2. Основи оптимального управління
|
|
Скачати 0.71 Mb.
|
|
4.3. Графічний метод При наявності у задачі лінійного програмування двох змінних, а в системі обмежень – нерівностей, вона може бути розв’язана графічним методом. У системі координат знаходять область припустимих розв’язків (ОПР), будують вектор  і лінію рівня, яка є перпендикулярною до вектора . Переміщуючи лінію рівня за напрямком вектора для задач на максимум, знаходять найбільш віддалену від початку координат точку і її координати.У випадку, коли координати цієї точки не є цілочисловими, у ОПР будують цілочислову сітку і знаходять в ній такі цілі числа, які задовольняють системі обмежень і при яких значення цільової функції є найбільш близьким до екстремального не цілочислового розв’язку. Координати такої вершини і є цілочисловим розв’язком. 5. НЕЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ 5.1. Загальна постановка задачі Математична модель задачі нелінійного програмування у загальному вигляді формулюється наступним чином: знайти вектор  , що задовольняє системі обмежень і має екстремум цільової функції  ,де  - змінні,  ;  - задані функції від п змінних,  - фіксовані значення (вільні члени).Нелінійне програмування використовується при прогнозуванні промислового виробництва, управлінні товарними ресурсами, плануванні обслуговування і ремонту обладнання тощо. 5.2. Дробово-лінійне програмування Дробово-лінійне програмування відноситься до методів лінійного програмування, тому що має цільову функцію, записану у нелінійному вигляді. Задача дробово-лінійного програмування у загальному вигляді записується наступним чином  при обмеженнях  ,де  постійні коефіцієнти і  .Графічний метод Розглянемо задачу дробово-лінійного програмування у вигляді  (5.1)при обмеженнях  (5.2)Будемо вважати, що  Для розв’язання цієї задачі знайдемо область припустимих розв’язків, яка визначається обмеженнями (5.2). Нехай ця область не є пустою множиною. Із виразу (5.1) знайдемо  :  , ,  де  .Пряма  проходить через початок координат. При деякому фіксованому значенні  кутовий коефіцієнт  прямої також фіксований і пряма займе певне положення. При зміні значень  пряма  буде повертатися навколо початку координат (див. рисунок).Графічна інтерпретація моделі дробово-лінійного програмування Встановимо, як буде себе вести кутовий коефіцієнт  при монотонному зростанні . Знайдемо похідну від по . .Знаменник похідної завжди додатній, а чисельник від не залежить. Значить, похідна має постійний знак і при збільшенні кутовий коефіцієнт буде тільки зростати або тільки спадати, а пряма буде повертатися тільки в одну сторону. Якщо кутовий коефіцієнт прямої має додатнє значення, тоді пряма повертається проти годинникової стрілки, при від’ємному значенні кутового коефіцієнта – за годинниковою стрілкою. Після встановлення напрямку обертання, знаходимо вершину або вершини багатокутника, у яких функція приймає  значення, або встановлюємо необмеженість задачі. При цьому можливі наступні випадки.1. Область припустимих розв’язків обмежена, максимум і мінімум досягаються у її кутових точках  2. Область припустимих розв’язків необмежена, але існують кутові точки, у яких цільова функція приймає максимальне і мінімальне значення 3. Область припустимих розв’язків необмежена і має місце один із екстремумів. Наприклад, мінімум досягається у одній із вершин області і має місце так званий асимптотичний максимум 4. Область припустимих розв’язків необмежена. Максимум і мінімум є асимптотичними Зведення задачі до симплексного методу Задачу дробово-лінійного програмування можна звести до задачі лінійного програмування і розв’язати симплексним методом. Для цього позначимо  ,при умові і введемо нові змінні  .Тоді задача набуде вигляду  при обмеженнях  Після знаходження оптимального розв’язку одержаної задачі, і використовуючи вищевикладені співвідношення, знайдемо оптимальний розв’язок вихідної задачі дробово-лінійного програмування. 5.3. Метод множників Лагранжа Нехай задано задачу нелінійного програмування  при обмеженнях  .Припустимо, що функції  і  є неперервними разом із своїми частинними похідними.Обмеження задано у вигляді рівностей, тому для розв’язку задачі використаємо метод відшукування умовного екстремуму функції багатьох змінних. Для розв’язування задачі складається функція Лагранжа  де  - множники Лагранжа.За необхідною умовою існування екстремуму функції, знайдемо частинні похідні  прирівняємо частинні похідні до нуля і одержимо систему  Розв’язком системи є множина точок, у яких цільова функція  може мати екстремальне значення. Необхідно відмітити, що умови розглянутої системи є необхідними, але не недостатніми. Тому не кожний одержаний розв’язок визначає точку екстремуму цільової функції. Застосування методу буває виправданим, коли заздалегідь припускається існування глобального екстремуму, який співпадає з єдиним локальним максимумом або мінімумом цільової функції.5.4. Дослідження функції на екстремум за заданою ОПР Найбільше та найменше значення функції знаходиться:
