Тема уроку. Вписані та описані піраміди і конуси. Мета уроку

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Піраміда, вписана в конус

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основою якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а його вершина є вершиною конуса (рис. 132).

Конус в цьому випадку називається описаним навколо піраміди. Біч­ні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Розв'язування задач

1. У конус вписано правильну чотирикутну піраміду. Висота і радіус конуса відповідно дорівнюють 1 і 2см. Знайдіть:

а) бічне ребро піраміди;

б) сторону основи піраміди;

в) апофему піраміди;

г) площу основи піраміди;

д) площу бічної поверхні піраміди.

(Відповідь, а) 3 см; б) 4 см; в) см; г) 16 см²; д) 8см².)
2. У конус, радіус основи якого дорівнює R, вписано правильну трикут­ну піраміду. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут α. Знайдіть:

а) висоту піраміди;

б) сторону основи піраміди;

в) твірну конуса;

г) площу осьового перерізу конуса;

д) площу основи піраміди.

(Відповідь, а) R·tgα; б) R; в) ; г) R²tgα; д) .)

3. Задача № 25 (с. 97).

Піраміда, описана навколо конуса

Площиною, дотичною до конуса, називається площина, яка про­ходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну (рис. 133).

Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, в ос­нові якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вер­шина збігається з вершиною конуса (рис. 134).

При цьому конус називається вписаним у піраміду. Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до конуса.

Розв'язування задач

1. Бічне ребро правильної трикутної піраміди і сто­рона основи відповідно дорівнюють 5 і 6 см. У дану піраміду вписано конус. Знайдіть:

а) твірну конуса; б) радіус основи конуса;

в) висоту конуса; г) площу бічної поверхні піраміди

д) площу осьового перерізу конуса.

(Відповідь, а) 4 см; б) см; в) см; г) 36 см²; д) см².)

2. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди, описаної навколо конуса, дорівнює l, а плоский кут при вершині піраміди — 2α. Знайдіть:

а) твірну конуса; б) сторону основи піраміди; в) радіус основи конуса;

г) висоту конуса; д) площу бічної поверхні піраміди.

(Відповідь. а) lсоsα; б) 2lsinα; в) lsіnα; г) l; д) 2l²sin2α.)

III. Домашнє завдання

Підготуватися до тематичного оцінювання та розв'язати задачі № 16, 23 (с. 96—97).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1. 
   Яким умовам повинна задовольняти піраміда, щоб: а) навколо неї можна було описати конус; б) в неї можна було вписати конус?
   
2. 
   Чи правильно, що вершина конуса, вписаного в піраміду, однаково віддалена від сторін основи піраміди?
   
3. 
   Чи завжди висота конуса, вписаного в піраміду, є і висотою піраміди?
   
4. 
   У конус вписано трикутну піраміду, в основі якої лежить прямо­кутний трикутник. Доведіть, що висота конуса є висотою більшої бічної грані піраміди.
   

Роганін геометрія 11 клас, урок 25