УРОК №54 Тема уроку. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі

Тема 6. Початкові відомості зі стереометрії УРОК № 54 Тема уроку. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі. Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про площину та взаємне розміщення двох площин у просторі; ознайомити учнів з різними випадками взаємного розміщення прямої і площини; дати уявлення про перпендикуляр до площини. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця «Початкові відомості стереометрії» [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: описують взаємне розміщення в просторі прямої і площини, двох площин, застосовують вивчені означення та властивості до розв'язування задач. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання Перевірити наявність виконання домашнього завдання за запи­сами, зробленими на дошці до початку уроку. Дано: АВ, С АВ (рис. 229). Доведіть: пряма АВ і точка С ле­жать у площині α. Доведення Візьмемо точку D, яка лежить на прямій АВ. Проведемо пряму CD. Через прямі АВ і CD, які перетина­ються, проводимо площину α. Що і треба було довести. Фронтальна бесіда Що вивчає стереометрія? Назвіть основні геометричні фігури стереометрії. Сформулюйте аксіоми стереометрії. Яке взаємне розміщення двох прямих у просторі можливе? Скільки різних площин можна провести через: а) три точки, які не лежать на одній прямій; б) три точки; які лежать на одній прямій; в) пряму і точку, що не належить цій прямій? II. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу Взаємне розміщення двох площин Ми знаємо, що якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Це твердження — аксіома стереометрії. Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок (рис. 230). Дві площини називаються паралельними, якщо вони не пере­тинаються. Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля класної кімнати, дві протилежні стіни класної кімнати, поверхня стола і площина підлоги. Якщо площини α і β паралельні, то пишуть: α || β. Дві площини будуть паралельними, якщо дві прямі, що ле­жать в одній площині й перетинаються, паралельні двом прямим другої площини (рис. 231), тобто якщо a || a1, b || b1, то α || β. До­ведення цього твердження ми опускаємо. Завдання класу Наведіть приклади паралельних площин із оточення. На моделях куба, прямокутного паралелепіпеда покажіть па­ралельні площини і площини, які перетинаються. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 (див. рис. 223), укажіть: а) грані, які перетинають грань ABCD; б) площини, які паралельні площині ABC. Дано: куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть паралельність площин: а) АВС і A1B1C1; б) AB1D1 і BDC1. У ході пояснення нового матеріалу учні складають конспект (табл. 8). Таблиця 8 Взаємне розміщення двох площин Якщо а і b перетинаються і лежать у площині α, а1 || а, b1 || b, а прямі а1 || b1 лежать у площині β, то α || β Площина і пряма, яка не лежить у площині, або не перетина­ються, або перетинаються в одній точці. Випадки взаємного розміщення прямої і площини Площина α не має спільних точок із прямою а. Пряма і пло­щина, які не мають спільних точок, називаються паралельни­ми, позначаються а || α (рис. 232). Площина α має з прямою а тільки одну спільну точку. У цьо­му випадку говорять, що пряма а і площина α (рис. 233) пе­ретинаються. Пряма а лежить у площині α (рис. 234). Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину. На рис. 235 пряма с перпендикулярна до площини α. Пи­шуть: cα. Із означення випливає, що с a, с b, ... . Уявлення про пряму, перпендикулярну до площини, дають вертикальні стовпи — вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, що проходить через основу стовпа і лежить у площині землі. Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площи­ни? Це запитання має практичне значення, наприклад, при уста­новці щогл, колон тощо, які потрібно встановлювати вертикально, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необ­хідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину да­ної прямої і площини. Достатньо перевірити перпендикулярність лише двох прямих, що лежать у площині й проходять через точку перетину прямої і площини. Справедлива така теорема: Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які перетинають­ся і лежать у площині, то дана пряма перпендикулярна до площини. Доведення цієї теореми ми не наводимо. Перпендикуляром до площини називається відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою прямої