Тема уроку. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус. Мета уроку

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Перерізи конуса площинами

Проведемо в конусі переріз площиною, яка проходить через дві твір­ні SА і SВ (рис. 127), площина перетне основу конуса по хорді АВ; отже, переріз конуса площиною, яка проходить через вершину, — трикутник.

Розв'язування задач

1. 
   Твірна конуса дорівнює l. Знайдіть площу перерізу, проведеного че­рез дві твірні, кут між якими дорівнює α . (Відповідь. l² sin α .)
   
2. 
   Твірна конуса дорівнює l, а радіус основи дорівнює r. Знайдіть площу пе­рерізу, проведеного через вершину конуса і хорду основи, що стягує дугу, кутова величина якої дорівнює α. (Відповідь. .)
   
3. 
   Висота конуса дорівнює Н. Знайдіть площу перерізу, що проходить через вершину конуса і хорду основи, яка стягує дугу, кутова вели­чина якої α, якщо площина перерізу утворює з площиною основи конуса кут β. (Відповідь. .)
   
4. 
   Задача № 14 (с. 96).
   

Теорема

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню — по колу з центром на осі конуса.

Доведення

Розглянемо перетворення гомотетії з центром у вершині конуса S, яке суміщає січну площину (рис. 128) з площиною основи. При цьому переріз конуса суміститься з основою конуса. Отже, переріз конуса пло­щиною є круг, а переріз бічної поверхні — коло з центром на осі конуса.

Розв'язування задач

1. Задача № 15 (с. 96).

2. Задача № 17 (с. 96).

Зрізаний конус

Площина, яка паралельна основі конуса і перетинає конус, відтинає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається зріза­ним конусом. Демонструються моделі зрізаних конусів.

Зрізаним конусом, називається частина конуса, що лежить між ос­новою і площиною, паралельною основі.

Круги з центрами в точках О і О₁ називаються його основами (рис. 129), пряма ОО₁ — віссю, відрізок ОО₁ — висотою зрізаного конуса. Осьовим перерізом зрізаного конуса є рівнобічна трапеція АА₁В₁В, відрізки АА₁ і ВВ₁ називаються твірними зрізаного кону­са. Зрізаний конус можна розглядати як тіло, утворене обертанням прямокутної трапеції ОО₁А₁А навколо прямої ОО₁.

Розв'язування задач

1. Задача № 20 (с. 97).

2. Задача № 21 (с. 97).

III. Домашнє завдання

§ 6, п. 56; контрольні запитання № 9—10; задачі № 12, 13, 19, 22 (с. 96—97).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Що є перерізом конуса площиною, яка паралельна основі?

2) Що є перерізом конуса площиною, яка проходить через дві твірні?

3) Що таке зрізаний конус?

Роганін геометрія 11 клас, урок 24