Урок 27 Тема уроку

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендику­лярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й прохо­дять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і про­ходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Далі колективно розбирається доведення сформульованої теореми за заготовленим рисунком і умовою теореми.

Наводимо запис, що робиться на дошці і в зошитах учнів.

Дано:

a с, a b, b α, с α; а, b, с перетинаються в точці А; х α .

Довести: а х (рис. 139).

Доведення

Додаткові побудови: проводимо пряму в площині α, яка перетинає прямі b, х, с в точках В, X, С, та відкладаємо на прямій а АА₁ = АА₂.

Номер п/п	Твердження	Аргументи
1	ΔА1СА2 — рівнобедрений	AC — висота за умовою та медіана за побудовою
2	ΔА1ВА2 — рівнобедрений	АВ — висота за умовою та медіана за побудовою
3	ΔА1СВ = ΔА2СВ	За третьою ознакою рівності трикутників (А1В = А2В із п.2; А1С = А2С із п.1; СВ — спільна)
4	1BX = 2BX	Із п.3
5	ΔА1ВХ = ΔА2ВХ	За першою ознакою рівності трикутників (1BX = 1BX із п. 4; A1B = ВA2 із п. 3; ВХ — спільна)
6	A1X = A2X	Із п. 5
7	ΔА1ХА2 — рівнобедрений	A1Х = А2Х
8	ХА — медіана є висотою: ХА А1А2	ΔА1ХА2 — рівнобедрений

Розв'язування задач

1. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Довести, що:

а)АА₁ (АВС); б) AD (DCC₁); в) B₁D₁ (A₁C₁C);

г) А₁В₁ ВС₁; д) ΔAB₁C₁ — прямокутний; е) AB₁C₁D — прямокутник.

2. Дано: ABCD — паралелограм; МА = МС, MB = MD. До вест й, що

МО (АВС) (рис. 140).

3. Дано: ABCD — квадрат; MB = MD (рис. 141). Довести, що BD (MAO).

4. Задача № 6 із підручника (с. 34).

III. Домашнє завдання

§ 3, п. 15; контрольні запитання № 3, 4; задача № 7 (с. .34).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини.

2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.

3) Точка S лежить поза площиною ромба ABCD, причому SB BC , SB AB , <BAD = 60° (рис. 142). Які з наведених тверджень пра­вильні, а які — неправильні:

а) пряма SB перпендикулярна до площини АВС;

б) пряма AB перпендикулярна до прямої SB;

в) пряма BC перпендикулярна до площини ASB;

г) пряма SB перпендикулярна до прямої BD ?

4) Точка S лежить поза площиною трикутника АВС, причому SAAC, ABAC, SA = SB = AB (рис. 143). Які з наведених тверджень пра­вильні, а які — неправильні:

а) пряма SA не перпендикулярна до площини АВС;

б) пряма AB перпендикулярна до площини SAC;

в) пряма АС перпендикулярна до площини SAB;

г) пряма BC перпендикулярна до площини ASC?

Роганін геометрія 10 клас, Урок 27