УРОК 8 Тема уроку

Відповідь: а) f’(x) = 3х² – 2х +1; 6) f'(x) = cos x – sin x; в) f'(x)= 6х⁵ +.

Виконання вправ______________________________

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = x³ + х – х⁴; б) у = sin х – cos x; в) у = – х³ + tg х; г) у = ctg х – . Відповідь: а) у’= 3х² + 1 – 4х³; б) у' = cos x + sin x;



2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х_о:

а) f(x) = sin x + х², х_о = 0; б) f(x) = cos x – 1, х_о = ; в) f(x) = х² + х – 7, х_о = – 1.

Відповідь: а) 1; б) –; в) –1.

3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорів­нює 0:

a) f(x) = х³ – х; б) f(x) = х² + х; в) f(x) = х – cos х?

Відповідь: а) x = ±; б) х = –; в) х = –+ 2πn, n Ζ.

III. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку.

!Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також — диференційована функція в цій точці і

(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x),

або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції.

Доведення

Розглянемо функцію у = f(x) · g(x). Зафіксуємо х_о і надамо аргументу приросту Δx, тоді

1) Δy = f(x_о + Δx) · g(x_о + Δx) – f(x_о) · g(x_о).

Оскільки f(x_о+ Δx) = f(x_о) + Δf, g(x_о + Δx) = g(x_о) + Δg, то

Δy = (f(x_о)+ Δf) · (g(x_о) + Δg) – f(x_о) · g(x_о) = f(x_о) · g(x_о) + f(x_о) · Δg + Δf ·g(x_о) + + Δf · Δg – f(x_о) · g(x_о) = f(x_о) · Δg + Δf ·g(x_о) + Δf · Δg.





= f'(x_о) · g(x_о) + f(x_о) · g'(x_о) + f'(x_о) · g'(x_о) · 0 =f'(x_о)·g(x_о)+f(x_о)·g(x_о).

Отже, (f(x)· g(x))' = f'(x). g(x) + f(x). g'(x).

Наслідки

а) Постійний множник можна винести за знак похідної: (cf(x))' = cf'(x).

Дійсно, (cf(x))' = c'·f(x) + с·f'(x) = 0 · f(x) + с f'(x) = с f'(x).

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

(f(x) · g(x) · h(x))' = f'(x) · g(x) · h(x) + f(x) · g'(x) · h(x) + f(x) · g(x) · h'(x).

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х · sin x; б) у = 5x⁵ + 6х² + 2х – 7tg x; в) у = (x – 1)(х + 2) · cos x.

Розв'язання

а) у' = (x sin x)' = x' sin x + x (sin x)' = 1 · sin x + x cos x = sin x + x cos x;

б) у' = (5x⁵ + 6х² + 2х - 7 tg x)' = (5x⁵)' + (6х²)' + (2х)' – (7 tg x)' =

=5·(x⁵)' +6·(x²)' +2· x' -7·(tg x)' =5·5х⁴+6·2·x+2·1–7·=25x⁴+12x+2– ;

в) у' = ((x–1)(х+2)cosx)' = (x–1)'(x+2)cosx+(x–1)(x+2)'cosx+(x–1)(x+2)·(cosx)' = =1·(x+2)cosx+(x–1)·1·cosx+(x–1)(x+2)·(–sinx)=

=(x+2)cosx+(x–1)cosx-(x–1)(x+2)sinx=(2x+1)cosx-(x-1)(x+2)sinx.
Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 3х² - 5х + 6; б) у = -2х³ + 3cos x; в) y=5x²++3ctgx; г) y=3x·x²+9.

Відповідь: а) 6х - 5; б) -6х² - 3sinx; в) 10х - -; г) 9х² –

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у =sinx; б) у = x²cos x; в) у = ; г) у = x² sin х.

Відповідь: а) у' = + cos x; б) у' = 2х cos x – x² sin x;

в) у' = ; г) у' =2xsinx++х²cosx.

3. Знайдіть похідні функцій:

а) (x - 2)² · x³; б) (x² - х)(х³ + x).

Відповідь: а) 2(х - 2)х³ + 3(х - 2)2х²; б) (2х - 1)(х³ + x) + (x² - х)(3х² + 1).
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій.

!Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці x і g(x)0, то функція у = диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай у(х) = , тоді f(x) = у(х) · g(x). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, f'(x) = у'(х) · g(.x) + у(х) · g'(x). Виразимо з цією формули у'(х):

і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:

Отже,

Приклад. Знайдіть похідні функцій

Розв'язання





Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

Відповідь:

2. Знайдіть похідні функцій:

Відповідь:

V. Підведення підсумків уроку.

При підведенні підсумків уроку доцільно скористатися табли­цею 5.

Таблиця 5



VI. Домашнє завдання.

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23-27. Вправа № 10 (1-5, 7-8).

Роганін Алгебра 11 клас, урок 8