Перпендикуляр
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (див. рисунок), тобто, коли вони перетинаються, утворюються чотири прямих кути.
Позначення:  .
Теорема 1. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму, і до того ж тільки одну.
Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним зі своїх кінців точку їх перетину.
На рисунку AB — перпендикуляр, проведений із точки A до прямої a. Точка B називається основою перпендикуляра.
Позначення:  .
Теорема 2. Із будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр, і тільки один.
Зверніть увагу: теорема містить два твердження — існування перпендикуляра і його єдиність.
Бісектриса
Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута, проходить між його сторонами й ділить кут пополам.
На рисунку BD — бісектриса  .
Властивості бісектриси
Теорема 1. Бісектриса кута утворює з його сторонами кути, не більші за  .
Теорема 2. Бісектриси вертикальних кутів лежать на одній прямій (тобто є доповняльними півпрямими).
Теорема 3. Бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут.
Теорема 4. Бісектриса розгорнутого кута утворює прямий кут з його стороною.
Ознаки рівності трикутників
Теорема 1 (перша ознака рівності трикутників — за двома сторонами й кутом між ними).
Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 2 (друга ознака рівності трикутників — за стороною й прилеглими до неї кутами).
Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 3 (третя ознака рівності трикутників — за трьома сторонами).
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Висота, бісектриса, медіана трикутника
Висотою трикутника, опущеною з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.
У кожному трикутнику можна провести три висоти. Висоти трикутника (або прямі, що їх містять) перетинаються в одній точці.
На рисунках зображено, як перетинаються висоти в гострокутному (рисунок 1), прямокутному (рисунок 2) і тупокутному (рисунок 3) трикутниках.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Зверніть увагу: якщо в гострокутному трикутнику основи всіх висот лежать на сторонах трикутника, то в прямокутному дві з трьох висот збігаються зі сторонами, а основа висоти, що опущена з вершини гострого кута тупокутного трикутника, лежить на продовженні сторони.
Бісектрисою трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає цю вершину з точкою на протилежній стороні.
У кожному трикутнику можна провести три бісектриси, які перетинаються в одній точці (див. рисунок). Ця точка є центром вписаного кола (див. далі).
Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що сполучає цю вершину із серединою протилежної сторони. У трикутнику можна провести три медіани, які перетинаються в одній точці.
Рівнобедрений трикутник
Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона — основою трикутника.
На рисунку:
ABC — рівнобедрений трикутник;
 — бічні сторони;
AC — основа.
Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними.
Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику медіана, висота й бісектриса, проведені до основи, збігаються.
Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін (а також бісектриси й висоти), рівні.
Рівносторонній трикутник
Якщо всі сторони трикутника рівні, він називається рівностороннім.
На рисунку  .
Теорема 1. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.
Теорема 2. У рівносторонньому трикутнику висота, медіана, бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються.
Теорема 3. У рівносторонньому трикутнику всі медіани (висоти, бісектриси) рівні між собою.
Ознаки рівнобедреного трикутника
Теорема 1. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Теорема 2. Трикутник рівнобедрений, якщо:
• одна з його висот є медіаною;
• одна з його медіан є бісектрисою;
• одна з його висот є бісектрисою.
Теорема 3. Трикутник рівнобедрений, якщо:
• дві його висоти рівні;
• дві його медіани рівні;
• дві його бісектриси рівні.
Аналогічно можна сформулювати ознаки рівностороннього трикутника.
Паралельні прямі
На рисунку зображені кути, утворені в результаті перетину двох прямих січною:
 і  ;  і  — внутрішні різносторонні кути при прямих a, b і січній c.
і ; і — внутрішні односторонні.
 і  ;  і  — зовнішні односторонні.
і ; і — зовнішні різносторонні.
і ; і ; і ; і — відповідні.
Властивості паралельних прямих
Теорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то:
1) внутрішні різносторонні кути рівні;
2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює  ;
3) зовнішні різносторонні кути рівні;
4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює ;
5) відповідні кути рівні.
На рисунку позначені числами чотири пари кутів. Теорема стверджує, що, якщо  , то  ,  ;  ;  ;  :
Теорема 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.
Теорема 3. Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній.
Об’єднуючи це твердження з аксіомою IX, отримуємо: через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній, причому тільки одну.
Ознаки паралельності прямих
Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов:
а) внутрішні різносторонні кути рівні;
б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює ;
в) зовнішні різносторонні кути рівні;
г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює ;
д) відповідні кути рівні,— то прямі паралельні.
Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній.
|