Рис. 4.11. Оптимальні за Парето розв’язки для неопуклих множин
Водночас, як видно з рисунка, не існує лінійної функції складових векторного критерію якості, яка досягала б у точці Q(x*) максимального значення. Це означає, що для неопуклого випадку потрібно шукати інші умови оптимальності за Парето. Крім того, намагаючись отримати такі умови, доцільно було б зберегти попередню структуру умов для опуклих задач, тобто відображення їх за допомогою максимуму якоїсь функції, щоб аналізувати опуклі та неопуклі задачі щонайменше з близьких позицій.
Отже, бажано одержати умову оптимальності за Парето для неопуклих задач у такому вигляді: щоб альтернатива х* була оптимальною за Парето, необхідно і достатньо, щоб деяка скалярна функція , залежна від складових векторного критерію якості Q1, ..., Qn, досягала максимуму в точці Q(x*). Для того, щоб таке твердження було конструктивним, потрібно вказати вигляд цієї скалярної функції.
Вважатимемо, що множина значень векторного критерію Q обмежена, замкнена та цілком лежить усередині невід’ємного ортанту Rn, тобто
Ці два припущення не надто жорсткі, а тому вони не обмежуватимуть загальності подальших міркувань. Перше з них по суті гарантує існування альтернатив, оптимальних за Парето, а друге введено лише для зручності, тому від переміщення довільної обмеженої множини в додатний ортант відношення домінування за Парето між її точками не зміниться.
Повернемося до розгляду рис. 4.11. Оскільки перетин ортанту С(х*) з множиною Q містить лише одну точку Q(х*), доцільно вважати С(х*) множиною рівня деякої функції ,
яка досягає максимального значення критерію Q в точці Q(x*). В цьому випадку сторони ортанта є лініями рівня цієї функції, тобто описують множину точок у Rn, таких що (у) = А. Проведемо пряму через початок координат і точку Q(x*), що описується співвідношеннями
|
(4.1)
|
де  .
У точці Q(x*) виконуються рівності  . Повертаючись до рисунка, бачимо, що під прямою (4.1) лінія рівня функції є променем, що виходить із точки Q(x*) та задовольняє умови  . Окрім того, виконується нерівність  .
Аналогічно, над прямою (4.1) маємо  , а відповідна частина лінії рівня задається як  . Тому функцію можна подати у вигляді
Отриманий результат легко узагальнити на n-вимірний випадок, тому без доведення сформулюємо наступну теорему (Ю.Гермеєр) [13].
ТЕОРЕМА 4.2. Нехай множина оптимальних за Парето значень часткових критеріїв векторного критерію оптимальності є обмеженою, замкненою та цілком знаходиться усередині невід’ємного ортанта Rn. Для того, щоб альтернатива х* була оптимальною за Парето, необхідно й достатньо, щоб існували такі строго додатні коефіцієнти
для яких виконується умова
причому рівність досягається тоді і лише тоді, коли  .
Теорема 4.2 корисна для розв’язання наступної задачі, що виникає доволі часто. Нехай задано якусь альтернативу х*. Потрібно довести, що вона оптимальна за Парето, чи знайти оптимальну за Парето альтернативу х’ яка домінує альтернативу х*. Ця теорема застосовна для неопуклих задач, розв’язання яких пов’язане з великими складнощами. Більше того, якщо навіть усі критерії є гладкими функціями, нелінійна згортка  усе одно буде недиференційовною, до того ж у «найцікавіших» точках. Однак простота й наочність цієї теореми зумовили її надзвичайну корисність для різноманітних теоретичних побудов.
Принципи прийняття раціональних рішень у багатокритерійних задачах
Умови раціональності принципів прийняття рішень
Розглянемо, які умови мають виконуватися для раціональних рішень багатокритерійних задач. Зрозуміло, що доцільно вибирати рішення з множини Парето-оптимальних, але без додаткової інформації від децидента неможливо визначити, яке саме рішення обрати. Будемо вважати, що результат застосування принципу прийняття рішень – множина рішень W(X, Q) (якщо рішення одне, то ця множина одноелементна).
Щоб принцип прийняття рішень W(X, Q) для детермінованих багатокритерійних задач був раціональним, необхідно дотримання таких умов [58].
Розв’язок має бути допустимим і таким, що звужує початкову множину альтернатив, тобто W(X, Q) X.
Дві альтернативи з однаковими векторними значеннями критеріїв або обидві належать до множини рішень, або обидві не належать до неї, тобто
 
До числа потенційно можливих розв'язків належать лише ефективні тобто оптимальні за Парето: W(X, Q) Р(Х).
Для кожної задачі існує щонайменше один розв'язок, тобто W(X, Q) . Звичайно, цю умову виконано для певного, хоча й широкого класу задач.
Вибір альтернатив має бути узгодженим, тобто кращі альтернативи з множини X залишаються кращими й для підмножини В X. Нехай (X, Q) та (В, Q') – дві ситуації прийняття рішення. Тоді
тобто якщо кращі альтернативи не потрапляють до підмножини В, то кращі альтернативи з підмножини В в цьому разі не будуть кращими розв’язками загальної задачі. Цю умову називають ще постулатом про незалежність непов’язаних альтернатив.
Із цієї системи умов випливає, що раціональний принцип прийняття рішень застосовний до всіх дво- та триелементних множин, тобто на множині X існує відношення переваги, що залежить лише від множини критеріїв якості Q найкращі елементи котрого і є елементами множини розв'язків W(X, Q).
Якщо для якогось принципу прийняття рішень виконано лише умови 1 і 2, то він не якісний.
Для більшості багатокритерійних задач, що досліджувались різними авторами, і для яких запропоновано методи прийняття рішень, вважають, що виконано такі припущення щодо множини векторних оцінок.
Множина Q(X) є опуклою та замкненою. Існують такі елементи (вектори)  (де R – множина раціональних чисел,
– декартовий добуток) такі  і  , множина Q(X) є – це  та визначена для всіх X Rn.
Ці умови обмежують значення векторних оцінок критеріїв і оперують з їх числовими значеннями, що належать до множини раціональних чисел.
Принципи прийняття рішень
Розглянемо деякі найпоширеніші принципи прийняття рішень для багатокритерійних задач в умовах визначеності (детермінованості).
Згідно з принципом Джофріона розв’язок задачі визначається співвідношенням
де компоненти вектора  – розв’язки n однокритерійних задач оптимізації за кожною складовою векторного критерію.
Відповідно до принципу Джофріона оптимальним уважають розв’язок, для якого максимально досягається мета в сенсі оптимізації кожного окремо взятого критерію. Однак для більшості задач це призводить до порушення умови раціональності, тобто найчастіше не існує допустимих розв’язків, для яких максимум досягається водночас за всіма критеріями.
Так, на рис. 4.12, а не існує допустимого розв’язку, який був би оптимальним у сенсі принципу Джофріона, а на рис. 4.12, b – існує.
Рис. 4.12. Оптимальні розв'язки за принципом Джофріона
Принщп повного розв’язку, запроваджений В.Дінкельбахом, визначає розв’язок задачі як
Wv(X, Q) = Р(Х),
тобто розв’язком задачі вважається множина Парето-оптимальних рішень. Однак, оскільки постановку багатокритерійної задачі прийняття рішень орієнтовано на повне чи часткове розв’язання конфлікту, повний розв’язок теж уважають нераціональним. Отже, принципи Джофріона та повного розв’язку – це певні граничні випадки, зумовлені лише виглядом задачі прийняття рішення. Тому інші можливі принципи впорядковані в цих межах, тобто для довільного принципу прийняття рішень справедливі співвідношення
а в разі існування рішення, оптимального за Джофріоном,
Принцип корисності визначає оптимальний розв’язок, виходячи з припущення про існування відношення повного порядку на множині альтернатив, що залежить від складових критеріїв векторного критерію оптимальності (він раціональний, коли це відношення монотонне та неперервне на Rn).
Цей принцип веде до співвідношення
тобто оптимальним є той розв’язок, для якого значення функції корисності максимальне.
Принцип ідеального розв’язку ґрунтується на припущенні про існування «ідеального» (можливо, недопустимого) розв’язку та метрики, за допомогою якої можна виміряти «віддаль» від довільного допустимого розв’язку до ідеального. Уважають, що координати ідеального розв’язку та метрики може визначити децидент. Множина оптимальних розв’язків згідно з цим принципом є наступною
де  – віддаль в просторі критеріїв між ідеалом Q* та довільною альтернативою х, виміряна за допомогою метрики  . Оптимальними вважають розв'язки, найближчі до ідеального.
Принцип аналізу окремих складових векторного критерію базується на припущенні про те, що децидент може надати додаткову інформацію, потрібну для такого аналізу. Цей принцип реалізовано в методах переведення критеріїв у обмеження, методі послідовних поступок та інших.
4.2. Методи розв’язання багатокритерійних задач
Методи глобального критерію
Для усунення невизначеності мети застосовують два основні підходи.
Вважають, що мету достатньо адекватно відображає множина критеріїв, і тому постає багатокритерійна задача.
Вважають, що задано множину альтернатив, які можна вибирати з цієї множини за допомогою покрокового діалогу з децидентом, будуючи послідовність слабших бінарних відношень для звуження первісної множини альтернатив.
Представниками першого підходу є різноманітні методи згортання критеріїв, а також методи поступок, а другого – методи ELECTRE.
Лінійні та мультиплікативні згортання
Найчастіше множину критеріїв зводять до одного глобального та розв’язують класичну однокритерійну задачу. Однак застосування цього підходу має суттєві вади, одна з яких полягає в тому, що неможливо отримати деякі з оптимальних за Парето розв’язків (як видно з рис. 4.11, лінійне згортання не дає змоги одержати певні оптимальні за Парето розв’язки за будь-яких значеннях вагових коефіцієнтів) [42].
Методи згортання критеріїв зводять первісну задачу до однокритерійної задачі такого вигляду:
Найуживанішими методами згортання є лінійне згортання ненормованих та нормованих критеріїв.
За допомогою лінійного згортання глобальний критерій подається у вигляді лінійної комбінації компонентів векторного критерію якості з ваговими коефіцієнтами, основне призначення яких – врахування відносної важливості критеріїв:
де  – і-та компонента векторного критерію якості,  – ваговий коефіцієнт, що відображає відносну важливість і-го критерію.
Лінійне згортання нормованих критеріїв ґрунтується на ідеї зведення часткових критеріїв до безрозмірних величин з інтервалом можливих значень кожного з них [0, 1]. Щоб виконати таке перетворення, децидент має зазначити для кожного з критеріїв межі його зміни від мінімального значення  до максимального  та коефіцієнти відносної важливості нормованих критеріїв :
Головною проблемою цих методів є виявлення точних значень вагових коефіцієнтів. Найчастіше ця процедура суб’єктивна. Окрім того, коефіцієнти в методі лінійного згортання мають бути розмірними величинами, тому що критерії можуть мати різну розмірність. Щоб позбутися цієї вади в згортанні нормованих критеріїв, окремі критерії спочатку нормують (нормовані критерії безрозмірні та змінюються в інтервалі від 0 до 1).
Проте нормовані критерії, що з’являються унаслідок такого «вдосконалення», не мають змістовної інтерпретації, і тому об’єктивне визначення вагових коефіцієнтів іще більше ускладнюється. Отже, невизначеність мети, спричинена багатокритерійністю, не зменшується, а переходить в іншу форму – виникає проблема обчислення значень вагових коефіцієнтів [29].
З іншого боку, у разі опуклої області значень векторного критерію лінійне згортання можна використати для отримання кількох розв'язків, оптимальних за Парето (теорема 4.1), змінивши значення вагових коефіцієнтів. Це дає децидентові можливість у діалозі дослідити саме ту частину області Парето, яка найбільше його цікавить.
Адитивні згортання мають іще одну ваду – значення одного зі складових критеріїв може бути дуже великим унаслідок того, що значення інших мінімальні. Така ситуація є вкрай небажаною. Наприклад, конструюючи літак зі складовими критеріями економічності та швидкості польоту, за певних значень вагових коефіцієнтів можна отримати максимальне значення економічності за рахунок того, що швидкість польоту становитиме 0, а такий літак не потрібен нікому.
Щоб уникнути таких ситуацій, було запропоновано варіанти мультипликативного згортання у звичайному (4.2) та нормованому (4.3) вигляді:
|
(4.2)
|
|
(4.3)
|
Для таких згортань різке зменшення значення хоча б одного часткового критерію різко зменшує значення глобального. Критерії такого виду широко використовуються в економічних дослідженнях (досить лише згадати виробничі функції). Однак головна проблема – обчислення значень вагових коефіцієнтів – залишається нерозв’язаною.
|