Уроку

Скачати 260.56 Kb.

Назва	Уроку
Сторінка	1/2
Дата	25.10.2013
Розмір	260.56 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

1 2

Тема уроку: Множина та її елементи. Урок 1-2

Дидактична мета: познайомити учнів з поняттям множини та операціями над множинами, формування вмінь та навичок учнів при рішенні вправ.

Розвиваюча мета: Розвиток логічного мислення учнів, пізнавальних інтересів, розширення світогляду. Уміння порівнювати, аналізувати. Оволодіння математичною термінологією.

Виховна мета: Розвиток уважності, посидючості, відповідального відношення до навчальної праці.

Любі десятикласники! Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет — алгебру і початки аналізу. Цей предмет надзвичайно важливий. Мабуть, немає сьогодні такої галузі науки, де б не застосовувалися досягнення цього розділу математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи, географи та економісти, навіть мовознавці та історики використовують «математичний інструмент». Алгебра і початки аналізу — корисний і дуже цікавий предмет, який розвиває аналітичне і логічне мислення, дослідницькі навички, математичну культуру, кмітливість.

Ми часто говоримо: косяк риб; зграя птахів; рій бджіл; колекція марок; зібрання картин; набір ручок; букет квітів; компанія друзів; парк машин; отара овець. Якщо в цих парах перетасувати перші слова, то може вийти смішно. Наприклад, букет овець, косяк картин, колекція друзів тощо. Водночас такі словосполучення, як колекція риб, колекція картин, колекція ручок, колекція машин тощо, достатньо прийнятні. Справа в тому, що слово «колекція» досить універсальне. Однак у математиці є більш всеосяжне слово, яким можна замінити будь-яке з перших слів у наведених парах. Це слово множина. Під множиною в математиці розуміють об’єднання, сукупність будь-яких предметів, об’єднаних між собою деякою загальною для них всіх властивістю. Множина, як математичне поняття не має означення, це первинне поняття.

Наведемо ще кілька прикладів множин: множина учнів вашого класу; множина планет Сонячної системи; множина двоцифрових чисел; множина пар чисел (x; y), які є розв’язками рівняння x²+y²=1.

Окремі найважливіші множини мають загальноприйняті назви та позначення: множина точок площини —геометрична фігура; множина точок, яким притаманна певна властивість, — геометричне місце точок (ГМТ); множина значень аргументу функції f — область визначення функції f, яку позначають D(f); множина значень функції f — область значень функції f, яку позначають E(f); множина натуральних чисел, яку позначають буквою N; множина цілих чисел, яку позначають буквою Z; множина раціональних чисел, яку позначають буквою Q; множина дійсних чисел, яку позначають буквою R. Множини N, Q, R, Z— приклади числових множин. Також прикладами числових множин є числові проміжки. Наприклад, проміжки [–3; 2], (5; +∞), (–∞; –4] є числовими множинами.

Як правило, множини позначають великими латинськими літерами: A, B, C, D тощо. Об’єкти, які складають множину, називають елементами цієї множини. Зазвичай елементи позначають малими латинськими літерами: a, b, c, d тощо. Якщо a належить множині A, то пишуть aA (читають: «a належить множині A»). Якщо b не належить множині A, то пишуть bA (читають: «b не належить множині A»).

Наприклад, якщо M — множина натуральних дільників числа 6, то пишуть M={1, 2, 3, 6}. Якщо множина A складається з трьох елементів a, b, c, то пишуть A={a, b, c}. Множина дільників числа 6, які є складеними числами, має такий вигляд: {6}. Це приклад одноелементної множини. Позначення множини за допомогою фігурних дужок, у яких указано список її елементів, є зручним у тих випадках, коли множина складається з невеликої кількості елементів.

Дві множини A і B називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини A належить множині B, і навпаки, кожний елемент множини B належить множині A. Якщо множини A і B рівні, то пишуть А=B.

З означення випливає, що множина однозначно визначається своїми елементами. Якщо множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її елементи, не має значення. Так, множина, яка складається з трьох елементів a, b, c, припускає шість варіантів запису:

{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.

Оскільки з означення рівних множин випливає, що, наприклад, {a, b, c}={a, a, b, c}, то надалі будемо розглядати множини, які складаються з різних елементів. Так, множина букв слова «шаровари» має вигляд {ш, а, р, о, в, и}.

Задають множину одним із двох таких способів. Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указанням (переліком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб, записуючи множину за допомогою фігурних дужок, у яких зазначали список її елементів. Зрозуміло, що не всяку множину можна задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел так задати не можна.