Критичні точки за необхідною умовою існування екстремуму функції це точки, в яких частинні похідні функції дорівнюють нулю. 6. МОДЕЛЬ ЛЄОНТЬЄВА БАГАТОГАЛУЗЕВОЇ ЕКОНОМІКИ (БАЛАНСОВИЙ АНАЛІЗ) Мета балансового аналізу – відповісти на питання: яким повинен бути обсяг виробництва кожної з п галузей, щоб задовольнити всі потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з однієї сторони, як виробник деякої продукції, а з другої – як споживач продукції і своєї, і виробленої іншими галузями. Зв’язок між галузями, як правило, відображається у таблицях міжгалузевого балансу, а математична модель, яка їх аналізує, розроблена у 1936 році американським економістом В. Леонтьєвим. Розглянемо процес виробництва за деякий період часу (наприклад, рік). Введемо наступні позначення:  - загальний (валовий) обсяг продукції  -ї галузі ( );  - обсяг продукції  -ї галузі, який споживає  -та галузь у процесі виробництва ( );  - обсяг кінцевого продукту -ї галузі для невиробничого споживання.Тоді  ,  .Система рівнянь називається співвідношеннями балансу. Будемо розглядати вартісний міжгалузевий баланс, коли всі величини, які входять до системи рівнянь мають вартісний вираз. Введемо коефіцієнти прямих витрат  ,які показують витрати продукції -ї галузі на виробництво одиниці продукції  -ї галузі. .Тоді співвідношення балансу буде мати вигляд  .Позначимо  , ,  ,де  - матриця валового випуску;  - матриця прямих витрат (технологічна або структурна матриця);  - матриця кінцевого продукту.Тоді співвідношення балансу набуде вигляду      .Матриця  (обернена матриця) називається матрицею повних витрат.7. ДИНАМІЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ 7.1. Загальна постановка задачі Динамічне програмування – один із розділів оптимального програмування, у якому процес прийняття рішення і управління може бути розбитий на окремі етапи (кроки). Економічний процес є керованим, якщо можна впливати на хід його розвитку. Під управлінням розуміють сукупність рішень, які приймаються на кожному етапі для впливу на розвиток процесу. Наприклад: випуск продукції є керованим процесом, тому що за управління можна прийняти сукупність рішень (початок року, кварталу, місяця) з забезпечення підприємства сировиною, заміні обладнання, фінансуванню тощо. Необхідно організувати випуск продукції таким чином, щоб прийняті рішення на окремих етапах сприяли одержанню максимально можливого обсягу продукції або прибутку. Динамічне програмування дозволяє звести одну складну задачу із багатьма змінними до багатьох задач з малою кількістю змінних. Це значно скорочує обсяг обчислень і прискорює процес прийняття управлінського рішення. На відміну від лінійного програмування, у якому симплексний метод є універсальним методом розв’язку, у динамічному програмуванні такого універсального методу не існує. Одним із основних методів динамічного програмування є метод рекурентних співвідношень, який ґрунтується на основі принципу оптимальності, який розроблений американським вченим Р. Беллманом. Принцип полягає у тому, що яким би не були початковий стан на будь-якому етапі і управління, яке обрано на цьому етапі, наступні управління повинні обиратися оптимальними відносно стану, до якого прийде система у кінці даного етапу. Використання даного принципу гарантує, що управління, обране на будь-якому етапі, не локально краще, а краще з точки зору процесу в цілому. У деяких задачах динамічного програмування процес управління розбивається на кроки. При розбитті на декілька кроків ресурсів діяльності підприємства, кроком доцільно вважати часовий проміжок, а при розподілі коштів між підприємствами – номер наступного підприємства. У інших задачах розбиття на кроки вводиться штучно. Наприклад, неперервний керований процес можна розглядати як дискретний, штучно розбивши його на часові відрізки (етапи). Виходячи з умови задачі, у кожному конкретному випадку довжину кроку обирають таким чином, щоб на кожному етапі одержати просту задачу оптимізації і забезпечити необхідну точність обчислень. 7.2. Оптимальна стратегія заміни обладнання Проблема своєчасної заміни застарілого обладнання новим – одна із нагальних проблем будь якої сфери виробничої діяльності. З часом обладнання зношується і фізично і морально, тому на кожному етапі його експлуатація стає менш вигідною у порівнянні з придбанням і використанням нового обладнання. У зв’язку з цим і виникає задача визначення найбільш доцільного моменту заміни. За критерій оптимальності при заміні обладнання у промисловості звичайно приймають мінімум очікуваних витрат або максимум очікуваного прибутку за деякий період часу. Розглянемо задачу оптимальної політики ремонту і заміни обладнання у спрощеному вигляді. Нехай на початку планового періоду із  років маємо деяке обладнання віком  . Кожний рік виробляється продукція, витрати на виробництво якої складають  . При цьому обладнання вимагає експлуатаційних (поточних) витрат  і має залишкову вартість  . Всі перелічені характеристики залежать від віку обладнання. У будь який рік обладнання можна зберігати або продати за залишковою вартістю і купити нове за ціною  . Сюди входять витрати на установку і запуск в експлуатацію.