Моделювання як одну з найважливіших категорій процесу пізнання неможливо відокремити від розвитку людства. Ще з дитинства людина пізнає світ, спочатку через

Скачати 1.37 Mb.

Назва	Моделювання як одну з найважливіших категорій процесу пізнання неможливо відокремити від розвитку людства. Ще з дитинства людина пізнає світ, спочатку через
Сторінка	15/15
Дата	17.03.2013
Розмір	1.37 Mb.
Тип	Лекция

bibl.com.ua > Інформатика > Лекция

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Интегрирование методом Монте-Карло

Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рис. 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с

-мерной функцией. Тогда нам необходимо

отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/regular_integration.jpg/250px-regular_integration.jpg

Рис. 2. Численное интегрирование функции детерминистическим методом

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$ . Рассмотрим случайную величину

, равномерно распределённую на отрезке интегрирования

. Тогда

также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как

$\mathbb{e}f(u)=\int\limits_a^b f(x)\phi(x)\,dx$ ,

где $~\phi(x)$ — плотность распределения случайной величины

, равная $\frac{1}{b-a}$ на участке

.

Таким образом, искомый интеграл выражается как

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx = (b-a)\mathbb{e}f(u)$ .

Но матожидание случайной величины

можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем

точек, равномерно распределённых на

, для каждой точки

вычисляем

. Затем вычисляем выборочное среднее:

$\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}f(u_i)$ .

В итоге получаем оценку интеграла:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{n}\sum^{n}_{i=1}f(u_i)$

Точность оценки зависит только от количества точек

.

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как $\frac{b-a}{n}$ , и суммируем их площади.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/mc_integration.jpg/250px-mc_integration.jpg

Рис. 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого $s_{par}$ можно легко вычислить;
«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;
определим число точек (штук), которые попадут под график функции;
площадь области, ограниченной функцией и осями координат, даётся выражением $s = s_{par}\frac{k}{n}$ .

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости.

Применение в физике

Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним из самых распространённых во многих областях от квантовой физики до физики твёрдого тела, физики плазмы и астрофизики.

Алгоритм Метрополиса

Традиционно метод Монте-Карло применялся для определения различных физических параметров систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Предположим, что имеется набор

возможных состояний физической системы

. Для определения среднего значения $\overline{a}$ некоторой величины

необходимо рассчитать $\overline{a}=\sum_{s} a(s)p(s)$ , где суммирование производится по всем состояниям

из

— вероятность состояния

Прямое моделирование методом Монте-Карло

Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принципов, однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики: с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим.

Аналогия (др.-греч. соответствие, сходство) — подобие, равенство отношений; сходство предметов, явлений, процессов, величин в каких-либо свойствах, а также познание путём уровневого (по горизонтали и по вертикали сравнения.

Между сравниваемыми вещами должно иметься как различие, так и подобие; то, что является основой сравнения, должно быть более знакомым, чем то, что подлежит сравнению. Различие и подобие вещей должны существовать в единстве (метафизическая аналогия) или по крайней мере не должны быть разделяемы (физическая аналогия). В т. н. атрибутивной аналогии то, что является основанием подобия двух вещей, переносится с первого члена аналогии на второй (когда, напр., по аналогии с человеческим телом поступки, поведение человека рассматривают как «здоровые»). В т. н. пропорциональной аналогии каждый из членов аналогии содержит нечто, в чём он в одно и то же время подобен и не подобен другому.

Модель аналогии (лат. modus — образец, копия, образ) — предметная, математическая или абстрактная система, имитирующая или отображающая принципы внутренней организации, функционирования, особенностей исследуемого объекта (оригинала), непосредственное изучение которого, по разным причинам, невозможно или усложнено. В процессе познавательного мышления, «модель аналогии» выполняет разнообразные функции, для сжатого объяснения (описания по образу аналогии) произведения, теории, учения, гипотезы, интерпретации и так далее. Модели широко используются в математике, логике, структурной лингвистике, физике, для моделирования человеческого сообщества, истории, в аналитике и других областях знаний. Умозаключения за «модель аналогии», являются гипотетическими — истинность или ошибочность которых, в дальнейшем, обнаруживается (подтверждается или опровергается) в ходе проверки (испытаний).

Аналогия в философии, — умозаключение, в котором от внешней подобности предметов за одними признаками, делается вывод про возможность их схожести по другим признакам. К примеру понятие «аналогично» — употребляется при умозаключении по аналогии, знания, полученные при рассмотрении предмета (объекта, модели), переносятся на другой, менее доступный для исследования (созерцания, диалога).
Аналогия в квантовой физике — нашла широкое применение, с ее помощью выстраивались обширные абстрактные теории-аналогии, — модели призванные лучше понять природу вещей, спрятанную от человеческого зрения. Модель заменяет этот объект, давая общее представление о нем, или же в процессе целевого изучения оригинала, для получения новой информации о нем. Данные модели применялись при описания атома, или атомарной структуры.
Аналогия в математике:
- «Возможно не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогии». Дьёрдь Пойа.
- «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии». Стефан Банах.
Аналогия в биологии — сходство каких-либо структур или функций, не имеющих общего происхождения, понятие противоположное гомологии.
Аналогия в теологии (аналогия сущего, аналогия бытия, лат. Analogia entis) — один из основных принципов католической схоластики, обосновывает возможность познания бытия Бога из бытия сотворённого им мира.
Аналогия в лингвистике — уподобление одной единицы языка другой в каком-либо-отношении.

1 Декартовим добутком множин АВ називається сукупність будь-яких пар виду (a, b), така що АВ = ((a, b)| а  А, b  В).

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Схожі:

2. Сучасні західні школи праворозуміння Основними сучасними західними школами право розуміння є Праворозуміння являє собою одну з найважливіших правових категорій, що відображає одночасно як процес так і результат цілеспрямованого...	Роботи «ТЕМА РОБОТИ» затверджена наказом № … від «…» 2012 р Модель бізнес-процесу, результати імітаційного моделювання, результату аналізу виконання імітаційного моделювання процесу, код на...
Методичні рекомендації щодо використання загальнорозвивальних вправ... Пізнає світ! І що найцікавіше — пальчиками. Написано чимало літератури про залежність від рухливості пальців розвитку розумової діяльності...	Закономірності «метод», «методологія», виявити евристичні можливості методів наукового пізнання, а також дослідити діалектику взаємопереходів від...
Найважливіша проблема філософії людина-світ. Ф наука світоглядна.... Ф. це не просто особлива наукова дисципліна, а ще і специфічний тип мислення і навіть емоційний настрій, система світоглядних почуттів...	Де підстерігає небезпека нас і наших дітей? Коли дитина тільки пізнає, світ, її увагу притягують і такі предмети, як розетка, штепсель, проводка
План Природа і призначення процесу пізнання. Пізнання як процес відображення... Пізнання, як і свідомість в цілому, реально існує за допомогою мови. Пізнавальний процес відображає не тільки наявні у дійсності...	Поняття про моделі та моделювання. Класифікація моделей. Поняття... Одним із важливих методів добування нової інформації людиною, пізнання нею довколишнього світу є моделювання
Реферат на тему: „ Відчуття та діяльність“ Знання про зовнішній і свій внутрішній світ людина набуває в ході чуттєвого та логічного пізнання дійсності за допомогою пізнавальних...	Одним з найважливіших елементів ринкового механізму є конкуренція.... Для подібної галузі не може бути побудовано абстрактної моделі, як це можна зробити у випадках чистої монополії і чистої конкуренції....

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання