УРОК 25 Тема уроку

S₁₀ = 0,1 · (1 + 0,909 + 0,833 + 0,769 + 0,714 + 0,667 + + 0,588 + 0,588 + 0,556 + 0,526) = 0,1 · 7,15 = 0,715.

Отже, (рис. 100).

II. Сприймання і усвідомлення теореми про площу криволінійної трапеції.

Вияснимо, як можна обчислити площу S криволінійної трапеції за допомогою первісної функції у = f(x).

Позначимо S(x) площу криволі­нійної трапеції з основою [а; х] (рис. 101), де х — будь-яка точка відрізку [а; х]. При х = а відрізок [а; х] перетворюється в точку і тому S(a)·= 0; при х = b маємо S(b) = S — площу криволінійної трапеції.

Доведемо, що S(x) є первісною функ­ції f(x), тобто S'(x) = f(x).

Розглянемо різницю S(x+x) – S(x), х > 0 (випадок х < 0 розглядається аналогічно). Ця різниця дорівнює пло­щі криволінійної трапеції з основою [x; x + х] (рис. 102).

Якщо Δx мале число, то площа приблизно дорівнює f(x)·х, тобто S(x + Δx) – S(x) f(x)·Δx.

Таким чином, f(x). Якщо Δx → 0, то ліва частина наближеної рівності за означенням похідної наближається до S'(x), тому

, S'(x) = f(x).

Це і означає, що S(x) є первісною функції f(x).

Будь-яка первісна F(x) відрізняється від S(x) на стале число, тобто

F(x) = S(x) + С. (1)

Із цієї рівності при x = а одержуємо F(a) = S(a) + С. Оскіль­ки S(a) = 0, то С = F(b) і рівність (1) можна записати так:

S(x) = F(x) - F(a).

Звідси при x = b одержуємо:

S(b) = F(b) - F(a}, S = F(b) - F(a).

Отже, площу криволінійної трапеції можна об­числити за формулою S = F(b) - F(a), де F(x) — будь-яка пер­вісна функція f(x).

Приклад 1. Побудуйте, криволінійну тра­пецію, обмежену лініями f(x) = x², x = 1, x = 2, у = 0. Обчисліть її площу.

Розв'язання

Криволінійна трапеція зображена на рис. 103.

Однією з первісних для функції f(x) = х² є F(x) = .

Отже, S = F(2) - F(1) =

Відповідь: .

Приклад 2. Побудуйте криволінійну трапецію, об­межену лініями у = cos x, у = 0, ,

Розв'язання

Криволінійну трапецію зображено на рисунку 104. Одна із первісних функції у=cosх є F(x) = sin x, тоді

Відповідь: 2.

Виконання вправ

1. Обчислити площі фігур, обмежених лініями:

а) у = x², у = 0, х = 2;

б) у = x³, у = 0, x = 2;

в) y = sin х, у = 0, х = 0, х = π;

г) у = ; у = 0, х = 1, х = 4.

Відповідь: а) 2²; б) 4; в) 2; г) 4

III. Сприймання і усвідомлення формули Ньютона— Лейбніца.

Порівнюючи формули площі криволінійної трапеції

і S = F(b) - F(a), робимо висновок: якщо F(x) — первісна для функції f(x) на відрізку [а; b], то

.

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца. Ця формула правильна для будь-якої неперервної на відрізку [а; b] функції f(x), пов'язує поняття інтеграла й первісної для даної функції, є правилом обчислення інтегралів.

Для зручності запис різниці F(b) - F(a) прийнято скорочено позначати . При такому позначенні формула Ньютона-Лейбніца набирає вигляду:



Приклад 1. Обчисліть

Розв'язання

Оскільки для х² однією із первісних є , то

.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: .

Виконання вправи № 10 (2; 4; 6; 8; 10; 12) із вправ до розділу IX.
Із властивостей первісної і формули Ньютона-Лейбніца ви­пливають основні властивості інтеграла.

1. 
   Інтеграл суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів :
   

.

2) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

3) Якщо с є [а; b], то

4) де ρ є R, k є R.

Доведемо ці рівності:

3) Цю властивість інтеграла наочно видно із властивостей площі: пло­ща всієї криволінійної трапеції, з основою [а; b] дорівнює сумі площ трапецій з основами [а; с] і [с; b] (рис. 105).

Цю ж властивість можна одержати і обчисленням. Нехай F(x) — первісна для функції f(x). Тоді

Склавши почленно ліві і праві частини рівностей, одержуємо



Останню рівність буде доведено в курсі математичного аналізу. Властивості інтегралів допомагають в обчисленні інтегралів.

Приклад. Обчисліть: а) ; б) .

Розв'язання

Відповідь: а) π² - 1; б)

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ IX § 4 (3). Запитання і завдання для повторення розділу IX № 11—12. Вправа № 10 (1; 3; 5; 7; 9).

Роганін Алгебра 11 клас, урок 25