого становить W тисяч літрів. Рівень споживання – VП тисяч літрів, а швидкість наповнення резервуара – VЗ тисяч літрів за добу. Необхідно знайти час Т, за який буде заповнено резервуар. Схему цієї системи зображено на рис. 1.4, де резервуар позначено прямокутником, а вхідний і вихідний потоки – стрілками з «вентилями», які регулюють ці потоки. Хмарки позначають необмежені потоки. Такі ідеограми широко використовуються під час побудови моделей неперервних процесів.
Рис. 1.4. Схема системи водопостачання
Знайдемо час заповнення резервуара:
|
(1.1)
|
Ця математична модель процесу наповнення резервуара є надто ідеалізованою, тому що всі її параметри вважаються незмінними в часі, зовнішні впливи на систему не враховуються. Завдяки такій ідеалізації маємо дуже просту модель, яка дає змогу розв'язати задачу аналітично. Однак за допомогою такої моделі можна отримати відповідь тільки на одне конкретне запитання — за який час буде заповнено резервуар.
Якщо задачу наблизити до практики, то, будуючи модель, необхідно враховувати, що потреби підприємства у водопостачанні постійно змінюються, більш того, можливі перебої в роботі насосів під час подавання води. Розв'язок задачі в частково замкнутому вигляді можна записати як
|
(1.2)
|
За рахунок неявного запису отримано більш придатну для дослідження та аналізу реальних процесів математичну модель. Час заповнення резервуара об'ємом W залежить від параметрів моделі  ,  . Використання цієї моделі дає можливість вивчити відношення між величинами і , якщо задавати різні початкові значення для них, і побудувати графік наповнення резервуара (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Графік наповнення резервуара
Реалізувати цю модель можна за допомогою і чисельних методів. Змінюючи у формулі (1.2) значення t від 0 з деяким кроком t до такого, що буде виконуватись рівність, отримаємо динамічну характеристику заповнення резервуара. Чим менший крок t, тим точніший отримаємо результат, але тим довше буде вирішуватись задача моделювання.
Термін «моделювання» відповідає англійському слову «modeling», тобто побудові моделі та її аналізу. Англійський термін «simulation» відповідає прийнятому терміну «імітаційне моделювання», але часто вони використовуються разом, коли йдеться про технологічні або системні етапи моделювання, пов'язані з прийняттям рішень за допомогою моделей.
Імітаційне моделювання – це метод конструювання моделі системи та проведення експериментів. Однак під таке визначення підпадають майже всі види моделювання. Тому потрібно виділити суттєві особливості імітаційного моделювання.
Перш за все слід подати в моделі структуру системи, тобто загальний опис елементів і зв'язків між ними, потім визначити засоби відтворення в моделі поведінки системи. Здебільшого поведінку системи описують за допомогою станів і моментів переходів між ними. Стан системи в момент часу t визначають як безліч значень певних параметрів системи у цей самий момент часу t. Будь-яку зміну цих значень можна розглядати як перехід до іншого стану. І врешті-решт, імітаційна модель має відобразити властивості середовища, в якому функціонує досліджувана система. Зовнішнє середовище задають вхідними впливами на модель.
Вся інформація про імітаційну модель загалом має логіко-математичний характер і подається у вигляді сукупності алгоритмів, які описують процес функціонування системи. Отже, здебільшого імітаційною моделлю є її програмна реалізація на комп'ютері, а імітаційне моделювання зводиться до проведення експериментів з моделлю шляхом багаторазового прогону програми з деякою множиною даних — середовищем системи. Під час імітаційного моделювання може бути задіяно не тільки програмні засоби, але й технічні засоби, люди та реальні системи.
З математичної точки зору імітаційну модель можна розглядати як сукупність рівнянь, які розв'язують з використанням чисельних методів у разі кожної зміни модельного часу. Окремі рівняння можуть бути простими, але їх кількість і частота розв'язання — дуже великими. Розв'язання таких рівнянь під час імітаційного моделювання означає встановлення хронологічної послідовності подій, які виникають у системі і відображають послідовність її станів. Отже, імітаційна модель функціонує так само, як система.
Якщо повернутись до процесу наповнення резервуара (рис. 1.6), то за допомогою імітаційної моделі весь процес можна відтворити з використанням рівняння (1.2). Позначимо через Wi поточний стан резервуара, який відтворюється в певні моменти модельного часу, що змінюється з постійним кроком t:
|
(1.3)
|
де ti = ti+1 + t (і = 1, 2, ...), t0 = 0. Така модель є детермінованою. Процес моделювання закінчується, якщо на деякому кроці виконується умова W Wi, тобто розв'язок отримуємо за один прогін імітаційної моделі. Точність результату буде залежати від значення t.
|