УРОК 14 Тема уроку

Означення. Точка а із області визначення функції f(x) називаєть­ся точкою максимуму цієї функції, якщо існує та­кий окіл точки а, що для всіх х а із цього околу виконується нерівність f(x) < f(a). (Рис. 39).
Означення. Точка b із області визначення функції f(x) називаєть­ся точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для всіх х b із цього околу вико­нується нерівність f(x) < f(b). (Рис. 40).

Точки максимуму і точки мінімуму називають точ­ками екстремуму функції, а значення функції в цих точках називають екстремумами функції (максимум і мінімум функції).

Точки максимуму позначають х_max , а точки мінімуму — х_min . Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються відповідно: у_max і у_min.
Виконання вправ______________________________

1. Для функцій, графіки яких зображено на рисунках 41, α—г знайдіть:

1) точки максимуму і мінімуму функції;

2) екстремуми функції.





Відповідь: 1) а) х_max= 3, x_min= 0, х_max= 3; б) х_max= – 8, x_min= – 6; х_max= – 3; x_min = 1; х_max= 5; в) x_min= –1; х_max= 1; г) x_min= –2; х_max= –1; x_min= 0; х_max= 1; x_min= 2;

2) a) y_max= 4; y_min=0; б) y_max= 5; y_max= 7; y_min= 0; в) y_min= –1; y_max= 1; г) y_min = –3; y_min= 0; y_max= 2.

III. Сприймання і усвідомлення необхідної умови екстремуму, поняття стаціонарної точки.

Розглянемо функцію у = f(x), яка визначена в деякому околі точки x_o і має похідну в цій точці.

Якщо x_o — точка екстремуму диференційованої функції у = f(x), то f’(х_o) = 0.

Це твердження називають теоре­мою Ферма на честь П'єра Ферма (1601—1665) — французького мате­матика.

Теорема Ферма має наочний гео­метричний зміст: в точці екстрему­му дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f’(х_o) до­рівнює нулю (рис. 42).

Наприклад, функція f(x) = х² – 2 має в точці х_o = 0 мінімум (рис. 43), її похідна f'(0) = 0. Функція f(x) = 1 - х² (рис. 44) має максимум у точці х_o = 0, f(x)= – 2х і f’(0) = 0.

Слід зазначити, що якщо f’(х_o) = 0, то х_o не обов'язково є точкою екстремуму.

Наприклад, якщо f(x) = х³, то f`(x) = 3x<sup>2</sup> і f`(х_o) = 0. Проте точка х = 0 не є точкою екст­ремуму, оскільки функція f(x) = x³ зростає на всій числовій осі (рис. 45).

Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рів­няння f’(x) = 0, але не завжди корінь рівнян­ня f’(x) = 0 є точкою екстремуму.

Внутрішні точки області визначення функ­ції у = f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарни­ми. Отже, для того щоб точка х_o була точкою екстремуму, необ­хідно, щоб вона була стаціонарною.

Виконання вправ_____________________________

1. Знайдіть стаціонарні точки функції:

а) у = 5 + 12х - х³; б) у = 9 + 8x² - x⁴; в) у = e^2x - 2e^x·, г) у = sin х - cos х.

Відповідь: а) х = ±2; б) х = 0, х = ±2; в) х = 0; г) х = - +2πn, n Ζ.

IV. Сприймання і усвідомлення достатньої ознаки екстремуму функції.

Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екст­ремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч — від'ємна, тобто при переході через цю точку по­хідна змінює знак з «+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 46).

Дійсно, в цьому випадку ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точка максимуму.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від'ємна, а праворуч — додат­на, тобто при переході через стаціонар­ну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму (рис. 47).

Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від'ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Приклад 1.Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х³ – 3х.

Розв'язання

Область визначення даної функції — R.

Знайдемо f`(x): f`(x) = (x³ - 3x)' =3х²- 3.

Похідна існує для всіх x є R.

Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 3х² - 3 = 0, х² — 1 = 0, x = ±1.

Наносимо область визначення та стаціонарні точки на коор­динатну пряму (рис. 48) і визна­чимо знак похідної на кожному проміжку:

f`(-2) = 3 · (-2)² - 3 = 9 > 0;

f`(0) = 3 · (0)² - 3 = -3 < 0;

f`(2) = 3 · (2)² - 3 = 9 > 0.

Точка χ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: х_max = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: х_min = 1.

Відповідь: х_max= -1, х_min= 1.

Приклад 2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х⁴ - 4х³.

Розв'язання

Область визначення функції — R.

Знайдемо похідну:

f`(x)= (x⁴ – 4х³) = 4x³ – 12х² = 4x²(х – 3).

Знайдемо стаціонарні точки: f`(x) = 0, 4x²(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кож­ному інтервалі.

x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: х_min= 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, у_min = f(3) = 3⁴ – 4 · 3³ = – 27.

Відповідь: у_min = f(3) = – 27.

Виконання вправ

Виконати вправи № 2 (7; 10; 13) із розділу VIII підручника.

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ VIII § 1—2. Запитання і завдання для повторення роз­ділу VIII № 5—11. Вправи № 2 (1; 2) розділу VIII.

Роганін Алгебра 11 клас, урок 14