Другий спосіб полягає в тому, що задається характеристична властивість елементів множини, тобто властивість, яка притаманна всім елементам даної множини і тільки їм. Записується це таким чином: спочатку назва множини великою латинською літерою, потім «=», та у фігурних дужках позначка елемента множини маленькою літерою, потім двокрапка та властивість у вигляді формули, правила або словами.

Наприклад, властивість «натуральне число при діленні на 2 дає в остачі 1» задає множину непарних чисел. Якщо задавати множину характеристичною властивістю її елементів, то може статися, що жодний об’єкт такої властивості не має. Розглянемо приклади.

Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам 1, 2, 5. З нерівності трикутника випливає, що ця множина не містить жодного елемента.
Позначимо через A множину учнів вашого класу, які є майстрами спорту з шахів. Може виявитися, що множина A також не містить жодного елемента.
Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, слід передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має.

Зручно до сукупності множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. Її називають порожньою множиною і позначають символом .

Приклади

Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його сторін? (бісектриса)
Як називають множину вовків, які підкорюються одному ватажку? (стая)
Назвіть яку-небудь множину запорізьких козаків.
Як називають множину вчителів, які працюють в одній школі? (колектив)

Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження:

5*N

–5*N

3,14*R

1*R

0*Z

π*Z

Дано функцію f(x)=x²+1. Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження:

3*D(f)

0*D(f)

0*E(f)

1,01*E(f)

12*E(f)

Які з наступних тверджень є правильними:

1{1, 2, 3}

{1}{1, 2}

{1, 2}

4{1, 2, 3}

Запишіть множину коренів рівняння:

x(x–1)=0

x=2

(x–2)(x²–4)=0

x²+3=0

Задайте переліком елементів множину:

правильних дробів зі знаменником 7;
правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4;
букв у слові «математика»;
цифр числа 5555.

Чи рівні множини A і B, якщо:

A={1, 2}, B={2, 1}	A={(1; 0)}, B={(0; 1)}	A — множина коренів рівняння \|x\|=x, B=[0; +∞)
A=[–1; 2), B=(–1; 2]		A — множина чотирикутників, у яких протилежні сторони попарно рівні; B — множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл

Які з наступних множин дорівнюють порожній множині:

множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°;(так)
множина гірських вершин заввишки понад 8800 м; ;(так)
множина трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої вона проведена;
множина функцій, графіком яких є коло? ;(так)

Підмножина. Операції над множинами

Розглянемо множину цифр десяткової системи числення A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини A ті її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину B={0, 2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами множини A. Множину B називають підмножиною множини A, якщо кожний елемент множини B є елементом множини A.

Це записують так: BA або AB (читають: «множина B є підмножиною множини A» або «множина A містить множину B»).

Наприклад, NZ, ZQ, QN, QR, {a}{a, b}, (1; 2][1; 2], [2; 5](1; +∞).

Множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів вашої школи. Множина точок променя CB є підмножиною множини точок прямої AB (на малюнку на прямої три точки, А-С-В).

З означень підмножини і рівності множин випливає, що коли AB і BA, то A=B. Будь-яка множина A є підмножиною самої себе, тобто AA. Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами Ейлера.

Якщо в множині B немає такого елемента, який не належить множині A, то множина B є підмножиною множини A. У силу цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будь-якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині A. Тому для будь-якої множини A справедливе твердження: A.

Наприклад: Випишіть усі підмножини множини A={a, b, c}. Розв’язання. Маємо: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}, 

Нехай A — множина розв’язків рівняння x+y=5, а B — множина розв’язків рівняння x–y=3. Тоді множина C розв’язків системи рівнянь:

складається з усіх елементів, які належать і множині A, і множині B. У такому випадку кажуть, що множина C є перетином множин A і B.

Перетином множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині A, і множині B. Перетин множин A і B позначають так: AB.

Наприклад: [–1; 3)(2; +∞)=(2; 3)

Якщо множини A і B не мають спільних елементів, то їх перетином є порожня множина, тобто AB=. Також зазначимо, що A=. З означення перетину двох множин випливає, що коли A⊂B, то AB=A

Наприклад: для того щоб розв’язати рівняння (x²–x)(x²–1)=0, треба розв’язати кожне з рівнянь x²–x=0 і x²–1=0. Маємо: A={0, 1} — множина коренів першого рівняння, B={–1, 1} — множина коренів другого рівняння. Зрозуміло, що множина C={–1, 0, 1}, кожний елемент якої належить або множині A, або множині B, є множиною коренів заданого рівняння. Множину C називають об’єднанням множин A і B.

Об’єднанням множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B. Об’єднання множин A і B позначають так: AB. Зауважимо, що А=A.

Наприклад, (–3; 1)(0; 2]=(–3; 2], (–∞; 1)(–1; +∞)=(–∞; +∞). Об’єднання множин ірраціональних і раціональних чисел дорівнює множині дійсних чисел.

З означення об’єднання двох множин випливає, що коли AB, то AB=В. Наприклад, QZ=Q, QR=R.

Якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків рівнянь (нерівностей), то кажуть, що треба розв’язати сукупність рівнянь (нерівностей). Сукупність записують за допомогою квадратної дужки. Так, щоб розв’язати рівняння (x²–x)(x²–1)=0, треба розв’язати сукупність рівнянь:

Приклади

Назвіть кілька підмножин учнів вашого класу.
Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами множини точок прямої. (промінь, відрізок, точка, пряма)
Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами множини точок круга.

Нехай A — множина цифр числа 1958. Чи є множина цифр числа x підмножиною множини A:

x=98

x=519

x=9510

x=195888

x=91258

x=5858

Нехай A≠. Які дві різні підмножини завжди має множина A? (А; )
Які з наступних тверджень є правильними:

1) {a}∈{a, b}; 2) a⊂{a, b}; 3) {a}⊂{a, b}; 4) a∈{a, b}?

Розмістіть дані множини у такій послідовності, щоб кожна наступна множина була підмножиною попередньої: A — множина прямокутників; B — множина чотирикутників; C — множина квадратів; D — множина паралелограмів;
Зобразіть за допомогою діаграм Ейлера співвідношення між множинами:

A — множина натуральних чисел, кратних 6; B — множина натуральних чисел, кратних 3.

Запишіть усі підмножини множини {1, 2}. Запишіть усі підмножини множини {–1, 0, 1}.
Нехай A — множина двоцифрових чисел, B — множина простих чисел. Чи належить множині AB число: 5, 7, 11, 31, 57, 96?
Знайдіть множину спільних дільників чисел 30 і 45.
Знайдіть перетин множин A і B, якщо:

A — множина рівнобедрених трикутників, B — множина рівносторонніх трикутників;

A — множина прямокутних трикутників, B — множина рівносторонніх трикутників;

A — множина двоцифрових чисел, B — множина натуральних чисел, кратних 19;
A — множина одноцифрових чисел, B — множина простих чисел.

Накресліть два трикутники так, щоб їх перетином була така геометрична фігура: 1) відрізок; 2) точка; 3) трикутник; 4) п’ятикутник; 5) шестикутник.
Які фігури можуть бути перетином двох променів, що лежать на одній прямій? (точка, відрізок)

Знайдіть:

[–4; 6)(–2; 7)

(–2; 2)Z

(–∞; 3)(1; 4)

(–1; 1][1; +∞)

Знайдіть об’єднання множин цифр, які використовуються в запису чисел:
27288 і 56383; 2) 55555 і 777777.
Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо:

A — множина рівнобедрених трикутників, B — множина рівносторонніх трикутників;
A — множина простих чисел, B — множина складених чисел;
A — множина простих чисел, B — множина непарних чисел.

Накресліть два трикутники так, щоб їх об’єднанням був: 1) чотирикутник; 2) трикутник; 3) шестикутник. Чи може об’єднання трикутників бути відрізком?
Які фігури можуть бути об’єднанням двох променів, що лежать на одній прямій?
Знайдіть:

RN

R(–7; 2]

(–∞; 1][1; +∞)

(–∞; 5)(3; 5]

Домашнє завдання

Нехай A — множина букв у слові «координата». Множина букв якого слова є підмножиною множини A: кора; крокодил; тин; дорога; дірка; нитки; криниця; дар; картина; нирки; сокирка; кардинал?
Доведіть, що коли A⊂B і B⊂C, то A⊂C. Приведіть приклад.
Знайдіть:

(–2; 5](2; 7]	(–∞; 8)[–2; +∞);	QN	(–∞; 3)(–3; 3];
(–∞; 2)(3; 8]	R(–2; 3)	N(–3; 4]	(–1; 1](1; +∞)

Тема уроку: Функція та її основні властивості. Урок 1-2

Дидактична мета: Повторення та розширення відомостей про функцію, проміжки монотонності, області визначення та значень, нулі функції, формування вмінь та навичок учнів при рішенні вправ.

Розвиваюча мета: Розвиток логічного мислення учнів, пізнавальних інтересів, розширення світогляду, володіння графічними навиками. Уміння порівнювати, аналізувати. Оволодіння математичною термінологією.

Виховна мета: Розвиток уважності, посидючості, відповідального відношення до навчальної праці.

Перевірка дом. завд.