Цех по поточним і капітальним ремонтам не виробляє товарної продукції, тобто оцінити ефективність його діяльності неможливо за одержаним прибутком. Тому необхідно розробити оптимальну політику заміни обладнання виходячи з умов мінімізації очікуваних витрат за період часу довжиною років.У відповідності з загальною концепцією динамічного програмування почнемо процес оптимізації від кінця планового періоду. При цьому роки будуть нумеруватися від кінця періоду до його початку:  .Нехай  . Будемо вважати, що до початку останнього року у нас є в наявності обладнання віком років. За нашим вибором буде прийняте одне з наступних рішень: зберігати обладнання або продати його і придбати взамін нове.Якщо ми приймаємо рішення зберігати обладнання, тоді за останній рік витрати складуть  Якщо ж обладнання продати по залишковій вартості і купити нове, тоді витрати до кінця останнього року складуть  , де  - витрати на виробництво продукції на новому обладнанні, тобто нульового віку за рік;  - витрати, що пов’язані з експлуатацією нового обладнання протягом року.Оскільки планується діяльність за останній рік планового періоду, то у відповідності з концепцією динамічного програмування ми повинні діяти так, щоб останній рік сам по собі приніс мінімум витрат. Але результати діяльності у даному випадку характеризуються виразами і  . Замінити обладнання буде вигідно, якщо  , тобто коли сумарні витрати при роботі на новому обладнанні будуть менше, ніж при роботі на старому.Позначимо через  мінімально можливі сумарні витрати за останні  років планового періоду при умові, що на початку періоду маємо обладнання віком і ми дотримуємся оптимальної політики. У відповідності з цим мінімальні витрати за останній рік позначимо через  . Зрозуміло, що дорівнює найменшому з виразів і , що символічно можна записати у вигляді Нехай  , тобто розглянемо період, який складається з двох останніх років.Якщо до початку цього періоду у наявності є обладнання віком і прийнято рішення його зберігати, тоді в кінці першого року величина сумарних витрат дорівнює . За рік обладнання стане старшим на рік і до кінця першого року буде мати вік ( ) рік. Якщо по відношенню до цього обладнання в останній рік дотримуватися оптимальної політики, тоді додатково будуть одержані сумарні витрати  , а загальні витрати за два роки складуть .Якщо ж на початку другого року буде прийняти рішення про заміну обладнання, тоді витрати, що пов’язані з реалізацією старого обладнання і придбанням нового, складуть  , а сумарні витрати на нове обладнання за перший рік будуть дорівнювати  . До кінця року нове обладнання постаріє і буде мати вік один рік, тому оптимальна політика в останньому році виражається через витрати  .Загальні витрати за два роки складуть  .Оптимальною за два останні роки буде політика, яка забезпечує за цей період мінімальні загальні витрати, які дорівнюють найменшому з виразів. Записати це можна у вигляді  Аналогічно одержуємо вираз для  і т.д. Загальне функціональне рівняння Белмана має вигляд ,де п=2, 3,...; t=0, 1, 2, … Рекурентні співвідношення дозволяють реалізувати концепцію динамічного програмування і розгорнути процес формування оптимальної політики заміни обладнання з кінця періоду, що планується, послідовно відшукуючи  для різних значень . |
Схожі:
| Календарно-тематичний план "Основи кадрового менеджменту" для професії... Теоретико-методологічні основи управління персоналом. Концепція управління людськими ресурсами |
ПЛАН-КОНСПЕКТ проведення заняття з психологічної підготовки з начальницьким... Тема 2 Формування оптимального рівня стану соціально-психологічного клімату в |
| 3. Управління та організаційна структура готельного комплексу Поняття... Організація як функція координації структурних підрозділів готельного комплексу. (для самостійного вивчення на основі повторення... |
Модуль Теоретичні основи стратегічного управління Семінарське заняття... Семінарське заняття №2 Концептуальні засади стратегічного управління підприємством |
| 1. Законодавчо-правові основи управління безпекою життєдіяльності Правова система формує передумови створення, функціонування, удосконалення системи управління безпекою життєдіяльності. Правова система... |
Урок із спецдисциплін операторів комп’ютерного набору Урок-конкурс «Найкращий оператор!» ... |
| ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ ДІЯЛЬНІСТЮ СПОРТИВНИХ ОРГАНІЗАЦІЙ Воронова В. А. Пути совершенствования управления физкультурным движением. М.: ФиС,1975 -95с |
Молдован В. В. Основи держави і права. Курс лекцій «Фінанси і кредит», 030509 «Облік і аудит», 030502 «Економічна кібернетика», 030505 «Управління персоналом та |
| РОЗДІЛ ПЕРШИЙ ЦИВІЛЬНИЙ ЗАХИСТ (ЦИВІЛЬНА ОБОРОНА) УКРАЇНИ ТА ОСНОВИ ЇЇ ВЕДЕННЯ Органи управління, аварійно-рятувальні підрозділи Оперативно-рятувальної служби цивільного захисту |
Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет... РОЗДІЛ ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ ПОРТФЕЛЕМ ІННОВАЦІЙНИХ ПРОЕКТІВ ПІДПРИЄМСТВА |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua