УРОК 33 Тема уроку

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 14).

!Коренем п-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 2³ = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 3⁴ = 81, (-3)⁴ = 81.

Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хⁿ = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а.

Якщо п — парне, тобто п = 2k, k N, то рівняння х^2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

Якщо п — непарне, тобто п = 2k + 1, k N, то рівняння х^2k+1 = а завжди має лише один корінь.
Таблиця 14

Корінь n-гo степеня
Означення кореня n-го степеня з числа а: число, n -й степінь якого дорівнює а. Корінь рівняння: х2 = а	Означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а:
	, ,…,- існують для аR. Якщо а < 0, то = - . , , … , - існують для а 0. Тотожності Якщо існує, то = а . , а R , а R. Основні властивості = · ,, . , , .
	, , .

!

Невід'ємний корінь рівняння хⁿ = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

!Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так: . Число n називають показником кореня, число а — підкоре­невим числом (виразом).

Якщо п = 2, то замість пишуть і називають арифме­тичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметич­ний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь п-го степеня».
Приклад. Знайдемо значення: -

а) ; б) ; в) ; г) .

а) = 2, оскільки 2³ = 8 і 2 > 0;

б) = 3, оскільки 3⁴ = 81 і 3 > 0;

в) = 1, оскільки 1⁵ = 1 і 1 > 0;

г) = 0 , оскільки 0¹⁰⁰ = 0.

Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз має смисл, якщо і набуває невід'ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.

Для коренів непарного степеня справедлива рівність = – .

Дійсно .

Рівність = – дозволяє виразити корінь непарно­го степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.

Приклад. Знайдемо значення:

а) ; б) ; в) .

a) = - = -2; б) = - = -2 ; в) = - = -3 .

Отже, вираз має смисл для будь-якого а R і може набувати будь-яких значень.
Виконання вправ______________________________

1. Вправа № 7 до розділу III.

2. Розв'яжіть рівняння:

а) х³ = 64; б) х⁵ = - ; в) х⁴ = 81; г) х⁶ = - 64; д) х³ = 15; е) х⁴ = 15. Відповідь: а) 4; б) - ; в) 3; - 3; г) немає коренів; д) ; е) ; - .

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у =; б) у = ; в) у = ;

г) у = ; д) у = +; е) у =

Відповідь: а) х 2; б) х R; в) х 3; г) х ≠ 0; д) 0; е) не визначена.

Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степе­ня випливає:

1. Якщо існує, то ()n = а . 2. 3.

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні вла­стивості мають і корені n-го степеня.

!Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-­го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: ·=.

!Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: .

!Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: .

!Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: .

!Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкоре­невого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: .

Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:

3) Так як а 0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює а^k. Згідно з властиво­стями степенів з цілим показником маємо:



4) При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді



Отже, .

5) Згідно з означенням кореня — це таке невід'ємне чис­ло, n-й степінь якого дорівнює а^mp, тобто досить довести .

Маємо .

Виконання вправ__________________

1. Знайдіть значення виразів:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Відповідь: а) 1,5; б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д) .

2. Обчисліть:

а) ·; б) ·; в) ; г) .

Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.

3. Знайдіть корінь із степеня:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 125; б) 0,09; в) 0,72; г) 16.

4. Спростіть вирази:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) = ; б) ; в) ; г) .
IV. Підсумок проведення уроку.
V. Домашнє завдання.

Розділ III § 1 (1—2). Запитання і завдання для повторення роз­ділу III № 1—12, 17—24. Вправи № 14 (1, 2, 4—6), № 15.

Роганін Алгебра 10 клас, Урок 33