і точкою перетину її з площиною. На рис. 236 АО — перпендикуляр до площини. Будь-який ін­ший відрізок, що сполучає точку А з довільною точкою В площи­ни α, називається похилою. Відрізок ВО називають проекцією похилої АВ на площину α. Виконування вправ На предметах навколишнього середовища покажіть різні ви­падки взаємного розташування прямої і площини. Визначте взаємне розміщення площини ABC (використовуючи зображення куба ABCDA1B1C1D1 на рис. 237) і прямих: a) CD; б) АС1; в) B1D; г) DС1; д) D1С1; є) В1D1. Укажіть у навколишньому середовищі моделі перпендикуляр­них прямих і площин. Чи правильно, що якщо пряма не перпендикулярна до пло­щини, то вона не перпендикулярна до жодної прямої, що лежить у цій площині? Як ви розумієте твердження: пряма не перпендикулярна до площини? Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD (рис. 238). Укажіть перпендикулярні прямі. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 239). Доведіть, що: а) пряма АА1 перпендикулярна до площини ABC; б) пряма AD перпендикулярна до площини DCC1; в) пряма B1D1 перпендикулярна до площини A1C1C; г) пряма A1B1 перпендикулярна до прямої BC1. д) трикутник AB1C1 прямокутний. є) чотирикутник AB1C1D1 — прямокутник. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 4 см, а проекція похилої на площину — 3 см. Знайдіть проекцію похилої на площину, якщо похила до­рівнює 13 см, а перпендикуляр, проведений з цієї точки, — 12 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо похила дорів­нює 10 см, а проекція похилої на площину — 8 см. У табл. 9 наведено зразок конспекту уроку. III. Закріплення й осмислення нового матеріалу Розв'язування задач Дві прямі однієї площини паралельні двом прямим іншої пло­щини. Чи правильно, що такі площини завжди паралельні? Скористайтеся моделями. Доведіть, що паралельні площини перетинаються січною пло­щиною по паралельних прямих. Доведення Нехай площина у перетинає паралельні площини α і β по прямих а і b (рис. 240). Доведемо, що а || b. Припустимо, що прямі а і b мають спільну точку, тоді ця точка — спільна і для площин α і β. Але цього не може бути, бо дані площини α і β паралельні. Отже, прямі а і b не можуть пе­ретинатися, а оскільки вони лежать в одній площині у, то а || b. Побудуйте зображення прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1. Укажіть: а) грані, які перпендикулярні до ребра АА1; АВ; В1C1; б) ребра, перпендикулярні до грані DCC1D1. Укажіть, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильні. Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпен­дикулярна до двох різних прямих цієї площини. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні. Як на практиці можна перевірити вертикальність установле­ного стовпа? Як за допомогою рівня можна перевірити горизонтальність установленої підставки для приладу? Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 10 см і 20 см. Знайдіть відстань від площини до середини відрізка. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від однієї із вершин куба до інших його вершин. IV. Домашнє завдання Вивчити матеріал про взаємне розміщення прямої та площи­ни і площин у просторі. Розв'язати задачі. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 1 см, 2 см, 2 см. Знайдіть відстань від однієї із вершин прямокутного паралелепіпеда до інших його вершин. Доведіть, що паралельні площини відтинають від паралель­них прямих рівні відрізки. V. Підбиття підсумків уроку Завдання класу Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які —неправильними. Якщо α || β, то будь-яка пряма площини α не має спільних точок з площиною β. Якщо α || β, то будь-яка пряма площини α паралельна кож­ній прямій площини β. Якщо α || β, то будь-яка пряма площини α мимобіжна кожній прямій площини β. Якщо α || β, то для будь-якої прямої а площини α існує пря­ма b у площині β така, що a || b. Якщо α || β, то пряма, яка перетинає площину α, перетинає і площину β. V. Підбиття підсумків уроку Запитання до класу Яка пряма називається паралельною площині? Яка пряма називається перпендикулярною до площини? Що таке перпендикуляр? похила? Таблиця 9 Взаємне розміщення прямої і площини паралельні a || α перетинаються пряма лежить у площині Пряма, перпендикулярна до площини Означення. Пряма перпендикулярна до площини α, якщо c a, c b , .. Теорема. Якщо с а, c b , то с α Перпендикуляр і похила АО — перпендикуляр, АВ — похила, ВО — проекція похилої АВ на площину α РоРоганін О.М. Геометрія 9клас: Розробки уроків Урок № 54

Схожі: