Тема уроку. Площа сфери. Мета уроку

Розв'язання задачі № 48

Нехай круговий сектор SAB (рис. 176), у якому AS = SB = 3 м, <ASB = 120°, згорнуто у конічну поверхню (рис. 177), бічна поверхня якої дорівнює

S = 120° = 3π, де R — радіус кола розгортки бічної поверхні конуса.

Оскільки площа бічної поверхні конуса дорівнює

S_біч = πrl = πr · 3 = 3πr, де r — радіус основи конуса, то маємо: 3πr = 3π; r = 1.

Отже, радіус кола основи конуса дорівнює 1 м.

Відповідь. 1 м.

Розв'язання задачі № 49

Рупор має форму зрізаного конуса, з осьовим перерізом ABDC (рис. 178), у якого АС = 0,036 м, BD = 0,43 см, АВ = 1,42 м. Тоді

S_біч = π (АО₁ + ВО)·АВ = π·AB= (AC + BD) · АВ =

= · (0,036 + 0,43) · 1,42 1,039 (м²).

Відповідь, 1,039 м².

Розв'язання задачі № 50

Нехай D = 30 см і d = 25 см, l = 27,5 см; тоді S_пов.в = π (R + r) l + πr² =

= (30 + 25) · 27,5 + π · = 2865,25 (см²) 0,286м².

S _{100 пов.в} 0,286 · 100 = 28,6 (м²).

Маса оліфи, яка потрібна для фарбування 100 відер, становить

28,6 · 150 = 4290 (г) 4,3 кг.

Відповідь. 4,3 кг.
II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Можна пояснити виведення формули для площі сфери згідно з п. 81 § 8 підручника. Можливо пояснити виведення цієї формули по-іншому. Наведемо варіант пояснення.

Площа сфери

Задача № 1

Навколо сфери радіуса r описано опуклий многогранник. Доведіть, що його об'єм V може бути обчислений за формулою

V= Sr , де S — площа поверхні многогранника.

Розв'язання

З'єднаємо центр сфери точку О з усіма вершинами многогранника (рис. 179). Тоді об'єм V многогранника дорівнює сумі об'ємів пірамід, основи яких — грані даного многогранника, а висота дорівнює радіусу г вписаної кулі:

V = S₁r + S₂r + S₃r +... + S_nr = r (S₁ + S₂ + ...S_n) = rS,

де S₁, S₂, S₃ , ..., S_n — площі граней многогранника, S — площа поверхні многогранника.
Задача № 2

Радіус сфери дорівнює r. Знайдіть площу сфери.

Розв'язання

Опишемо навколо сфери опуклий многогранник з п малими граня­ми. Будемо необмежене збільшувати п таким чином, щоб площа кожної грані наближалася до нуля. За площу сфери приймемо границю послідо­вності площ поверхонь, описаних навколо сфери многогранників, за умови наближення до нуля площі кожної грані.

Нехай S_n — площа поверхні многогранника, V_n — його об'єм. Тоді, згідно з задачею № 1, маємо: V_n = S R.

Будемо тепер необмежене збільшувати число п, тоді число граней мно­гогранника буде необмежене збільшуватися, площа його поверхні буде на­ближатися до площі сфери S, а об'єм многогранника — до об'єму V кулі:

Отже V = SR , звідси маємо: S = = = 4πR².

Таким чином, площа S сфери радіуса R обчислюється за формулою

S = 4πR².
Розв'язування задач

1. 
   Знайдіть площу поверхні кулі, діаметр якої 10 см. (Відповідь. 100π см².)
   
2. 
   Площа великого круга кулі дорівнює 20π см². Знайдіть площу по­верхні кулі. (Відповідь. 80π см².)
   
3. 
   Площа поверхні кулі дорівнює 64π см². Знайдіть діаметр кулі.
   

(Від­повідь. 8 см.)

4. 
   Довжина кола великого круга кулі дорівнює 10π см. Знайдіть пло­щу поверхні кулі. (Відповідь. 100π см².)
   
5. 
   Дано півкулю радіуса R. Знайдіть її повну поверхню. (Відповідь. 3πR.)
   
6. 
   Як зміниться площа поверхні кулі, якщо її радіус збільшити у 2 рази? (Відповідь. Збільшиться в 4 рази.)
   
7. 
   Доведіть, що, якщо рівносторонній конус і півкуля мають спіль­ну основу, то площа бічної поверхні конуса дорівнює площі сферич­ної поверхні півкулі.
   

III. Домашнє завдання

§ 8, п. 81 підручника; контрольне запитання № 9; задача № 34 (с. 120).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Сформулюйте, чому дорівнює площа сфери.

2) Запишіть формулу для обчислення площі сфери.

Роганін геометрія 11 клас, урок 51