Наведіть приклади множин.
Як позначають множину та її елементи?
Як позначають множини натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел?
Як записати, що елемент a належить (не належить) множині A?
Які множини називають рівними?
Які існують способи завдання множин?
Яку множину називають порожньою? Як її позначають?
Яку множину називають підмножиною даної множини?
Як наочно ілюструють співвідношення між множинами?
Яка множина є підмножиною будь-якої множини?
Що називають перетином двох множин?
Що називають об’єднанням двох множин?
Як за допомогою діаграм Ейлера ілюструють перетин (об’єднання) двох множин?
Які фігури можуть бути об’єднанням двох променів, що лежать на одній прямій?

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Нагадаємо й уточнимо основні відомості про функцію, з якими ви ознайомилися в 7–9 класах.

У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція.

Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це залежність, при якій за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.

Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну — буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна y функціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y=f(x).

Незалежну змінну ще називають аргументом функції. Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції і позначають D(f) або D(y).

Наприклад, областю визначення функції

є множина D(y)=(–∞;–1)(–1; 1)(1;+∞).

Множину значень, яких набуває залежна змінна y, тобто множину Y, називають областю значень функції і позначають E(f) або E(y).

Наприклад, областю значень функції y=x²+1 є множина E(y)=[1; +∞).

Елементами множин D(f) і E(f) можуть бути об’єкти найрізноманітнішої природи.

Наприклад, так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел. Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилась, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина людей, а область значень — множина днів тижня.

Деякі правила знаходження області визначення функції:

Якщо функція є многочленом, то D(f)=R; Якщо функція має вигляд дробу

, де у чисельнику та знаменнику многочлени, то D(f)=R, знаменник

; Якщо функція має вигляд радикала (кореня)

, тоді

; Якщо функція має вигляд дробу з коренем

, тоді

; Якщо декілька умов, слід розв’язати систему.

Коли D(f)Rі E(f)R, функцію f називають числовою. Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за яким можна за кожним значенням незалежної змінної знайти значення залежної змінної з області значень. Функцію можна задати одним з таких способів:

Описово; за допомогою формули або декількома формулами (кусочно аналітична); за допомогою таблиці; графічно.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є область визначення виразу, який входить до формули.

Приклади

Знайдіть область визначення функції:

Функцію задано формулою f(x)=–3x²+2x.

Знайдіть: f(1); f(0); f(–2).
Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 0; –1; –56.
Чи є правильною рівність: f(–1)=5; f(2)=–8?

Функцію задано формулою.

Знайдіть: f(4); f(0); f(9); f(–3).
Знайдіть значення x, при якому: f(x)=9; f(x)=0,5; f(x)=–10.

Кожному натуральному числу, більшому за 15, але меншому від 25, поставили у відповідність остачу від ділення цього числа на 4.

Яким способом задано цю функцію?
Яка область значень цієї функції?
Задайте дану функцію табличну.

Знайдіть область визначення функції:

Функцію задано формулою y =x+2. Заповніть таблицю відповідних значень x і y:

x		2	–1,75
y	5

1 2

Схожі:

Уроку Тема уроку: Пристрої введення-виведення інформації. Структура і тип уроку повністю відповідають меті і завданням уроку, тобто науковий рівень уроку відповідає сучасним вимогам	Уроку. Прямокутна система координату просторі. Мета уроку: знайомство... В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення й виконання домашнього завдання
Уроку виробничого навчання Велигодська Л. С. чітко в доступній формі розкрила тему та мету уроку на всіх етапах структури уроку	Уроку; тема уроку не записується на дошці; мета уроку не узгоджується... «загравання» з учнями, намагання сподобатись, невміння знайти правильний тон; вживання пестливих слів
КОНСПЕКТ УРОКУ З ФІЗИКИ (10 КЛАС) Тема уроку Комп'ютер, мультимедійний проектор, презентація до уроку, програмне середовище «Жива фізика»	УРОКУ Тема уроку Методична мета уроку: Інтерактивне навчання учнів графічного представлення даних електронних таблиць засобами мультимедіа з використанням...
Уроку: урок засвоєння нових знань. КМЗ уроку Мета уроку: вивчити види впливу електричного струму на організм людини, особливості ураження електрострумом	Тема уроку. Зрізана піраміда. Мета уроку Мета уроку: вивчення властивості площини, яка перетинає піраміду і паралельна основі; формування поняття зрізаної піраміди
Уроку Тема уроку: Поняття про виробничий травматизм та професійні захворювання Мета уроку: Ознайомити учнів з основними причинами виробничого травматизм та професійних захворювань та їх наслідками	План-конспект уроку інформатики в 7 класі Тема уроку Тема уроку: Робота з текстовою інформацією. Призначення та основні функції текстового редактора. Текстові процесори. MS Word. Поняття...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання