Сума кутів трикутника
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює  .
Із цієї теореми випливають наслідки:
1. У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі (тобто в трикутнику не може бути більше одного прямого або тупого кута).
2. Кути рівностороннього трикутника дорівнюють  .
Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний із кутом трикутника при цій вершині (див. рисунок):
Властивості зовнішнього кута
Теорема 1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
Теорема 2. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
Теорема 3. Сума зовнішніх кутів трикутника дорівнює  .
Прямокутний трикутник
Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут.
Сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою.
Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами.
На рисунку  — прямокутний. AB і BC — катети, AC — гіпотенуза.
Теорема. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює  .
Ознаки рівності прямокутних трикутників
Теорема 1. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 3. Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 4. Якщо катет і прилеглий (протилежний) гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й прилеглому (протилежному) гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Властивість катета, протилежного куту в 30°
Теорема 1. У прямокутному трикутнику з кутом  катет, протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.
Теорема 2. Якщо в прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний цьому катету кут дорівнює .
Коло
Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола.
Відстань від точок кола до його центра називається радіусом кола. Радіусом також називається будь-який відрізок, що сполучає точку кола з його центром.
Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.
На рисунку зображено коло з центром у точці O. OA — радіус кола, MN — діаметр, BC — хорда.
Теорема 1. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.
Теорема 2. Діаметр, який проходить через середину хорди, перпендикулярний до неї.
Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього.
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.
Теорема 3. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Його центр — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Зверніть увагу: у гострокутному трикутнику центр описаного кола лежить у середині трикутника (рисунок нижче зліва). У прямокутному трикутнику центр описаного кола — середина гіпотенузи (рисунок посередині). Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить поза трикутником (рисунок справа).
Дотична до кола
Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. Дана точка кола називається точкою дотику.
Теорема 1. Дотична до кола має з ним єдину спільну точку — точку дотику.
На рисунку a — дотична.
Якщо два кола, які мають спільну точку, мають у ній спільну дотичну, кажуть, що ці кола дотикаються. Дотик кіл називають внутрішнім, якщо центри кіл лежать по один бік від їх спільної дотичної (рисунок нижче зліва), і зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні боки від спільної дотичної (рисунок справа).
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.
Теорема 2. У будь-який трикутник можна вписати коло. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.
Теорема 3. Із будь-якої точки поза колом можна провести до кола дві дотичні. Відрізки цих дотичних від даної точки до точок дотику рівні. Промінь, що виходить із даної точки й проходить крізь центр кола, є бісектрисою кута між дотичними.
На рисунку нижче AB і AC — дотичні. Теорема стверджує, що AB = AC; AO — бісектриса  .
Геометричне місце точок
Геометричним місцем точок (ГМТ), які мають певну властивість, називається така фігура, що складається з усіх точок площини, які мають цю властивість, і тільки з них.
Довести, що фігура М є ГМТ, які мають властивість Р, означає довести два такі твердження.
1. Якщо точка А ∈ М, то вона має властивість Р.
2. Якщо точка А має властивість Р, то А є М.
Приклади
1) Коло — це ГМТ, рівновіддалених від даної точки.
2) Бісектриса кута — це ГМТ, рівновіддалених від сторін кута (див. рисунок):
3. Серединний перпендикуляр до відрізка — це ГМТ, рівновіддалених від кінців відрізка (див. рисунок):
Пряма й обернена теореми
Формулювання теореми складається з двох частин. В одній говориться про те, що дано. Ця частина називається умовою. У другій частині говориться про те, що треба довести. Ця частина називається висновком.
Приклади
1) Якщо кути суміжні, то їх сума дорівнює 180°.
Умова Висновок
2) У прямокутному трикутнику центр описаного кола — середина гіпотенузи.
Умова: трикутник є прямокутним.
Висновок: центр описаного кола — середина гіпотенузи.
3) Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
Дано (умова): прямі a, b, c;  ; .
Довести (висновок):  .
Якщо умови й висновок теореми поміняти місцями, отримаємо теорему, яка називається оберненою до даної («прямої») теореми. Такі дві теореми називають взаємооберненими. Кожну з них можна назвати прямою, тоді інша буде оберненою. Інколи із цих двох теорем правильною є тільки одна.
Приклад
Пряма теорема. Якщо кути вертикальні, то вони рівні. (Правильно.)
Обернена теорема. Якщо кути рівні, то вони вертикальні. (Неправильно.)
Бувають випадки, коли правильними є обидві теореми.
Приклад
Пряма теорема. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. (Правильно.)
Обернена теорема. Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений. (Правильно.)
У таких випадках використовують словосполучення «тоді й тільки тоді», «необхідно й достатньо».
Приклади
1) Катет прямокутного трикутника тоді й тільки тоді дорівнює половині гіпотенузи, коли протилежний йому кут дорівнює . (Це твердження містить одночасно пряму й обернену теореми.)
2) Для того щоб прямі були паралельними, необхідно й достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними.
Треба розуміти, що твердження «для того щоб прямі були паралельними, необхідно, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними» означає властивість паралельних прямих.
Твердження «для того щоб прямі були паралельними, достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними» означає ознаку паралельних прямих.
Доведеннявід супротивного
Цей спосіб доведення складається з таких етапів.
1. Припускають протилежне тому, що стверджується теоремою.
2. На основі припущення, спираючись на аксіоми і вже доведені теореми, роблять висновки.
3. Знаходять, у чому цей висновок суперечить умові, якійсь аксіомі або доведеній раніше теоремі.
4. Роблять висновок, що зроблене припущення неправильне, а тому правильне твердження теореми.
Особливо часто використовують цей спосіб доведення, коли треба довести єдиність якого-небудь об’єкта. (Припускають протилежне, тобто що таких об’єктів хоча б два.)
Приклад. Довести, що в трикутнику може бути тільки один тупий кут.
Доведення:
1) Припустимо, що в трикутнику є два тупих кути.
2) Тоді сума кутів трикутника більша за , тому що міра тупого кута більша за .
3) Зроблений висновок суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
4) Отже, наше припущення неправильне, а правильне те, що треба було довести.
Приклади розв’язування типових задач з геометрії для 7 класу
Треба добре розуміти: коли ми доводимо теорему або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обґрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або довести.
Задача на ознаки рівності трикутників
Задача. На рисунку  ;   .
Довести, що  .
Доведення:
(Зверніть увагу: дані кути  не є кутами трикутників, що розглядаються.)
1)  як вертикальні з рівними кутами ( і  відповідно).
2) Розглянемо і  .
за доведеним;
 як вертикальні;
за умовою.
Отже, за стороною й двома прилеглими до неї кутами.
|